11氦原子基態(tài)能級(jí)要點(diǎn)

1、第一章 緒論1.1引言對(duì)氦原子基態(tài)能級(jí)的探討一般選用微擾法及變分法，本文重點(diǎn)討論變分法對(duì)氦 原子基態(tài)能級(jí)的求解。變分法是解決氦原子和類(lèi)氦離子基態(tài)問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，到 目前為止，國(guó)內(nèi)外為追求高精度所選取的變分參數(shù)個(gè)數(shù)已由數(shù)百增至數(shù)千，在忽略 核質(zhì)量的情況下，它們的非相對(duì)論基態(tài)波函數(shù)和能量的不確定度分別達(dá)到1010和10 19，這對(duì)于計(jì)算高精度的相對(duì)論修正和輻射修正具有非常重要的意義。 在量子力學(xué)教科書(shū)中，一般介紹的近似求解法是微擾法和變分法，而變分法中選 擇的嘗試波函數(shù)一般是一個(gè)參數(shù)型的，例如周世勛編量子力學(xué)、曾謹(jǐn)言著量 子力學(xué)教程等介紹的便是用一個(gè)參數(shù)型的嘗試波函數(shù)變分法求氦原子體系基態(tài) 能級(jí)

2、。1.2選題的依據(jù)和意義1.2.1選題的依據(jù)在量子力學(xué)中，對(duì)于具體物理問(wèn)題的薛定諤方程，可以精確求解的問(wèn)題是很 少的。在經(jīng)常遇見(jiàn)的許多問(wèn)題中，由于體系的哈密頓算符比較復(fù)雜，往往不能求 得精確的解，而只能求近似解。微擾法和變分法都是用來(lái)求問(wèn)題的近似解的方法。用微擾法求氫原子和類(lèi)氫離子是比較適合的，但是遇到比氫原子稍微復(fù)雜一 點(diǎn)的氦原子時(shí)，微擾法就不及變分法容易和求解精確。用一參變分法即選用含一 個(gè)參數(shù)的嘗試波函數(shù)，這種波函數(shù)形式簡(jiǎn)單，其物理意義清晰，物理模型簡(jiǎn)單， 適用于教育教學(xué)，但精確度比較低。選用含二參數(shù)的嘗試波函數(shù)，這樣的模型相 對(duì)于更多參數(shù)的波函數(shù)要簡(jiǎn)單，又比一參變分法求解精確度高很多，

3、這樣既有利 于理解怎樣用變分法求基態(tài)能級(jí)，可適用于教學(xué)，又能求得比一參法更為精確的數(shù) 值，因而具有重要的物理意義。1.2.2選題的意義氦原子是比類(lèi)氫離子這種單粒子體系復(fù)雜但是相對(duì)于其他粒子要簡(jiǎn)單的粒 子，研究氦原子這種簡(jiǎn)單的多粒子體系，對(duì)于研究更復(fù)雜的多粒子體系具有重要的意義。變分法是解決氦原子和類(lèi)氦原子的強(qiáng)有力工具，只要選擇合適的試探波 函數(shù)，對(duì)于提高求解能級(jí)近似值有很大的幫助。1.3本文的主要研究?jī)?nèi)容本文主要研究氦原子的基態(tài)能級(jí)，通過(guò)應(yīng)用雙參數(shù)變分法，選擇適當(dāng)?shù)脑囂?波函數(shù)，求出氦原子基態(tài)能級(jí)的能量，并將計(jì)算值與試驗(yàn)值進(jìn)行比較，再與用微 擾法求出的氦原子基態(tài)能量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)比體現(xiàn)出

