數(shù)碼相機(jī)定位數(shù)學(xué)建模論文1

1、高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫）： a 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的

2、話）： 20002028 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?中南大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2008 年 9 月 22 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：數(shù)碼相機(jī)定位摘 要對(duì)于問題一，我們建立了兩個(gè)模型，求當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心時(shí)，靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。一個(gè)是橢圓最小二乘法擬合模型（模型一），這個(gè)模型中我們利用了網(wǎng)格紙選點(diǎn)算法和matlab軟件函數(shù)取點(diǎn)算法兩種算法，這兩個(gè)算法均是通過從像平面中選取六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，代入利用最小二乘法建立的方程組（9）式中，求得了擬合橢圓方程的參數(shù)，然

3、后通過式（2）、式（3）的轉(zhuǎn)換公式得到橢圓中心的坐標(biāo)；另一個(gè)模型是直線逼近模型(模型二)，將相片轉(zhuǎn)換為tiff格式后直接調(diào)用軟件matlab6.0中的imread函數(shù)，取得相片中的若干個(gè)橢圓區(qū)域，然后分別在不同區(qū)域內(nèi)用兩條水平線和兩條豎直線去與橢圓相切，求出相切交點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓對(duì)稱性可知，兩條過對(duì)稱切點(diǎn)的直線會(huì)交于橢圓中心，則橢圓的中心坐標(biāo)可以表示成.問題二是在問題一的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中得出了橢圓最小二乘法擬合模型和直線逼近模型的解，結(jié)果分別見表4和表9。問題三，在模型一和模型二中，由于包含誤差較大樣本點(diǎn)在內(nèi)的所有樣本點(diǎn)都參與運(yùn)算，所以會(huì)對(duì)橢圓擬合的最后結(jié)果產(chǎn)生偏差。針對(duì)這

4、種情況，采用隨機(jī)理論的思想，先隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)擬合橢圓，然后計(jì)算與此橢圓匹配的所有樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。重復(fù)此過程一定次數(shù)（一般選取100200次），匹配樣本點(diǎn)多的橢圓即為最優(yōu)橢圓，由此構(gòu)造了一種快速準(zhǔn)確剔除誤差較大樣本點(diǎn)的改進(jìn)橢圓擬合隨機(jī)化算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了算法的精度和穩(wěn)定性，其中精度檢驗(yàn)時(shí)最大誤差為0.73%，穩(wěn)定性檢驗(yàn)時(shí)最大誤差為3.7%，說明模型能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且該算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。問題四屬于雙目定位問題范疇，可由常規(guī)的攝像機(jī)標(biāo)定問題進(jìn)行反推求解，常規(guī)的攝像機(jī)標(biāo)定問題是將像素坐標(biāo)系信息（如相片）轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系信息（如實(shí)物）

5、的三維坐標(biāo)，而這里是將世界坐標(biāo)系信息（靶標(biāo)上的圓心）向像素坐標(biāo)系信息轉(zhuǎn)換，從而測(cè)定兩部固定的數(shù)碼相機(jī)的相對(duì)位置。我們通過已知的實(shí)物和相片信息然后利用空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式求解得到由旋轉(zhuǎn)距陣和自由平移向量組成的兩部相機(jī)的外部參數(shù)矩陣，進(jìn)而得到兩部數(shù)碼相機(jī)的光心坐標(biāo)變換模型（見式（29），由此即得兩相機(jī)的相對(duì)位置。關(guān)鍵詞：最小二乘法、圖像網(wǎng)格處理、取色器、標(biāo)定、旋轉(zhuǎn)距陣一 問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝

6、得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像

7、中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 圖 1 靶標(biāo)上圓的像我們?cè)O(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為a、c、d、e）為圓心，為半徑作圓。以ac邊上距離a點(diǎn)處的b為圓心，為半徑作圓，如圖2所示。圖 2 靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標(biāo)的像要求：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單

8、位)，相機(jī)分辨率為；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二 問題分析2.1問題背景分析數(shù)碼相機(jī)在計(jì)算機(jī)視覺中的應(yīng)用逐漸普及和深入，在應(yīng)用中數(shù)碼相機(jī)的標(biāo)定是相當(dāng)重要的。計(jì)算機(jī)視覺是一門新興的學(xué)科。隨著計(jì)算機(jī)硬件、軟件、圖像采集、處理技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)視覺的理論和技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理、機(jī)器人技術(shù)、文字識(shí)別、工業(yè)檢側(cè)、軍事偵察、地理勘察和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量等。計(jì)算機(jī)視覺在多種測(cè)量中的應(yīng)用是一種定量分析系統(tǒng)，有確定的精度要求。一般運(yùn)用于現(xiàn)場(chǎng)不可到達(dá)、現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜不便直接測(cè)量、保留現(xiàn)場(chǎng)狀態(tài)以便復(fù)測(cè)、補(bǔ)測(cè)和事后

