輸油管合理布置的優(yōu)化問題資料

1、陜西師范大學(xué)2011年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二期培訓(xùn)第一題隊(duì)別：27隊(duì)隊(duì)員一：王偉隊(duì)員二：張?jiān)?隊(duì)員三：馮子朋輸油管合理鋪設(shè)的優(yōu)化問題摘要本文討論了合理鋪設(shè)輸油管道使得花費(fèi)總費(fèi)用最省的問題.針對(duì)問題一，在無共用管線情況下，建立花費(fèi)總費(fèi)用的優(yōu)化模型一（文中公式1），運(yùn)用將軍飲馬模型進(jìn)行分析，求得費(fèi)用最省為P l2 （a b）2 .在有共用管線情況下，存在共用管線與非共用管線費(fèi) 用相同和不同的情況，建立花費(fèi)總費(fèi)用的優(yōu)化模型二（文中公式2）.運(yùn)用MATLA對(duì)其進(jìn)行求解，得到費(fèi)用最省的管線鋪設(shè)方案如文中表 二所示.針對(duì)問題二，在城區(qū)鋪設(shè)輸油管時(shí)需要多付附加費(fèi)用，結(jié)合層次 分析法對(duì)給定的三家咨詢公司進(jìn)行

2、篩選， 最終選擇可行度最高的公司 一.按其是否共用管線結(jié)合模型一、二及給定的附加費(fèi)用建立模型 三、四（文中公式3、4），將題中數(shù)據(jù)代入公式 、，運(yùn)用LINGO 軟件對(duì)其進(jìn)行求解，對(duì)得出的兩種結(jié)果進(jìn)行比較，選擇總費(fèi)用較少的 方案，其最少費(fèi)用為280.1771萬元.針對(duì)問題三，在A、B兩廠管線鋪設(shè)費(fèi)用不同的前提下，分無共 用管線和有共用管線兩種情況，建立花費(fèi)總費(fèi)用的優(yōu)化模型（5）、（6）, 運(yùn)用LINGO軟件對(duì)其進(jìn)行求解，最終選擇有共用管線的鋪設(shè)方案，總 費(fèi)用最省為255. 5037萬元.關(guān)鍵詞：共用管線；將軍飲馬；優(yōu)化模型；總費(fèi)用最省一、問題重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線

3、上增建一個(gè)車站， 用來運(yùn)送成品油在將煉油廠的油運(yùn)輸?shù)杰囌镜倪^程中，存在輸油管道的合理鋪 設(shè)問題.只有合理的鋪設(shè)輸油管道，才可以使運(yùn)輸路線簡(jiǎn)單可行，進(jìn)而使得花費(fèi) 的費(fèi)用最低問題一，針對(duì)兩煉油廠到鐵路的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，考慮在共用管線與非公用管線費(fèi)用相同與費(fèi)用不同的條件下，確定輸油管鋪設(shè)的具體方案，使得鋪設(shè)的輸油管線費(fèi)用再少問題二，兩煉油廠的具體位置如圖1所示，A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域）， B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個(gè)區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示圖中各字 母表示的距離（單位：千米）分別為 a =5，b=8，c=15, d=20 鋪設(shè)在城區(qū) 的管線需要多付一定的附加費(fèi)用，

4、不同工程咨詢公司對(duì)附加費(fèi)用的估算結(jié)果如表 一所示.根據(jù)所給出的條件確定管線鋪設(shè)方案及相應(yīng)的費(fèi)用7AI1I11111:1113111111bf711fc11DrcI=-圖一 A、 B廠與鐵路線之間的關(guān)系圖表一各工程咨詢公司對(duì)附加費(fèi)的估算結(jié)果工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費(fèi)用（萬兀/千米）212420問題三，A廠與B廠成品油的管線鋪設(shè)費(fèi)用不同，共用管線的費(fèi)用相同， 城區(qū)的管線鋪設(shè)仍需要付附加費(fèi)用， 在這種情況下，給出管線最佳鋪設(shè)方案， 算 出此時(shí)的費(fèi)用是多少.問題分析合理的鋪設(shè)輸油管路線，不僅需要輸油路線方便可行，而且需要在鋪設(shè)輸油 管道時(shí)所花費(fèi)的費(fèi)用最小，所以應(yīng)建立花費(fèi)最小的優(yōu)化模型 由于A