4、用變分法求氦原子基 態(tài)能級(jí)的優(yōu)越性。3第二章變分法介紹2.1變分法原理AA已知量子力學(xué)中用微擾法求解問(wèn)題的條件是體系的哈密頓算符H可以分為H 和AH兩部分：AAAH =H + H ，AA其中H 0的本征值與本征函數(shù)是已知的，而 H 很小。如果這些條件不能滿(mǎn)足，微擾法就A不能應(yīng)用。因而在遇到H 不是很小的情況下，就需要尋找另外的求解方法，量子力學(xué)中求解問(wèn)題的又一種簡(jiǎn)單方便的方法一一變分法的應(yīng)用不受上述條件的限制。A設(shè)體系哈密頓算符H的本征值由小到大的順序排列為：E, Ei, E2 廠(chǎng)，En,(1)與這些本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是：。，二,， (2)AE和10是基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假

5、定H的本征值E n是分立的，本征函數(shù)t n組成正交歸一系。于是有AH n 二 E?； n設(shè).是任意一個(gè)歸一化的波函數(shù)，將按n展開(kāi)：八a/-nn在屮所描寫(xiě)的狀態(tài)中，體系能量的平均值是AH 二* H d將(4)式代入式，得AH 八 am anm,n淞H竝匚畢業(yè)論文應(yīng)用(3)式有n =送 a； 3 EVdTm,n八 aman En :.mn9m, n=V |an|2 Enn由于Eo是基態(tài)能量，所以Eo :：: En (n=1,2,)，在上式中用E。代替En，則H E |a“ |2n 最后一步用了的歸一化條件Tk I2 =1。n(6)式和(7)式給出:A(8)Eo- * H- d.這個(gè)不等式說(shuō)明，用任

6、意波函數(shù)算出H的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當(dāng)A恰好是體系的基態(tài)波函數(shù)5時(shí)，H的平均值才等于能量Eo。上面討論中曾假定是歸一化的，如果-：不是歸一化的，那么(5)式應(yīng)該寫(xiě)為:A*H-d.H*(9)胖屮d(8)式應(yīng)寫(xiě)為A嚴(yán)*H屮diEo -:(10)0- dAA根據(jù)波函數(shù)算出H的平均值總是不小于Eo，我們可以選取很多的-并算出H的平均值，這些平均值中最小的一個(gè)最接近于Eo。2.2變分法求體系基態(tài)能量的步驟2.2.1選取一個(gè)參量的嘗試波函數(shù)選取含有一個(gè)參量，的嘗試波函數(shù)C)代入式和(9)式，算出平均能量H(.)， 然后由(11)d H( )d，求出H ()的最小值。所得結(jié)果就是Eo的近似值

7、2.2.2選取兩個(gè)參量的嘗試波函數(shù)選取含有兩個(gè)參量:、1的嘗試波函數(shù)(二J代入(5)式和(9)式，算出平均能量H C , )，然后由dH (a B)dH P):)=，()= (12)求出H (：, J的最小值，所得結(jié)果就是Eo的近似值。第三章氦原子基態(tài)能量的變分計(jì)算根據(jù)第二章變分法原理可知，氦原子的基態(tài)能量可由下式計(jì)算得到:A(13)(13.1)E0 min * H d A其中，H為哈密頓算符，屮為歸一化的試探波函數(shù)。若波函數(shù)未歸一化，氦原子的基態(tài)能量可由下式計(jì)算得到:Eo minI 胖屮dw j|啓*H屮dj氦原子有一個(gè)原子核和兩個(gè)電子，它們都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于原子核的質(zhì)量相對(duì)于 電子非常大

8、，核的運(yùn)動(dòng)比電子的運(yùn)動(dòng)要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈 密頓算符可寫(xiě)為：H 二。2、2)-施-2eSeS(14)2A212其中，J是電子質(zhì)量，*與“分別代表第一、第二個(gè)電子到核的距離；L為兩個(gè)電子之間的距離。2為方便計(jì)算，米用原子單位（其中能量單位為哈特利，即2 13.6eV），氦原子體ao系的非相對(duì)論哈密頓算符可寫(xiě)為：A 1 2 2 2 2 1H = C 2 I 2）+（14.1）21 血123.1嘗試波函數(shù)的選擇用變分法求近似解的關(guān)鍵在于選擇合適的嘗試波函數(shù)，嘗試波函數(shù)選得好，可以 在很大程度上提高計(jì)算結(jié)果的精度。對(duì)類(lèi)氫離子，電子的基態(tài)波函數(shù)為（取原子單位，以下暫不考慮歸一化