9、重構(gòu)現(xiàn)場(chǎng)等場(chǎng)合。通常人們把攝像機(jī)和膠片相機(jī)作為獲取原始圖像的主要設(shè)備，隨著數(shù)碼相機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展，在許多場(chǎng)合人們已逐漸采用數(shù)碼相機(jī)作為主要的圖像采集設(shè)備。這主要是由于數(shù)碼相機(jī)有如下幾個(gè)特點(diǎn):有較多像素的ccu;可以根據(jù)測(cè)量的需要選擇不同的像素大小;可直接與計(jì)算機(jī)進(jìn)行通訊;可選定多種焦距進(jìn)行定焦距拍攝。上述特點(diǎn)，給圖像采集和圖像處理帶來了許多方便之處。在應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺的測(cè)量系統(tǒng)中，無論是采用攝像機(jī)還是數(shù)碼相機(jī)作為原始圖像的采集設(shè)備，都必須進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定。系統(tǒng)標(biāo)定是應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量和圖像處理的第一步，也是關(guān)鍵的一步。標(biāo)定矩陣的精度直接影響到最終的測(cè)量精度。國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此做了大量的研究，提

10、出了多種利用攝像機(jī)作為輸入設(shè)備的標(biāo)定方法。2.2問題要求分析對(duì)于問題一，題目要求確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，這里坐標(biāo)原點(diǎn)是取在該相機(jī)的光學(xué)中心，我們?nèi)粢怨廨S所在直線為軸，則所求靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面上的縱坐標(biāo)是相同的（在這里為該相機(jī)的像距，是一個(gè)固定值），所以只需求各和坐標(biāo)即可，由實(shí)物與像之間的關(guān)系，在只考慮幾乎理想狀態(tài)下，我們可以試著確定相片上橢圓的中心坐標(biāo)，并且認(rèn)為靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)應(yīng)該是和橢圓的中心坐標(biāo)很接近。問題二是在問題一建立的模型上賦予具體的數(shù)值進(jìn)行求解，因此只需將題目中所給數(shù)據(jù)代入第一問的模型中即可有解決，值得注意的是在理想光學(xué)成像系統(tǒng)下焦距即

11、是像距。問題三是要求設(shè)計(jì)一種方法來給第一問設(shè)計(jì)的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)還要求這種方法具有一定的精度和穩(wěn)定性，并能計(jì)算出來。問題的難點(diǎn)在于這里沒有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)又不能進(jìn)行真實(shí)模擬，鑒于此，我們決定采用計(jì)算機(jī)仿真的思想，即給出一個(gè)確定解同時(shí)產(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)，用該方法求得的一組值來達(dá)到分析的目的。對(duì)于問題四，由于這是屬于雙目定位問題。根據(jù)相機(jī)成像的原理，我們利用空間坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換就應(yīng)該可以實(shí)現(xiàn)在靶標(biāo)給出的條件下確定兩部固定相機(jī)的相對(duì)位置。三 模型的建立及求解數(shù)碼相機(jī)圖像拍攝實(shí)際上是一個(gè)光學(xué)成像過程，而且光學(xué)成像的理論模型是針孔模型。我們將此成像過程分為3個(gè)步驟、隸屬于4個(gè)坐標(biāo)系。這四個(gè)坐標(biāo)系分別為: (1)

12、世界坐標(biāo)系根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標(biāo)系，坐標(biāo)值用表示。 (2)圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像平面的中心，x軸、y軸分別為平行于圖像平面的兩條垂直邊，坐標(biāo)值用表示。 (3)像素坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像平面的左上角，x軸、y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的x軸和y軸，坐標(biāo)值用來表示，且為離散的整數(shù)值。 (4)光心坐標(biāo)系以相機(jī)的光心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的x軸和y軸，相機(jī)的光軸為z軸，坐標(biāo)值用表示。由實(shí)物到相片的形成經(jīng)過了3個(gè)步驟，是分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系，再由光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。3.1 問題一的模型3.1.1基本假設(shè)1) 考慮最小二乘法的

13、要求，我們假設(shè)從圖像坐標(biāo)系中選取的點(diǎn)的坐標(biāo)值的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。2) 圖3中的橢圓都是標(biāo)準(zhǔn)橢圓，不存在畸變等因素，屬于理想圖形。3) 相片沒有損壞，保存完好，圖像清晰3.1.2符號(hào)說明橢圓中心位置橢圓長軸和短軸a橢圓長軸的轉(zhuǎn)角3.1.3模型的準(zhǔn)備1）橢圓的表示方法 在二維平面坐標(biāo)系中，橢圓一般可以用2種形式來表示。一種是利用圓錐曲線方程的代數(shù)形式表示，即: （1） 另外一種更直觀的方式是用平面坐標(biāo)系的幾何參數(shù)表示，即橢圓中心位置 ，長軸和短軸，長軸的轉(zhuǎn)角a。二維平面里的任意橢圓都可以用這5個(gè)參數(shù)唯一確定， 參數(shù)的幾何意義如圖4所示。圖4 二維平面橢圓的表示兩種表示形式的參數(shù)可用式(2)式(