5、、B兩個(gè)煉 油廠在鐵路的同一側(cè)，故根據(jù) A廠與B廠的位置來分情況討論并給出管線最佳 鋪設(shè)方案及相應(yīng)的費(fèi)用.對(duì)于問題一，在共用管道和非共用管道兩種情況下， 加上輸油管費(fèi)用相同與 不同的兩個(gè)條件下，建立兩個(gè)煉油廠間的距離、兩個(gè)煉油廠與鐵路間距離與輸油 管長(zhǎng)度之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型在非共用管線的情況下，不存在共用管道和非共用 管道費(fèi)用不同的問題，所以要求出鋪設(shè)輸油管道的費(fèi)用最少， 就是將問題轉(zhuǎn)化為 求輸油管道路線最短的問題對(duì)于問題二，因?yàn)榭紤]到 A廠在郊區(qū)，B廠城區(qū)，鋪設(shè)在城區(qū)的管線需要 多付附加費(fèi)用，所以花費(fèi)的總費(fèi)用二管線的費(fèi)用附加的費(fèi)用.建立花費(fèi)總費(fèi)用的 數(shù)學(xué)模型，求得在花費(fèi)總費(fèi)用最小時(shí)管線的具體鋪

6、設(shè)情況 對(duì)于問題三，考慮到A廠與B廠各自的管線鋪設(shè)費(fèi)用的不同，及外加附加 費(fèi)用等因素，建立花費(fèi)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型，求得管線最佳鋪設(shè)方案及相應(yīng)的費(fèi)用三、基本假設(shè)1假設(shè)鐵路線是直線；2.假設(shè)兩個(gè)煉油廠和火車站均為同一平面上的質(zhì)點(diǎn)；3假設(shè)在將非共用管道合并成共用管道時(shí)，接口所需費(fèi)用忽略不計(jì)四、符號(hào)說明符號(hào)表示含義aA廠離鐵路線的距離，圖中AC長(zhǎng)度（單位:千米）bB廠離鐵路線的距離，圖中BD長(zhǎng)度（單位:千米）cA廠離郊區(qū)與城區(qū)分界線的距離（單位:千米）lA廠與B廠間在鐵路線上的投影距離，圖中 CD的長(zhǎng)度（單位:千米）xA廠與非共用管線接口處的投影距離，0 x 丨（單位:千米）yA廠與B廠共用管線的長(zhǎng)度，

7、圖三、五EF、ET的長(zhǎng)度（單位汗米）h圖四中GH的長(zhǎng)度（單位:千米）p非共用管線的費(fèi)用（單位:萬元/千米）q共用管線的費(fèi)用（單位:萬元/千米）r拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用（單位:萬元/千米）L輸油管線的總長(zhǎng)度（單位：千米）S管線總費(fèi)用與拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用的和 （單位:萬元）五、模型的建立與求解考慮在不同情況下，A廠與B廠的距離、A廠與B廠離鐵路線的距離與鋪設(shè)情況之間的關(guān)系，用形象的模型圖來具體反映各個(gè)距離之間的平面關(guān)系， 從而 建立不同的數(shù)學(xué)模型，通過對(duì)模型的求解，最終得到鋪設(shè)費(fèi)用最省時(shí)的鋪設(shè)方案. 因?yàn)槌菂^(qū)與郊區(qū)的鋪設(shè)情況存在在城區(qū)需要多交一部分的附加費(fèi)用， 所以應(yīng)該將 各方面的因素都考

8、慮到，使得最終花費(fèi)最少，進(jìn)而得出輸油管的鋪設(shè)方案 5.1在兩個(gè)煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種情形下，管線的鋪設(shè)方 案管線的鋪設(shè)存在兩種情況，無共用管線和有共用管線在無共用管線情況下， 就是各自擁有一條運(yùn)輸管線，最終兩條共用管線將在鐵路線上合并； 在有共用該 管線情況下，一般認(rèn)為，各自的非共用管線線相交于一點(diǎn)，然后再共用一段管線， 最終到達(dá)鐵路線上.(1)在無共用管線的情況下，建立鋪設(shè)管線總費(fèi)用與兩個(gè)煉油廠間的距離、兩個(gè) 煉油廠與鐵路間距離的數(shù)學(xué)模型圖二 無共用管線模型圖如圖二所示，其中CD所在直線為鐵路線的位置，A點(diǎn)為A廠所在位置，B 點(diǎn)為B廠所在位置，E為車站應(yīng)建的位置.根據(jù)圖中各