9、常數(shù)）e習(xí)，它所表示的狀態(tài)有這樣一個(gè)特點(diǎn)：電子的最概然半徑為1 z,電子在半徑為1 z的球殼附近 淞痔法弋竝畢業(yè)論文分布的概率較大。對(duì)于類(lèi)氦離子，如果不考慮兩個(gè)電子相互排斥作用，則基態(tài)波函數(shù)為e1 “2 ,二電子的最概然半徑皆為1 z,但若考慮兩電子的相互作用，利用單參數(shù)變分法 求得基態(tài)近似波函數(shù)為1,8:(15)(15)式中匚=516.在這種模型下，由于排斥作用，兩個(gè)電子的最概然半徑增長(zhǎng)到1 z -二.我們認(rèn)為這個(gè)模型仍然比較粗糙，二電子之間的關(guān)系考慮得不夠，現(xiàn)將試探波 函數(shù)改進(jìn)為如下形式：假如二電子可以區(qū)分即存在某種差別，我們?cè)O(shè)想由于二電子的徑向排斥作用，電子1的最概然半徑為1：且處于形式

10、為e的波函數(shù)描述的狀態(tài)，電子2 的最概然半徑為1且處于形式為e的波函數(shù)描述的狀態(tài)，則兩個(gè)電子的基態(tài)波函數(shù) 可寫(xiě)作：才怙乂心5(16):-,1為變分參數(shù)。顯然,上述說(shuō)法不滿(mǎn)足全同粒子波函數(shù)交換對(duì)稱(chēng)性的要求，事實(shí)上我們不能說(shuō)清某個(gè)電子處于哪個(gè)狀態(tài)由于基態(tài)為1So態(tài),波函數(shù)的自旋部分是反對(duì)稱(chēng)的，空間部分要求是 對(duì)稱(chēng)的，因此，滿(mǎn)足交換對(duì)稱(chēng)性要求的波函數(shù)為： (r1,r2 Ae：r1 e2 叨(17)值得強(qiáng)調(diào),如果: = 1 ,則式(17)退化為單參數(shù)的.它們究竟會(huì)不會(huì)相等不是由想象而是由 變分原理一一能量平均值取極小值條件來(lái)決定.在計(jì)算時(shí)，需注意以上波函數(shù)是未歸一 化的。3.2氦原子能量平均值的計(jì)算A

11、利用(14.1)式和(16)式，我們先計(jì)算嚴(yán)*戒山，然后計(jì)算胖也。有：A- *Hd二 Ae4：r1 飛)T) _丄(、2 遼)_2_2 .丄 Aeir2) /2=1)0.心2IL 21 2 12=Ae r2)e2-?)Ae，eJ：r:q)d .d .,(18.1)2r.(18.2)(18.3)Ae1：rr2) eJ：r2 1)! 2 -)AeJ：rr2) eJ：r2 r1)d.1d.2”2r2+AfedefT Afe1 叨飛丄弋 r1)d.1d .2 首先，求解(18)式中的(18.1)式，有AeeS )(丄、2 _2)Ae：r1 er1)d .1d .2 z2r113J叨飛心d -1d-2(

12、18.1-1)-2A2 e e % 1 e“ e T)d k .2r1(18.1-2)先求解(18.1)式中的(18.1-1)式，有A22er1er1)丄上丄)e ：“rr14：.-2) e：r-r1)d.1d2A22e4 丁1 血)e4血 ir1)卜2 _空)e七用)d 1d 2r1-丄A22e4 丁1 =2). e4：r :r1)16 二 2dr1A/_r22dr/ (： 2-25怡“ 9200216 二22odod2 2 2 2 2 2Ar2 dr2 ( -. r1 -2： rj ( -2r1)eJ：ri 50 016 二22A2)2dJC2ri20 0-2r1)e(：r2 ri)dr1