14、6)轉(zhuǎn)換。 (2) (3) (4) (5) (6)2）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分析根據(jù)這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以先選取圖3中橢圓中點(diǎn)的坐標(biāo)值，求得等式（1）中參數(shù)，再通過轉(zhuǎn)換，得到圖3中各個(gè)橢圓中點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，最后由坐標(biāo)平移求出各個(gè)橢圓中心在圖像坐標(biāo)系的的坐標(biāo)值。位置如圖5圖5 圖像坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)位置圖3.1.4模型的建立建立兩個(gè)模型，模型一中用到最小二乘法來擬合橢圓函數(shù)，將得到的擬合函數(shù)的參數(shù)，用式（2）、（3）轉(zhuǎn)換得到題中要求坐標(biāo)系情況下橢圓圓心坐標(biāo)。在選取點(diǎn)擬合過程中，考慮對(duì)精度的要求，給出在精度要求不高情況下，用網(wǎng)格取點(diǎn)法和高精度要求中的計(jì)算機(jī)像素取點(diǎn)法兩個(gè)算法；模型二中根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢圓對(duì)稱性，用ma

15、tlab軟件中圖像處理庫函數(shù)建立模型，提高運(yùn)行速度。模型一橢圓最小二乘法擬合最小二乘法橢圓擬合是較常用的橢圓擬合方法。最小二乘法是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，由最大似然法推出的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)技術(shù)， 它可使測(cè)量誤差的平方和最小， 因此也被視為從一組測(cè)量值中求出一組未知量的最可信賴的方法之一. 最小二乘技術(shù)主要是尋找參數(shù)集合，從而最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與橢圓之間的距離度量. 這里的距離度量常見的有幾何距離和代數(shù)距離。幾何距離表示某點(diǎn)到曲線最近點(diǎn)的距離。平面內(nèi)某點(diǎn)到方程所代表曲線的代數(shù)距離就是。以下是以代數(shù)距離作為距離度量介紹最小二乘法。假設(shè)一般形式的橢圓方程如式(1)所示， 為了避免零解，并將解的任何整數(shù)倍都視為

16、對(duì)同一橢圓的表述，對(duì)參數(shù)做一些限制，約束條件設(shè)。顯然，直接應(yīng)用上述方程對(duì)邊緣檢測(cè)后的離散點(diǎn)進(jìn)行最小二乘處理， 就可以得到方程中的各系數(shù)，也即，求目標(biāo)函數(shù) （7）的最小值來確定各系數(shù)。再由極值原理，欲值為最小，必有 （8）由此建立如下數(shù)學(xué)規(guī)劃模型： 我們用matlab 6.0編程并用消元法求解上述線性方程組，最終求得方程系數(shù)的值。模型二 直線逼近模型每個(gè)橢圓用兩條水平直線和兩條豎直直線逼近橢圓，使得四條直線與橢圓相切，得出每個(gè)橢圓水平、豎直邊界點(diǎn)。imread函數(shù)對(duì)處理的函數(shù)有特定的要求，在用imread函數(shù)調(diào)用圖片之前，先用photoshop軟件將圖3圖片格式轉(zhuǎn)換為tiff格式并無任何壓縮限制

17、，然后用imread函數(shù)取得圖片中橢圓區(qū)域。再在圖中劃分出每個(gè)橢圓的邊界，如圖6。圖6 橢圓邊界劃分對(duì)每個(gè)區(qū)域用imread函數(shù)取得的圖片數(shù)據(jù)中，分區(qū)域0hfj,higf,ilkg,dkqn,jemp在每個(gè)區(qū)域用水平線和豎直線去與橢圓相切，可以求出相切交點(diǎn)的坐標(biāo)（以橢圓d為例）如圖7。圖7 橢圓d相切交點(diǎn)位置其中由橢圓對(duì)稱性可知，直線與直線交于一點(diǎn)且過橢圓中心，則橢圓中心可以用坐標(biāo)表示，得到如下數(shù)學(xué)模型（在圖像坐標(biāo)系下）： （10）3.1.5模型的求解模型一的求解模型中首先要解決的問題是得到六個(gè)點(diǎn)，用這六個(gè)點(diǎn)來算出等式（7）中參數(shù)六個(gè)點(diǎn)的值。對(duì)于選取這六個(gè)點(diǎn)，給出一下兩個(gè)算法；1) 網(wǎng)格紙選點(diǎn)

18、算法用一個(gè)網(wǎng)格紙放在圖形上面，建立一個(gè)坐標(biāo)系，確定每一個(gè)網(wǎng)格對(duì)應(yīng)像素，再取網(wǎng)格頂點(diǎn)正好落在每個(gè)橢圓邊界處，當(dāng)取不到足夠的點(diǎn)時(shí)，可以移動(dòng)網(wǎng)格紙位置，使得足夠多的點(diǎn)落在網(wǎng)格頂點(diǎn)，如圖8所示圖8 網(wǎng)格紙及點(diǎn)選取算法具體實(shí)現(xiàn)步驟：step1放置網(wǎng)格紙，使盡可能多的網(wǎng)格頂點(diǎn)落在橢圓邊緣step2根據(jù)相機(jī)分辨率，設(shè)置網(wǎng)格坐標(biāo)刻度step3選取6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值step4代入式（8）中，得到關(guān)于系數(shù)的線性方程組step5用消元法求得每個(gè)橢圓對(duì)應(yīng)的值step6通過式（2），（3）求出每個(gè)橢圓圓心在下的坐標(biāo)值step7坐標(biāo)變換，得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值2）matlab軟件函數(shù)取點(diǎn)算法用photoshop軟件

