2-10高階導(dǎo)數(shù)的概念及常見高階導(dǎo)數(shù)公式

1、模塊基本信息一級模塊名稱微分學(xué)二級模塊名稱基礎(chǔ)模塊三級模塊名稱高階導(dǎo)數(shù)的概念及常見高階導(dǎo)數(shù)公式模塊編號2-10先行知識導(dǎo)數(shù)的概念模塊編號:2-2知識內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、高階導(dǎo)數(shù)的概念1、理解高階導(dǎo)的概念般掌握2、常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)2、熟記常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)3、萊布尼茲公式3、掌握隱函數(shù)高階導(dǎo)的求解(一般 是二階)4、隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)4、掌握參數(shù)方程咼階導(dǎo)的求解(一 般是二階)5、參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)5、熟記正弦、余弦等常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式能力目標(biāo)1、提高學(xué)生的觀【察分析能力2、培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、類比推導(dǎo)能力時間分配45分鐘編撰黃小枚校對方玲玲審核危子青修訂肖莉娜二審危子青一、正文編

2、寫思路及特點：思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高階導(dǎo)數(shù)的定義， 然后分別介紹常見的初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、萊布尼茲公式、隱函 數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)。特點：通過實際問題引出高階導(dǎo)數(shù)的概念，在求解高階導(dǎo)數(shù)時 分類進(jìn)行講解，層層遞進(jìn)，有助于學(xué)生理解和掌握。二、授課部分1引例(1)變速直線運動的速度v(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s(t) 或 v(tds dt(2)速度函數(shù)v(t)對時間t的變化率就是加速度a(t)，即a(t)是v(t)對t的導(dǎo)數(shù)：-Ja(t) =v(t) = S(t)】或 a(t)=二(二)dt dt(3)加速度a(t)就是位置函數(shù)s(t)對時間t

3、的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為s(t)對t的二階導(dǎo)數(shù)，記為s(t)或器2 高階導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)y=f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，即有X存在，如果f x也可導(dǎo)，則稱f x 的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)。記 y“，或f (x),d2y d2f (x) dx2 ,dx根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知：f(X)=四0f(X Lx) - f (x)類似地.二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).叫做三階導(dǎo)數(shù).三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 叫做四階導(dǎo)數(shù).一般地.(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別 記作y yy(n)或dT影祭函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù).也常說成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)階導(dǎo)數(shù).那么函數(shù)f(x) 階的導(dǎo)數(shù)yy(n)統(tǒng)稱高(2)二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)y y階導(dǎo)數(shù)注

4、：(1)如果函數(shù)f(x)在點x處具有n 在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于 n3.常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1已知y = x3求y n(一級)解：y = 3x2; y=6x; y = 6; y(4)=0;川,y(n)= 0.課堂練習(xí)：已知y=ex求它的n階導(dǎo)數(shù)例2已知y二sinx求它的n階導(dǎo)數(shù).(一級)解 y 二cosx 二si n( x 2)ypos(x+2)=sin(x+y+hsin(x*2 專).y =cos(x 2般地.可得y(n)二sin(x n.即(sinx)(n) =sin(x n 用類似方法.可得（cosx）（n） =cos（x n ）.（選講）例3已知y=（1+x）求它的n階導(dǎo)

5、數(shù).（一級） 解：八 -11 x ;y=-1-2 1 x_4八-1 -2 -3 1 x ；一般的，可得y（n） =（_1 n n!1+xf課堂練習(xí)：求函數(shù)In 1 x的n階導(dǎo)數(shù)常見初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)1 x-= ： -1 J ： 一 n 1 x 二三 R, x 02 sin x “=sin3 cosx cos4 axax In a5 In 1 x1n x -1n(1+x)4.萊布尼茨公式如果函數(shù)u二ux及v二vx都在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)那么顯然函數(shù)u _v, uv，也在點x處具有n階導(dǎo)數(shù)且（u 土v ）= u（n）土v（n）n(UV)(n)八 CnkU(nv(k)k -0此式稱為萊布尼茨公式，例

6、4. y=x2e2x求 yf0,（二級）解：設(shè) u 二 e2x, v 二 x2 則uk =2ke2x k =1,2J|l,20v = 2x, v =2,v=0 k=3,4l|l ,20 i代入萊布尼茨公式.得uv 2 =C2v0U20 CoJu19C；0v2u18CovJIII c/v202 小20 2x 119 2x 218 2x二 C20X2 e C22x 2 e C202 2 e20 2x 2=2 e x 20x 955.隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)例1. y =y x是由方程ey xy = e所確定的隱函數(shù)，試求y/ 0 , y/z 0。(二級)解：方程兩邊對x求導(dǎo):eyy/ y xy/ =0方程

7、兩邊再對x求導(dǎo):eyy/ey y 亠 2y，xy/ 二 0由原方程知，當(dāng)x = 0時，y = 1，代入得y/（0）- -1e再將x = 0，y = 1， y/（0） - _1代入式, e/ 1得 y (0)2e注：隱函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)就是對方程兩邊多求幾次導(dǎo)，然后把低價導(dǎo)數(shù)代入等式。6.參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)例1 求方程丿y acat（0i2 ）所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)y =bs int數(shù)dy及二階導(dǎo)數(shù)y.（二級）dxdx解：dy=2o bctt dx -a si ntab 2d2yd（dy/dxcscbdxdtJdx丿 dt-asinta sint注：求參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)注意在求導(dǎo)數(shù)的時候找準(zhǔn)函數(shù)的自變量三、能力反饋部分1、（考查函