9、點(diǎn)的平面位置關(guān)系，運(yùn)用 勾股定理建立鋪設(shè)管道長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)模型L(x) -、x2 a2. (I - x)2 b2鋪設(shè)管線總費(fèi)用為S = p( ： x2 a2(I - x)2 b2)(1)因?yàn)椴淮嬖诠灿霉芫€與非共用管線費(fèi)用不同的情況，鋪設(shè)管線總費(fèi)用最小的問題就等價(jià)于求鋪設(shè)管線的總長(zhǎng)度最小由將軍飲馬模型可知，只要找到 A點(diǎn)關(guān)于鐵路線的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，與CD的交點(diǎn)為E，此時(shí)L(x)最小，x j.L(x)minI2 (a b)2a bSmin = pj2 +(a+b)2(2)在有共用管線的情況下，建立管線費(fèi)用與兩個(gè)煉油廠間的距離、兩個(gè)煉油廠 與鐵路間距離的數(shù)學(xué)模型在非共用管線的情況下(模型圖如圖三所示

10、)，因?yàn)榭紤]到實(shí)際問題，所以共 用管線為A、B兩廠各自輸油管線的結(jié)點(diǎn)到鐵路線上的距離，即E F、E F .當(dāng)0豈y冬b，根據(jù)圖中各點(diǎn)的平面位置關(guān)系， 運(yùn)用勾股定理建立鋪設(shè)管線總 長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)模型為L(zhǎng)(x, y) = Jx2 +(a y)2 +衛(wèi)1 x)2 +(b y)2 +y當(dāng)存在非共用管線與共用管線費(fèi)用相同，即P二q時(shí)，則鋪設(shè)管線總費(fèi)用S(x, y) = p Jx2 +(a y)2 + J(l x)2 +(b y)2 + y當(dāng)存在非共用管線與共用管線費(fèi)用不同，即P = q時(shí)，則鋪設(shè)管線總費(fèi)用S(x, y) = Px2 (a - y)2 (I - x)2 (b - y)2 qyB圖三 有共用管線

11、模型圖綜上，當(dāng)0乞y乞b時(shí)，鋪設(shè)管線的總費(fèi)用為S(x, y) = hp .x2 (a - y)2 (I - x)2 (b - y)2 yp ,x2 (a -y)2_(I -x)2 (b-y)2 qy(p =q)(p = q)運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算得S(X, y)min =|pIYZ3 a bp(# )q21耳 +1 +_q(a +b +q2I2 (b-a)2、2 - 2 ) q -4p(p = q)(p = q)公司資質(zhì)估算的公司二選擇滿意的公司二公司一 1公司二-2附加費(fèi)2準(zhǔn)則層5.2由于城區(qū)與郊區(qū)的鋪設(shè)問題中，存在在城區(qū)需要多交一部分的附加費(fèi)用，建 立在共用管道與非共用管道兩種情況下，花

12、費(fèi)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型(1)鋪設(shè)在城區(qū)的管線除了要付鋪設(shè)費(fèi)每千米 7.2萬元外，還需多付拆遷和工程補(bǔ) 償?shù)雀郊淤M(fèi)用，有三家工程咨詢公司對(duì)其進(jìn)行了估算，建立層次模型，對(duì)三家工 程咨詢公司進(jìn)行篩選.首先，建立層次結(jié)構(gòu) 目標(biāo)層由題目中給出的數(shù)據(jù)可知，公司的資質(zhì)最高，公司二與公司三的資質(zhì)相同, 而公司三與公司一的預(yù)測(cè)值接近且小于公司二的預(yù)測(cè)值，因此可以不考慮公司,只需公司一與公司三作比較.其次，構(gòu)造準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)函數(shù)及方案層對(duì)準(zhǔn)則層各因素的成對(duì)比較陣判斷矩陣0 -vmax - 2C.l.= 0 C.R.= 0： 0 . 1判斷矩陣M - 1V1PlP3Wy1Pl130.751/310.25iax =2C.l

13、 .= 0 C.R.=0判斷矩陣2 -：V2W01150.16671/510.8333max = 2 C.I.二 0 C.R.二 0因此最終排序向量為0.75 0.1667 0.83330.25 0.83330.1667一=(0.6528 0.3472)t由以上分析可知，公司一可信度為 65.28%,公司三的可信度為34.72%,因 此選擇公司一的附加費(fèi)用估算值 21萬元/千米.二鋪在非共用管線情況下，輸油管線鋪設(shè)情況如圖四所示，因?yàn)榛ㄙM(fèi)的總費(fèi)用 設(shè)管線的總費(fèi)用圖四 在區(qū)分城區(qū)與郊區(qū)時(shí)管線鋪設(shè)模式圖目標(biāo)函數(shù) m i rS 二 p a2 x2. h2 (c - x)2 (p r) . (b -