19、將圖3格式轉(zhuǎn)換為tiff格式，用matlab圖形工具箱中的imread函數(shù)取得圖片中橢圓區(qū)域，再在圖片區(qū)域找出橢圓邊界上6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，用消元法求出最終結(jié)果 算法實(shí)現(xiàn)步驟：step1用photoshop軟件將圖3格式轉(zhuǎn)為tiff格式并無需任何壓縮step2用imread函數(shù)調(diào)用轉(zhuǎn)換后圖片step3從得到的圖片信息中提取出每個(gè)橢圓邊界點(diǎn)（代碼見附錄1）step4從每個(gè)橢圓邊界點(diǎn)中取出6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值（代碼見附錄2）step5用matlab軟件求出式（3）的方程組形式，并用消元法求得系數(shù)值step6通過式（2），（3）和坐標(biāo)變換，最終得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值注：消元法是以函數(shù)形式給出，代碼見

20、附錄3模型二的求解在imread圖像數(shù)據(jù)中，可以直接得到的值，代入式（10）便得到橢圓d的圓心在圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。相繼也可以求出靶標(biāo)上其他橢圓圓心在圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。算法具體實(shí)現(xiàn)步驟：step1用photoshop軟件將圖3格式轉(zhuǎn)為tiff格式并無需任何壓縮step2用imread函數(shù)調(diào)用轉(zhuǎn)換后圖片step3將圖片按橢圓位置分塊step4在每一塊中用matlab找出橢圓水平和豎直方向最大值和最小值step5用式（10）求出每個(gè)橢圓中心在圖2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值step6坐標(biāo)變換，最終得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值3.1.5 模型的評(píng)價(jià)對(duì)于模型一，首先在圖像坐標(biāo)系中對(duì)圖像進(jìn)行圖像網(wǎng)格處理，得

21、到每個(gè)橢圓上的一些點(diǎn)的坐標(biāo)值；然后根據(jù)橢圓的表達(dá)式，用最小二乘法求出每個(gè)橢圓中心在圖像坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。給出取點(diǎn)的兩種方法：網(wǎng)格取點(diǎn)與計(jì)算機(jī)函數(shù)取點(diǎn)。其中網(wǎng)格取點(diǎn)算法可用于對(duì)結(jié)果精度要求不高，或是沒有高清晰攝像設(shè)備的情況下，在實(shí)際中，這種取點(diǎn)方法能方便快速的得到一些基本的數(shù)據(jù)，給生產(chǎn)工作帶來便利，是一種輔助其他算法的工具，也可以對(duì)其他的算法結(jié)果正確性做簡(jiǎn)單的分析，但這種方法由于精度不高，誤差大；計(jì)算機(jī)取點(diǎn)算法能精確的取到圖片要求區(qū)域的邊界坐標(biāo)值，能用取到的精確坐標(biāo)值進(jìn)行最小二乘法擬合，利用這種取點(diǎn)算法得到的解精度很高，且當(dāng)圖形有略微畸變時(shí)，可以避開畸變區(qū)域點(diǎn)的選取，最終得到理想的結(jié)果，但這

22、種方法需要高清晰度取像設(shè)備，不宜在室外作業(yè)，可以在實(shí)驗(yàn)室的條件下做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。對(duì)于模型二，解決問題的前提是利用橢圓的對(duì)稱性，快速的得到橢圓上四個(gè)極值點(diǎn)的位置，再結(jié)合幾何圖形知識(shí)得出最終的結(jié)果，在處理具有對(duì)稱性的圖形時(shí)，能非?？焖俚牡玫骄_解，并且在程序執(zhí)行過程中花去的代價(jià)很低，但當(dāng)圖形有稍微的畸變，就容易產(chǎn)生很大的誤差。模型一和模型二都有各自的適用范圍，可以根據(jù)不同的情況需求選擇不同的模型或算法來解決問題，也可以將不同的模型或算法結(jié)合起來解決待解決的問題。3.2 問題二的解答由于問題二中給出了具體的數(shù)值且問題模型并沒有改變，顯然問題二的求解必須是要在問題一模型下進(jìn)行，所以只需將具體的數(shù)值代入

23、問題一的模型即可。利用matlab6.0的強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算能力，我們求得了如下解。3.2.1利用模型一中網(wǎng)格取點(diǎn)算法求解這里只考慮用網(wǎng)格選點(diǎn)法，得到從圖3中取得的點(diǎn)的坐標(biāo)如下表1表1 圖像坐標(biāo)系取點(diǎn)坐標(biāo)值橢圓x(mm)y(mm)a 190.204439.6019275.170344.5522375.170354.4526490.204459.4029595.215744.5522695.215754.4526b1105.238444.55222120.272544.55223105.238459.40294110.249861.87805122.778249.50246117.766859.402

24、9c1160.363354.45262160.363359.40293177.903149.50244175.397447.02735165.374747.02736177.903159.4029d1150.3406123.75602145.3293133.65653160.3633123.75604162.8690133.65655160.3633136.13166152.8463123.7560e165.1476133.6565270.1590123.7560375.1703141.0818480.1817138.6067585.1930128.7062682.6873123.7560在m