13、16 二2T _2 2 2A D:0 IL221c y(2)16 二2 _ 2 -A2 r22 :0 -2：-22- )31e如型鼻c)2dr216二A2|-_-1乂2|-T23(2a)3(2a)2 一(2P)3(20)3(20)2 一(2o( )3,16 二2A2二 16 兀2=一 22 - 2 - 2 -(_：: i )3(_：: i )2(_：: .-)3A21 丄 4(a2+P2)4 8(3B (g+B)6(a+P)416二22A21一 16 廠(chǎng) 16(18.1-1.1)接著求解(18.1)式中的(18.1-2)式，有-2A2 e心切 飛宀切1 /旳 屮込5工.心212= _2A 1

14、ie:卜eG G 川,2e：r= r2)4：r2r1)1r1d 1d 2= -32：2A2 上忑-；2) -e(：rr1) - 2e u)r2 仙淞痔法弋竝畢業(yè)論文2 2= 32 二 A2 2= 32 二 ARe2 ：r2卜 2C)2e，：T)r2仙2-2丄2丄41_(2： )2(2 J3 (2：站)2 (：)517=一32叫需+冷(18.1-2.1)然后，求解(18)式中的(18.2)式，有*)(丄八)(丄、2 一勻心心旳edr1)d.1d.2z2r2= _2a2 jje七詭)+e如枷&(r22-)8電)壯強(qiáng)陰旺 (18.2-1)2r2 廳2cr2(18.2-2)-2A2 e1e5 % 丄e

15、 .紀(jì)顯r2先求解(18.2)式中的(18.2-1)式，有A2A2e2)飛小 叩2)e1 叨 erJ d .g 邊r2 廳2tr2e(八)(：2)e4：r2 ri)d-1d 2216 二iA2 “2dri f 2-2 嘰)e% Fda2 o o216216 二22A2dr,（:2r；2: r2）C 2r22- 2十2）上心2T）dr20 0A2 r12dr1 （2r； -2_汕2怡（廠(chǎng) r，）dr216：22A2o-2：2-2：o o16： 2 八22221221A-：兀A2r12：3 -22-23 _22 e -20 |L （二-.-）3（一八*）2（一：匚 ）（二 心）216二2 八22：

16、 22：2222M丨2.2 _（2 ）3 （2 ）2 （2：） （2：）3 （2：）2 （2： ）2 22（很亠；）2 亠）321】：丨、2_一（二-）2 （二 13）伽,亠一丄+丄一丄+叱也厶J21創(chuàng)B33 16t30 8口3B（g+0）6（a +B）416 二22A21 1IL 16：川 3 16 M）6（18.2-1.1）接著求解（18.2）式中的（18.2-2）式，有-2A2心5旳e T）丄e1旳e叩疋品.2=-2A2 I ie（：r1 r2） eg T） 2er1 T）心 T）丄 d 川 2r2= -32A2 .dr1 旳 e*2 F）. 2e f 兒回“0 0總怎廳弐 畢業(yè)論文19

17、2 2= 32 二 A，=丄e丄e0 _（2 ） （2：）e：凸r2 2= 32 二 A-2丄2丄41_（ ）2（2：）3 （2：站）2 （：）5=一32叫需+冷（18.2-2.1）2 2=16 二 A2 2=16 二 A最后，求解(18)式中的(18.3)式，這里根據(jù)參考文獻(xiàn)，有飛“丄HeSiMeFdid.ri2r22dr/. ri2e（：ri 如. Qe1） g q 10 0 *2Idjrjle1 M eG 2e“）1 dn0 0r2+ 16二2A2 知2 .e*1 ；2） - eg 切0r22e“亠,H） （:r2 U1dr1r1co= 16：2A2 r2dr2（0222飛旦丄 _rL