14、h)2 (I - c)2輸油管線鋪設(shè)情況如圖五所示,建立花費(fèi)總費(fèi)用的數(shù)學(xué) 0cxl; a 蘭h 蘭b; a = 5; b = 8;Ic =15; I =20;p =7.2; r =21在共用管線情況下， 模型為圖五 在區(qū)分城區(qū)與郊區(qū)時(shí)管線鋪設(shè)模式圖目標(biāo)函數(shù)min S = p . x2 (a - y)2. (c - x)2 (h - y)2 y ( p r). (b - h)2 (l - c)2st* 0 ： x ： I ;0 y b; a 乞 h 乞 b;* a = 5; b = 8; c = 15;J = 20; p = 7.2; r = 21 5.3A廠與B廠運(yùn)送成品油的價(jià)格不同時(shí)，花費(fèi)總

15、費(fèi)用的優(yōu)化模型在無共用管線情況下，因?yàn)?A廠與B廠輸油管的費(fèi)用不同，花費(fèi)總費(fèi)用的優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)minS=5.6、25 x26.0 .：2一(15二x)2. (8二口2一25 21 . (8二hf25s.t. 9 ex 蘭15； u o(5)p蘭h蘭8在有共用管線情況下，建立花費(fèi)總費(fèi)用的優(yōu)化模型為目標(biāo)函數(shù)min S 二5.6 . X2(5二y)2 6.0 . (15=x)2(h二y)2. (8匚h) 2一25 7.2 y 21 , (8二小2一25s.t. 0 ：x 乞15;0WhE8;(6)0 Ey 蘭h六、模型的結(jié)果與分析對(duì)不同的問題運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法與軟件對(duì)其進(jìn)行求解，最終使得費(fèi)用最省，

16、并得出此時(shí)管線的鋪設(shè)方案6.1對(duì)于問題一的結(jié)果分析在無共用管線的情況下，運(yùn)用將軍飲馬模型對(duì)問題進(jìn)行分析，得到管線鋪設(shè)費(fèi)用最小值.此時(shí)x = l，鋪設(shè)管線的費(fèi)用最小值為l2 (a b)2 .a +b在有共用管線的情況下，運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)公式(2)的費(fèi)用最省值進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果如表二所示表二有共用管線時(shí)花費(fèi)費(fèi)用最省與鋪設(shè)管線情況xyM minp = q丨丄3+ (a _b) 2 2a +b V3 丨2 6V3 +a +b P( l +)2 2p刊卜導(dǎo) J4p2q222qS+b ql plL q2+1+1q(a+bq1)0 |/2 2 J24p -q 4p -q2#4p2_q26.2對(duì)于問題二

17、的結(jié)果分析在無共用管線和有共用管線兩種情況下，將題目中的數(shù)據(jù)代入公式(3)、， 運(yùn)用LINGO軟件對(duì)其進(jìn)行最小值計(jì)算得到數(shù)據(jù)如表二所示.通過表二可知，在有共用管線情況下花費(fèi)的費(fèi)用最省， 所以應(yīng)選擇有共用管 線情況下的管線鋪設(shè)方案.表三城郊區(qū)花費(fèi)費(fèi)用最省與鋪設(shè)管線情況x/千米h/千米y/千米Smin /萬元無共用管線6.1553757.184472/282.0043有共用管線5.4952667.3564371.848091280.17716.3對(duì)冋題二的結(jié)果分析 在無共用管線和有共用管線兩張情況下，將題目中的數(shù)據(jù)代入公式（5）、（6）, 運(yùn)用LINGC軟件對(duì)其進(jìn)行最小值計(jì)算得到數(shù)據(jù)如表三所示.通

18、過表三可知，在有共用管線情況下花費(fèi)的費(fèi)用最省，所以應(yīng)選擇有共用管線情況下的管線鋪設(shè)方案.表四城郊區(qū)花費(fèi)費(fèi)用最省與鋪設(shè)管線情況X/千米h/千米y /千米Smin /萬元無共用管線6.7427217.28897/255.516有共用管線6.722287.29770.1472255.5037七、模型評(píng)價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)：本文將現(xiàn)實(shí)生活中煉油廠鋪設(shè)輸油管線所用總費(fèi)用與管線長(zhǎng)度之 間的關(guān)系劃歸為一般的數(shù)學(xué)模型，用優(yōu)化的思想及函數(shù)求最小值的方法準(zhǔn)確地對(duì) 目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，使原本復(fù)雜的實(shí)際問題變得簡(jiǎn)單化、模型化，在代入實(shí)際數(shù) 據(jù)后，運(yùn)用LINGC軟件對(duì)其進(jìn)行求解，得到較為理想的結(jié)果， 具有很強(qiáng)的參考價(jià) 值.缺點(diǎn)：在

