小學(xué)奧數(shù)習(xí)題教案-4-3-3 任意四邊形、梯形與相似模型（一）.教師版

1、任意四邊形、梯形與相似模型例題精講板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系【例 1】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角形的面積分別是6公頃和7公頃那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？ 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在，中有，所以， 的面積比為同理有，的面積比為所以有=，也就是說在所有凸四邊形中，連接頂點(diǎn)得到2條

2、對(duì)角線，有圖形分成上、下、左、右4個(gè)部分，有：上、下部分的面積之積等于左右部分的面積之積 即=，所以有與的面積比為，=公頃，=公頃 顯然，最大的三角形的面積為21公頃【答案】21【例 2】 如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，AOB面積為1平方千米，BOC面積為2平方千米，COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是692平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)【解析】 根據(jù)蝴蝶定理求得平方千米，公園四邊形的面積是平方千米，所以人工湖的面積是平方千米【答案】0.58【例 3】 一個(gè)矩形

3、分成4個(gè)不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15，黃色三角形的面積是21平方厘米問：矩形的面積是多少平方厘米？【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第7題【解析】 黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50，而綠色三角形面積占矩形面積的15，所以黃色三角形面積占矩形面積的501535已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面積等于213560(平方厘米)【答案】60【鞏固】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：三角形的面積；？【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】2星 【題型】解答【解析】 根據(jù)蝴蝶定理，那么；根

4、據(jù)蝴蝶定理，【答案】【例 4】 四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)(如圖所示)如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，那么的長度是的長度的_倍 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】填空【解析】 在本題中，四邊形為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，

5、則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題解法一：，解法二：作于，于，【答案】2倍【例 5】 如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，、的面積依次是2、4、4和6求：求的面積；求的面積【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】3星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，的面積為，那么和的面積都是，所以的面積為；由于的面積為8，的面積為6，所以的面積為，根據(jù)蝴蝶定理，所以，那么【答案】【例 6】 如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試題【解

6、析】 連接、則可根據(jù)格點(diǎn)面積公式，可以得到的面積為：，的面積為：，的面積為：所以，所以【答案】【鞏固】如圖，每個(gè)小方格的邊長都是1，求三角形的面積【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 因?yàn)?，且，所以，【答案】【?7】 如圖，邊長為1的正方形中，求三角形的面積 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】人大附中考題【解析】 連接因?yàn)椋砸驗(yàn)?，根?jù)蝴蝶定理，所以所以，即三角形的面積是【答案】【例 8】 如圖，長方形中，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 連接，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以平方厘米，?/p>

7、以平方厘米因?yàn)?，所以長方形的面積是平方厘米【答案】72【例 9】 如圖，已知正方形的邊長為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】解答【解析】 設(shè)與的交點(diǎn)為，連接、由蝴蝶定理可知，而，所以，故 由于為中點(diǎn)，所以，故，由蝴蝶定理可知，所以，那么（平方厘米）【答案】6.25【例 10】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的面積分別是3、2、1，則的面積是 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【解析】 這道題給出的條件較少，需要運(yùn)用共邊定理和蝴蝶定理來求解根據(jù)蝴蝶定理得 設(shè)，根據(jù)共邊定理我們可以得，解得【答案】22.

8、5【例 11】 正六邊形的面積是2009平方厘米，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)；那么圖中陰影六邊形的面積是 平方厘米 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，6年級(jí)。初賽【解析】 如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，則圖中空白部分由個(gè)與一樣大小的三角形組成，只要求出了的面積，就可以求出空白部分面積，進(jìn)而求出陰影部分面積連接、設(shè)的面積為”“，則面積為”“，面積為”“，那么面積為的倍，為”“，梯形的面積為，的面積為”“，的面積為根據(jù)蝴蝶定理，故，所以，即的面積為梯形面積的，故為六邊形面積的，那么空白部分的面積為正六邊形面積的，所以陰影部分面積為(平方厘米)【答案】1148【例 12】 如圖

9、，ABCD是一個(gè)四邊形，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)如果ASM、MTB與DSN的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形ABCD的面積為 【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)組，決賽，12題【解析】 連接、由于是的中點(diǎn)，所以與的面積相等，而比的面積大1，所以比的面積大1；又由于是的中點(diǎn)，所以的面積與的面積相等，那么的面積比的面積大1，所以的面積為9假設(shè)的面積為，則的面積為根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面積為，的面積為要使這兩個(gè)三角形的面積為整數(shù)，可以為1，3或7由于的面積為面積的一半，的面積為面積的一半，所以與的面積之和為四邊形

10、面積的一半，所以與的面積之和等于四邊形的面積，即：，得將、3、7分別代入檢驗(yàn)，只有時(shí)等式成立，所以的面積為7，、的面積分別為8、6、9四邊形ABCD的面積為小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個(gè)條件是多余的【答案】60【例 13】 已知是平行四邊形，三角形的面積為平方厘米。則陰影部分的面積是 平方厘米。【考點(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)，第五題【解析】 連接。由于是平行四邊形，所以，根據(jù)梯形蝴蝶定理，所以（平方厘米），（平方厘米），又（平方厘米），陰影部分面積為（平方厘米）?！敬鸢浮?1【例 14】 正方形ABCD邊長為6厘米，AEAC，CFBC。三角形DEF的面積為 平方厘米?！究键c(diǎn)】任意四邊形模型 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，初賽，第13題【解析】 為,所以三角形的面積為三角形的，即正方形 的。因?yàn)椋匀切蔚拿娣e為三角形面積的，所以四邊形的面積是三角形面積的，即正方形面積的，因?yàn)?，所以三角形的面積是正方形面積的，所以三角形的面積是正方形面積的，即（平方厘米）?！敬鸢浮?0【例 15】