25、atlab6.0中擬合出每個(gè)橢圓方程的參數(shù)值，見表2表2 每個(gè)橢圓代數(shù)形式參數(shù)的擬合值 橢圓擬合 系數(shù)坐標(biāo)中的點(diǎn)a-1.3953-0.3494-99.0371158.7387-0.7314b-1.3677-1.8741-159.2396353.1355-0.5491c-2.1063-3.0887-221.2915686.4699-0.4062d0.2270 1.7202-337.1185405.6205-0.0189e-0.0150 0.2950-148.024181.2751-0.0887由表2擬合的每個(gè)橢圓方程的參數(shù)值代入（2）（3），得到各橢圓圓心在圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)如下：表3 圖像坐標(biāo)

26、系下擬合各個(gè)橢圓中心坐標(biāo)橢圓(mm)abcdex86.9180113.2818167.5217154.027575.0327y56.609552.148053.0060132.0610137.8438表3得到的是在圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如圖2，圖片中心相對(duì)左上角的坐標(biāo)為（135.3066，101.4799）(單位為毫米)進(jìn)行坐標(biāo)變換，用圖像坐標(biāo)系下的各個(gè)點(diǎn)x坐標(biāo)值值減去135.4497（mm），得到在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的x值，用101.5873減去在下的各個(gè)點(diǎn)y坐標(biāo)值，得到在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的y值，如表4表4 在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值橢圓（mm）a(mm)b(mm)c(mm)d(mm)e(

27、mm)x-48.3886-22.024832.215118.7209-60.2739y50.870449.331946.4739-30.5811-32.36393.2.2利用模型一中計(jì)算機(jī)函數(shù)取點(diǎn)算法求解用函數(shù)在每個(gè)橢圓上取出六個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)值如表5表5 各點(diǎn)取值x（像素）y（像素）橢圓a128320223641823310229434215353262306284206橢圓b138419223842093461206445422054302356462202橢圓c160623026431763652176460623256232486675202橢圓d15714752606475361251545

28、8247155624816585534橢圓e160422026062043607233460522956042146669232在matlab6.0中擬合出每個(gè)橢圓方程的參數(shù)值，見表6表6 每個(gè)橢圓代數(shù)形式參數(shù)的擬合值 橢圓擬合 系數(shù)坐標(biāo)中的點(diǎn)a-2.04070.8922-243.6945340.9528-1.0293b-1.8508-0.2235-470.2341920.9710-2.2089c-0.00330.0010-0.56661.6739-0.0003d-1.0074-0.2193-684.4368815.3615-0.1040e-0.00300.0004-0.57781.6644-

29、0.0011618以一個(gè)單位像素作為刻度，圖3中的圖像可以劃分為個(gè)單元格，用matlab庫函數(shù)中的imread函數(shù)來取得每個(gè)單元格的值，再用問題一中的算法可以取得每個(gè)橢圓心坐標(biāo)值，最后轉(zhuǎn)換到以光學(xué)中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)值，見表7表7 圖像坐標(biāo)系下各橢圓圓心坐標(biāo)值a(mm)b(mm)c(mm)d(mm)e(mm)x-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.21693.2.3利用模型二求解將圖片轉(zhuǎn)換為tiff圖片格式，用取色器在轉(zhuǎn)換后圖片上找出橢圓邊界點(diǎn)的rgb值，可以得到表8值表8 tiff格式圖片上

30、rgb值rgb橢圓邊界內(nèi)和橢圓上可取值1515151241414133434344282828522222261212127444橢圓邊界和邊界外可取值12342342342227227227322122122142152152155204204204在表8中，橢圓內(nèi)部的rgb值都為，橢圓外部的rgb值都為，其他的值都分布在橢圓邊界附近。以一個(gè)單位像素作為刻度，圖3中的圖像可以劃分為個(gè)單元格，用matlab庫函數(shù)中的imread函數(shù)來取得每個(gè)單元格的值，再用問題一中的算法可以取得每個(gè)橢圓心坐標(biāo)值，最后轉(zhuǎn)換到以光學(xué)中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)值（代碼見附錄5），見表9表9 光心坐標(biāo)系下各橢圓圓心坐標(biāo)值abc

31、dex-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.21693.3 問題三的解答直接最小二乘法并未考慮各樣本點(diǎn)誤差的差異，它假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是零均值的，且有共同的協(xié)方差陣，這與實(shí)際情況不符，因而導(dǎo)致參數(shù)的有偏估計(jì)，算法結(jié)果往往并不令人滿意?；谶@種考慮，我們研究了一種改進(jìn)的橢圓擬合的算法。這個(gè)算法主要是用來解決在取得的圖像中有畸變的情況。3.3.1算法建立隨機(jī)方法抽取基于最小二乘法和隨機(jī)原理， 可得到一種具有較高抗干擾能力的橢圓擬合算法。算法原理如下：1) 在所有樣本點(diǎn)(已編號(hào))中隨機(jī)選取6個(gè)樣本點(diǎn)；