18、. r21 ）er-）r22： 24： 321 _2l2 -,3）e2 2+ 16 二 Ar2dr2占1-2：七、尸 )2 2+ 16 二 A2r；（:亠卩）42（二.-）24e-2（a 刑 r2一心）3f0+ 16：2A24e7：Tr2）3e總撼丫丸畢業(yè)論文2 2+ 16 二 A丄工丄 22.22（：.恥4-：22 -4 2（很亠.）（很亠.）2212 22-f 縣）（=16-2八召*召*）（-占怡+16”傘嚴(yán)42（二亠 ”）3）詁：仇dr2dr?2 2=16 二 A1 2 1 1| 4 2 8（用亠,）3 4 34（：丄亠 ”）2 |+16二2A21 2 1 1| 4 28（用亠）34 3

19、4（用亠）2+16二2A22241I X x IL （J .-）28（二 1.-）3（二 1.-）34（一八 J）22 2+ 16 二 A丄沢丄+丄汽丄過(guò)4口3 4$2 4$3 42 （a +B）3 （a +B）22 2=16 二 A-2 2 3 I- 35 I1少303 16（。+P）3 16徑樣）2 2 +B）5（18.3-1）A計(jì)算完了嚴(yán)*屮，接著計(jì)算胖*屮心。有:； *d=Aer1 飛1）/：2）e2 ,d .1d .2二A2心心八e叩旺心 飛） /八）9，.2= A2.e.e2 丁2 - r1）D2e2）r2 ）d Md 2總密;廳竝匕畢業(yè)論文= 16A2da .e 恥-r2)- e

20、J( -2 -ri) - 2e：i r2)心)0 02 2=16 二 A0eJ223e(2 J嚴(yán)7*5汕2 2=16 二 A- L_ L_ L_4 -2 -(2 )3 (2 -)3 (2 -)3 (2 )3 .-)32 2=16 二 A(19)由于波函數(shù)WC- , J是未歸一化的波函數(shù)，因此由(9)式、(18)式各個(gè)計(jì)算結(jié)果、(19)式計(jì)算結(jié)果可知：| a2 + 02 十 8PTa + P16十ot+Bot+B，ot+P516。303(a +B)64a303(a +0)516a3B3 16+B)3 16(a+B)2 2(a+B)583 G J(20)將(20)式右邊分子分母同乘16313 (-

21、八“)6可得:(?-2 - 3 -3 -)(-八、)6 T28： 4 ： 43 2(、； I)6 T28： 3 -3-(2：汀,3 - 2- 3、：4 ： I4”、：|.:)32(、；、I)6 128 3 ： 3a8 +67 +1少6B2 +26g5B3 +158，04 + 26口305 +16a2B6P82 6 12： 51 30：4 12 168 3 3 30： 2 ：4 12亠5 2 ：623曲挖湮上汽匚畢業(yè)論文4/ +2&（沖 +72（沖2 +33g4B3 +333沖4 +72/陽(yáng) +2&P6 +4曠212一： 30：* 2 168 3門(mén) 30：2 12廠(chǎng)5 2（根據(jù)（12）式 汁）=

22、0,：HC）=o，以及（21）式的結(jié)果，有：ca麗（8 7 42： 61 96：5 ：2 130 4 一：3 632 3 一：4 78 2 一：5 3 - 6 6 7）-（28 6 156 360： 4 ：2 1320： 3 ：3 990： 2 ：4 144 -5 26：6）（2 6 - 12 51 30 4 ：2 168： 3 - 30： 214 - 12如5 2一：6）_（： 8 6 卄 16 2 263 158 4 26 5 166 8）-（4： 7 26 6172 512 330： 4 3 330： 3 一：4 72： 2 一： 5 26門(mén) 6 4 7）（12： 560： 41120：