19、實(shí)際的管線鋪設(shè)中，通常要考慮到地質(zhì)的不同，鋪設(shè)的管線不可能 都是直線，這就需要更多的費(fèi)用.在本文的模型中，為了便于計(jì)算，忽略了一些 實(shí)際因素，故所得數(shù)據(jù)及結(jié)論可能與實(shí)際情況有些偏差 .八、模型的改進(jìn)及推廣模型改進(jìn)：在建立模型的過程中，可以在模型中考慮各種現(xiàn)實(shí)情況而對(duì)模型 進(jìn)行改進(jìn).例如，在管線與管線的接口處需增加費(fèi)用，管線在郊區(qū)與城區(qū)的邊界 線上鋪設(shè)時(shí)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)荣M(fèi)用可以減少一定數(shù)額等 .條件越具體，通過改進(jìn), 原有模型就越完善，所得結(jié)果就越符合實(shí)際.推廣：該模型的思想和方法可以推廣到多種領(lǐng)域，如解決汽車、飛機(jī)等補(bǔ)充 燃料地點(diǎn)的選擇問題；優(yōu)化火車、輪船等交通工具選擇的最經(jīng)濟(jì)運(yùn)輸路線問題；

20、處理水、電廠鋪設(shè)最經(jīng)濟(jì)的輸水輸電線路給不同用戶的問題；制定電話線、暖氣 管線等一系列的線路問題.參考文獻(xiàn)1姜啟源，謝金星，數(shù)學(xué)模型（第三版）M，北京：高等教育出版社，2003.2華東師大數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（第三版）M，北京：高等教育出版社，2007.3趙靜，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（第2版）M，北京：高等教育出版社，2003.附錄針對(duì)問題一的程序syms x y a b l f=sqrt(xA2+(a-y)A2)+sqrt(l-x)A2+(b-y)A2)+y; m=diff(f,x);n=diff(f,y);r t=solve (m,n)-1/2*(3*aA2-6*a*b+3*bA2-|A2-3*(

21、a-b+1/3*3A(1/2)*l)*a+3*(a-b+1/3*3A(1/2)*l)*b)/l-1/2*(3*aA2-6*a*b+3*bA2-|A2-3*(a-b-1/3*3A(1/2)*l)*a+3*(a-b-1/3*3A(1/2)*l)*b)/l t =1/2*a+1/2*b-1/6*3A(1/2)*l 1/2*a+1/2*b+1/6*3A(1/2)*lsyms x y a b p q l f=(sqrt(xA2+(a-y)A2)+sqrt(l-x)A2+(b-y)A2)*p+y*q; m=diff(f,x);n=diff(f,y);r t=solve (m,n)-1/4/(-4*pA2+

22、qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2)*l/(-1/2/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2)+ a-b)-1/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b-2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2)*l/(-1/2/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b

23、-2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2)+ a-b)t =a-1/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b+2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2) a-1/4/(-4*pA2+qA2)*(2*qA2*a-8*pA2*a-2*qA2*b+8*pA2*b-2*(-|A2*qA4+4*pA2*|A2*qA2)A(1/2)問題二中無共用管線總鋪設(shè)費(fèi)用的求解min =7.2*(xA2+25F(1/2)+(15-xF2+hA2)A(1/2)+28.2*(8-h) A2+25)A(1/2);x=15;h

24、=8;Local optimal solutio n found.282.0043 0.000000561Objective value:In feasibilities:Exte nded solver steps: Total solver iterati ons:VariableValueReducedCostX6.1553750.000000H7.1844720.000000RowSlack or Surplus DualPrice1282.0043-1.00000028.8446250.00000030.81552750.000000問題二中有共用管線總鋪設(shè)費(fèi)用的求解min =7.2

25、*(xA2+(5-y)A2)A(1/2)+(15-x)A2+(h-y)A2F(1/2)+y)+ 28.2*(8-h)A2+25)A(1/2);x=15;y=8；h=8;Local optimal solutio n found.Objective value:280.1771In feasibilities:Exte nded solver steps:0.0000005Total solver iterati ons:77VariableValueReducedCostX5.4592660.000000Y1.8480910.000000H7.3564370.000000RowSlack or Surplus DualPrice1280.1771-1.000