32、2) 利用最小二乘法求解橢圓參數(shù)；3) 遍歷所有樣本點(diǎn)，求取各個(gè)點(diǎn)到已得到的橢圓之間的距離，最小二乘技術(shù)主要是尋找參數(shù)集合,從而最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與橢圓之間的距離度量。這里的距離度量常見的有幾何距離和代數(shù)距離。如果小于某個(gè)自己定義點(diǎn)閾值，則稱該樣本點(diǎn)為匹配點(diǎn)，在數(shù)組a記錄該樣本點(diǎn)的編號(hào)，遍歷完畢求取對(duì)于該擬合橢圓的匹配點(diǎn)的總個(gè)數(shù)b；4) 比較匹配點(diǎn)總個(gè)數(shù)c與匹配點(diǎn)最大值d ，當(dāng)前者大于后者，將橢圓參數(shù)和記錄匹配點(diǎn)編號(hào)的數(shù)組m保存下來，分別拷貝至數(shù)組p和數(shù)組q，最后將b賦值給d；5) 循環(huán)執(zhí)行步驟1) 步驟4)一定次數(shù)(根據(jù)運(yùn)行時(shí)間、需要結(jié)果的準(zhǔn)確度以及樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)適當(dāng)定義) ，最后在p保存了最優(yōu)橢圓

33、參數(shù)，在數(shù)組q保存了在所有樣本點(diǎn)中匹配點(diǎn)的編號(hào)，也就相應(yīng)的可以得到不匹配點(diǎn)的編號(hào)。3.3.2算法說明算法第1)步中隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)擬合橢圓，之所以選取6個(gè)點(diǎn)是因?yàn)樵陔x散數(shù)據(jù)中， 往往5個(gè)點(diǎn)不能得到一個(gè)橢圓，本文選取6個(gè)點(diǎn)，用基于代數(shù)距離的最小二乘法擬合橢圓。之所以隨機(jī)選取樣本點(diǎn)進(jìn)行橢圓擬合是考慮到算法的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。 如果考慮所有的可能性，譬如總樣本空間有300個(gè)點(diǎn)，選取6 個(gè)不同的樣本點(diǎn)一共有種可能，遍歷所有可能性在時(shí)間上是不允許的，而且也不必要。要加速計(jì)算，只需選擇其中的一部分子集。在樣本性質(zhì)并不清楚的情況下，使用隨機(jī)方法抽取是一個(gè)很好的選擇。算法流程圖如圖9所示。（代碼見附錄6）開始在所

34、有樣本點(diǎn)e隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)循環(huán)次數(shù)是否已到利用最小二乘法求解橢圓參數(shù)遍歷所有樣本點(diǎn)判斷點(diǎn)到橢圓的距離是否符合要求得到num_inliers 和 inliers_indexbest_elipse_par=橢圓參數(shù)max_inliers_index=inliers_indexmax_inliers=num_inliers結(jié)束num_inliersmax_inliers是否否是圖9 算法流程圖3.3.3算法對(duì)問題一模型的檢驗(yàn)現(xiàn)取題二中的橢圓a作為分析對(duì)象(取點(diǎn)代碼見附錄7)，樣本總體上有233個(gè)樣本點(diǎn)，則有227個(gè)樣本點(diǎn)來計(jì)算點(diǎn)到擬合橢圓的距離，遍歷100次。為得到精確的結(jié)果，閾值應(yīng)越小越好，又因?yàn)閱?/p>

35、題二中的圖片上橢圓比較多標(biāo)準(zhǔn)，閾值在這里取為2個(gè)像素單位，在matlab中運(yùn)行代碼，對(duì)數(shù)值進(jìn)行遍歷，最終得到p中保存的最優(yōu)橢圓參數(shù)，見表10表10 p中保存的最優(yōu)橢圓參數(shù)bcdef 數(shù)值-2.54000.9736-204.7289418.6218-6.2642將得到的數(shù)值abcdex-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.2169通過與問題二的數(shù)值比較發(fā)現(xiàn)，問題一的假設(shè)是合理的，且用問題一種建立的模型，對(duì)比較標(biāo)準(zhǔn)的圖形可以得到很精確的3.3.4算法評(píng)價(jià)在直接最小二乘法的情形中，并沒有考慮到畸

36、變給結(jié)果帶來的誤差。當(dāng)給定圖片存在肉眼看不見的畸變或雜質(zhì)點(diǎn)，如果用直接最小二乘法可能會(huì)產(chǎn)生比較小的，或者是不易察覺的誤差，分析但這些誤差可能會(huì)在生產(chǎn)工作中慢慢的積累，最終可能產(chǎn)生破壞性的影響。例如在眼睛治療中，需要對(duì)眼膜有非常高的精度要求，隨機(jī)化方法可以很好的消除因設(shè)備、雜質(zhì)點(diǎn)等帶來的誤差隨機(jī)化算法是通過一定量的遍歷來消除畸變、雜質(zhì)點(diǎn)等影響，得到想要的到的結(jié)果，有時(shí)這種算法能達(dá)到亞像素精度。3.3.5算法精度檢驗(yàn)1)精度概念分析當(dāng)給定一個(gè)誤差范圍，通過擬合值與真實(shí)值之間的比較，得到誤差平法和、方差等統(tǒng)計(jì)量來對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)2) 檢驗(yàn)方法描述a) 給定一個(gè)圖形，并知道圖形所有點(diǎn)坐標(biāo)值、參數(shù)值等；b