23、 3 一：2504 2 60如412）=0（22）（8 ：7 42 汽96 ：5：2 130 ：4： 3 632 13：4 78 ： 2：5 32 一 667）-（28 6156 5二九360 4： 21320汽 3 990 2： 4144一： :-5 - 26 6）（2 1612 ：5： 30 ：4： 2 168 ：3： 330 ：2： 412宀526）_86 ： 7二1616： 2265：3158：4： 426 ：3： 516：2：6. 6心7 ：;心8）_（4 ：7 26 I6：; ： 72 5： 2330 ：4： 3330 ：3： 4722: 526：64 7）（12 ：5 60 4二

24、120 ：3：2 504 ：2：3 60 二 4125） =0（23）聯(lián)立（22）、（23）可解得有用的：和一：，有：25淞痔法弋竝畢業(yè)論文27:= 2.1832 , 1 =1.1885(24)將(24)式的結(jié)果代入(20)式可解得:嚴(yán)2 +P28 邯o+B 16| o+B a - + p - a + P 5 I 16a3B3 +(口 + 閃6】_4口3呂3 _(口 +甘)5 + 需3阻-似口 #)3 飛儀十 p)2 + ? 羽5 H = 1 88 3 : 3 C：亠)60.02210612749710.0141282750151 -0.0482514988418 - 0.0367176901

25、 797-0.0071553665572 +0.0054498178660.01206286971045 -0.0014964375639 -0.0038031242148 0.00573713909060.0071553665572 +0.005449817866=-2.876058145316：-2.876058上面所求H采用的是原子單位制，因此在國(guó)際單位制中，最后求得的的基態(tài)能量為：(25)H，亦即氦原子2 eH =-2.876058a0(26)淞H竝匚畢業(yè)論文29第四章結(jié)果比較4.1氦原子基態(tài)能量的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值比較由參考文獻(xiàn)可知用實(shí)驗(yàn)方法得出氦原子基態(tài)能量為2-2.904es，而用變

26、分法算出a0_ 2來(lái)的結(jié)果由(26)式可知為E。:- -2.876056。其相對(duì)誤差為:a-2.904(-2.876058)a。00% =0.962%a。(27)-2.904 - a。4.2 一參變分法與二參變分法比較由參考文獻(xiàn)可知用一參變分法計(jì)算能量，準(zhǔn)確到第一級(jí)近似的結(jié)果為- 2.85蛍，a。2而用實(shí)驗(yàn)方法得出氦原子基態(tài)能量為 -2.904，可算出其相對(duì)誤差為: a。2 2- 2.904邑 -(-2.85 魚(yú))a0a02- 2.904電a100% =1.859%(28)從(27)式和(28)式可以看出，用二參變分法計(jì)算氦原子基態(tài)能量比用一參變分法計(jì)算氦原子基態(tài)能量又要精確很多。由此可知，求

27、多粒子體系的基態(tài)能量時(shí)，變分法的參數(shù)的多少對(duì)求解結(jié)果的影響也是很大的4.3變分法與微擾法比較2 由參考文獻(xiàn)可知用微擾法計(jì)算能量，準(zhǔn)確到第一級(jí)近似的結(jié)果為-2.75亙，而用實(shí)驗(yàn)方法得出氦原子基態(tài)能量為- 2.904冬，可算出其相對(duì)誤差為：a。2 2-2.904邑 -（-2.75魚(yú)）-2ao100% =5.303%（29） -2.904Ssa。比較（27）式、（28）式和（29）式可以看出，用變分法計(jì)算氦原子基態(tài)能量比用微擾法計(jì)算氦原子基態(tài)能量要精確很多。由此可知，求多粒子體系的基態(tài)能量時(shí)，變分法有著微擾法無(wú)法比擬的優(yōu)越性。總怎廳；畢業(yè)論文參考文獻(xiàn)1 周世勛量子力學(xué)M.北京：高等教育出版社，1979.2 余鳳軍氦原子及類(lèi)氦原子基態(tài)的二參數(shù)變分法研究J,大學(xué)物理，2008,27(5)3 馬二俊類(lèi)氦原子體系基態(tài)能量變分法的數(shù)