37、) 取到每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，并儲(chǔ)存；c) 對(duì)每一個(gè)圖形上的點(diǎn)用matlab中normrnd函數(shù)生成正態(tài)（高斯）分布的隨機(jī)數(shù)，將這個(gè)隨機(jī)數(shù)加到圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)中，從而得到一個(gè)和原圖形有偏差的新圖形；d) 以新圖形上的點(diǎn)坐標(biāo)作為已知值，用隨機(jī)化算法找到最接近原圖形的參數(shù)值e) 用新得到的參數(shù)值與已知參數(shù)值做統(tǒng)計(jì)量比較，檢驗(yàn)隨機(jī)化算法擬合精度。3) 檢驗(yàn)實(shí)例假設(shè)a,b值擬合誤差超過1%，認(rèn)為算法不合格，否則，證明此算法在擬合方面有很高的精度a) 給定一標(biāo)準(zhǔn)橢圓，中點(diǎn)在原點(diǎn)，a=50,b=30；b) 取到每個(gè)點(diǎn)的值，以1為一個(gè)單位，總共有200個(gè)點(diǎn)x(i),y(i)(i=1,2,200)；c) 用normrnd

38、（0，0.1）生成400個(gè)白噪聲數(shù)值nx(i,1),ny(i,2) (i=1,2,200)，組成一個(gè)白噪聲序列，每?jī)蓚€(gè)用來控制一個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng)的值;將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在白噪聲nx,ny的影響下產(chǎn)生新的位置值x1(i),y1(i);d) 將數(shù)據(jù)x1(i),y1(i)用隨機(jī)化算法，來求得a1,b1的值；e) 對(duì)擬合值a1,b1進(jìn)行誤差分析其中將(x1(i),y1(i)點(diǎn)和原橢圓畫在一個(gè)圖中，如圖10圖10 隨機(jī)產(chǎn)生點(diǎn)與原橢圓用隨機(jī)化算法計(jì)算得a1,b1值分別為50.1205，29.8781重新生成白噪聲序列，再重復(fù)進(jìn)行多次的擬合，最終得到表11中數(shù)據(jù)（代碼見附錄8）表11 擬合值123456789

39、10a150.120549.999850.000050.200149.973149.739150.031749.690250.100049.8973b129.878129.917330.010430.217830.078930.108330.110530.115730.030630.0338分別計(jì)算出a1,b1樣本均值有 a1,b1的樣本方差 計(jì)算每組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如表12表12 相對(duì)誤差12345678910a10.0024 0.0000 0.00000 0.0040 0.0005 0.00520.0006 0.0062 0.0020 0.0021 b10.0041 0.0028 0.000

40、3 0.0073 0.0026 0.0036 0.0037 0.00390.0010 0.0011從先對(duì)誤差表中可得a1最大誤差為0.4%，b1最大誤差為0.73%，都沒超過1%，證明此算法有很高的精度。由于產(chǎn)生隨機(jī)序列的值可能取到很大，則會(huì)出現(xiàn)較大奇異點(diǎn)，使得在其他模型的求解過程中產(chǎn)生很大的誤差，而隨機(jī)化算法可以把這些有較大奇異點(diǎn)的地方，通過篩選把奇異點(diǎn)排除在正確解的范圍內(nèi)。能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。3.3.6算法穩(wěn)定性檢驗(yàn)1) 穩(wěn)定性概念分析在一組影響變量a的因素中，當(dāng)某一個(gè)因素發(fā)生一個(gè)小的變化，會(huì)使得變量發(fā)生

41、很大的變化，則變量不穩(wěn)定，如果在一定的范圍內(nèi)，影響因素的變化不能影響變量發(fā)生很大的變化，則這個(gè)變量是穩(wěn)定的。在隨機(jī)化算法中，主要解決的問題是通過循環(huán)排除畸變或奇異點(diǎn)等等影響，如果模型中出現(xiàn)較大的畸變或出現(xiàn)大的奇異點(diǎn)，而隨機(jī)化算法依然能得到擬合效果很好的擬合情況。否則認(rèn)為隨機(jī)化算法穩(wěn)定性不夠。2) 檢驗(yàn)方法描述1) 給定一個(gè)圖形，并指導(dǎo)圖形在坐標(biāo)系下的所有情況和圖形本身參數(shù)值；2) 給圖形制造一定范圍的畸變或者奇異點(diǎn)；3) 用新圖形的坐標(biāo)值擬合求解圖形的參數(shù)值；4) 進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，確定隨機(jī)算法是否具有較高的穩(wěn)定性3) 檢驗(yàn)實(shí)例假設(shè)c,d值擬合誤差超過5%，認(rèn)為算法不合格，否則，證明此算法在擬合方

42、面有很高的精度a) 給定一標(biāo)準(zhǔn)橢圓，中點(diǎn)在原點(diǎn)，c=50,d=30；b) 取到每個(gè)點(diǎn)的值，以1為一個(gè)單位，總共有200個(gè)點(diǎn)x(i),y(i)(i=1,2,200)；c) 從y=40出小區(qū)圖形右邊部分，用normrnd（0，0.1）生成400個(gè)白噪聲數(shù)值nx(i,1),ny(i,2) (i=1,2,200)，組成一個(gè)白噪聲序列，每?jī)蓚€(gè)用來控制一個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng)的值;將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在白噪聲nx,ny的影響下產(chǎn)生新的位置值x1(i),y1(i);d) 將數(shù)據(jù)x1(i),y1(i)用隨機(jī)化算法，來求得c1,d1的值；e) 對(duì)擬合值a1,b1進(jìn)行誤差分析用隨機(jī)化算法計(jì)算，遍歷100次，得a1,b1值分

43、別為48.1205，29.5781重新生成白噪聲序列，再重復(fù)進(jìn)行多次的擬合，最終得到表13中數(shù)據(jù)表13 擬合值12345678910c147.920148.299848.000049.100148.773148.837148.233747.890248.104047.8633d128.878129.735630.710429.217829.578930.207331.110530.214731.041631.0778分別計(jì)算出c1,d1樣本均值有 a1,b1的樣本方差 計(jì)算每組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如表14表14 相對(duì)誤差12345678910a10.0024 0.0000 0.00000 0.004

44、0 0.0005 0.00520.0006 0.0062 0.0020 0.0021 b10.03740.0088 0.0237 0.0261 0.0140 0.0069 0.0370 0.0072 0.03470.0359從先對(duì)誤差表中可得a1最大誤差為1.8%，b1最大誤差為3.7%，都為超過5%，證明此算法有很好的穩(wěn)定性。在較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間并不會(huì)給最終的解的值帶來很大的誤差，依然能保持解的穩(wěn)定性。模型穩(wěn)定性很高。3.3.7算法評(píng)價(jià)通過以上驗(yàn)證了算法能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。能夠有效地處理包含有較大比例

45、誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。能很好的將引起較大誤差的點(diǎn)排除，并尋找最優(yōu)解或者近優(yōu)解，將誤差控制在很小的范圍內(nèi)。3.4問題四的模型幾何模型3.4.1基本假設(shè)設(shè)兩部相機(jī)的焦距相等，各內(nèi)部參數(shù)也相同兩部數(shù)碼相機(jī)的坐標(biāo)平面是選在光心坐標(biāo)平面不考慮相機(jī)透鏡的畸變，采用較好的光學(xué)鏡頭3.4.2符號(hào)說明世界坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)的坐標(biāo)光心坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)圖像坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是像素坐標(biāo)系在方向和方向相鄰像素間的距離拍攝相機(jī)的焦距旋轉(zhuǎn)矩陣位移向量3.4.3模型的建立如圖11所示,將物體所在的空間設(shè)定為世界坐標(biāo)系,而相機(jī)拍

46、攝的圖像是電荷藕合器件ccd面轉(zhuǎn)化的,所以,可以認(rèn)為ccd平面為圖像平面,定義圖像平面為像素坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)在ccd圖像平面的左上角,u、v軸平行于ccd平面的兩邊,用表示,該坐標(biāo)值為整數(shù)值.圖11數(shù)碼相機(jī)成像坐標(biāo)系相機(jī)拍攝的原理是將坐標(biāo)系中的物體轉(zhuǎn)化成像素坐標(biāo)系中的圖像,轉(zhuǎn)換過程可以通過建立兩個(gè)中間坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn). 3個(gè)步驟是分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系，再由光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。 （11） 其中是光心坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)p的坐標(biāo)，是對(duì)應(yīng)圖像坐標(biāo)系中p點(diǎn)的坐標(biāo)，f是拍攝相機(jī)的焦距。由世界坐標(biāo)系到光心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （12）其中，r為旋轉(zhuǎn)矩陣，

47、t為位移向量，元素為0的列向量。由圖像坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （13）其中，是圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，分別是像素坐標(biāo)系在x方向和y方向相鄰像素間的距離。將式（11），（12）代人式（13）我們得到如下模型： （14）可將式（14）簡(jiǎn)化，得到最終模型為： （15）為式(4)右邊第1項(xiàng)即相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣，為式(14)右邊第2項(xiàng)即相機(jī)的外部參數(shù)，為投影矩陣。3.4.4模型的求解上述是針孔模型下的成像系統(tǒng)的基本標(biāo)定原理，相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)都作為未知內(nèi)容進(jìn)行求解和標(biāo)定的。在利用數(shù)碼相機(jī)進(jìn)行采集圖像時(shí)，可以通過多種途徑求解出數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，然后再根據(jù)逆向投影的方法來求解旋轉(zhuǎn)矩陣和位移向量?？蓪⑹?15)改寫成 （1） 從式(6)可見內(nèi)部參數(shù)矩陣為滿秩矩陣，令: ，用左乘式(16)兩邊并整理得 (17)令并可以進(jìn)一步將式（17）改寫成 (18)其中，是世界坐標(biāo)系中的第點(diǎn)坐標(biāo)，是由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖像像素坐標(biāo)的計(jì)算值。將其展開可得到如下3個(gè)方程 (19)將式(19)中的第3式分別代入上兩式消去。可得到如下兩個(gè)方程 (20)若在世界坐標(biāo)系中取個(gè)點(diǎn)，將會(huì)產(chǎn)生個(gè)方程，用矩陣形式寫出這些方程(21)從式(21)可見，若已知世界坐標(biāo)中個(gè)點(diǎn)的坐