完整word版復(fù)數(shù)知識點歸納2推薦文檔

1、【知識梳理】、復(fù)數(shù)的基本概念1虛數(shù)單位的性質(zhì)這樣方程X21就有解了,i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定： i可與實數(shù)進行四則運算； i2解為X i或X i2、復(fù)數(shù)的概念12(1)定義：形如a bi (a, b R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位,a叫做,b叫做a bi (a, b R)全體復(fù)數(shù)所成的集合 C叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z對于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點:z a bi (a, b R)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中bi表示b與虛數(shù)單位i相乘復(fù)數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)，否則不是代數(shù)形式(2) 分類:滿足條件(a, b為實數(shù))復(fù)數(shù)的分類a + bi為實數(shù)？ b= 0a + bi為虛數(shù)？ bM 0

2、a+ bi為純虛數(shù)？ a = 0且bm 0例題：當實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)(m 5m 6) (m2 3m)i是實數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)?二、復(fù)數(shù)相等a bi c di a c,b d(a,b,c,d R)也就是說，兩個復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實部和虛部分別相等注意：只有兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)，才可以比較大小，否則無法比較大小例題：已知(X y 3) (X 4)i0求X, y的值三、共軛復(fù)數(shù)a bi 與 c di 共軛 a c, bd(a,b, c, dR)z a bi的共軛復(fù)數(shù)記作z abi，且 za2 b2四、復(fù)數(shù)的幾何意義1復(fù)平面的概念建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,X軸叫做實軸，y軸叫做虛軸

3、。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。(復(fù)數(shù)的的點(2)復(fù)平面內(nèi)AB(2,6)，已知CD/ AB，求CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z a bi與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a, b)及平面向量OZ (a,b) (a,b R)是一一對應(yīng)關(guān)系實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示一個平面向量) 相等的向量表示同一個復(fù)數(shù) 例題：(1)當實數(shù)m為何值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) z (m2 8m 15) (m2 5m 14)i位于第三象限；位于直線y x上3、復(fù)數(shù)的模:向量0Z的模叫做復(fù)數(shù)a bi的模，記作iz或a bi，表示點(a,b)到原點的距離,a biJa2b2

4、若z1a bi ,z2di，則乙Z2表示(a,b)到(c,d)的距離，即ZiZ2J(a c)2(bd)2例題:已知zi，求的值五、復(fù)數(shù)的運算(1)運算法則：設(shè)zi = a+ bi,Z2 = c+ di, a, b, c, d R z-iz2a bic di (ac) (b d)i z1 z2(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i如圖給出OZ=OZi+341, i3 i , i41求in，只需將n除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次(a bi)(c di) (ac bd) (be ad)i2 .2c d互(a bi)Z2(c di) (c di) (c di)(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減

5、法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行的平行四邊形 0ZiZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即 0Z2, z1z2=OZ2-0Z1.六、常用結(jié)論例題:(2)(1i)22i2(1 i)2i1，(2J33Ti)【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“2”或“X”方程x2+x+ 1 = 0沒有解.(復(fù)數(shù)z= a + bi(a, b R)中，虛部為bi.(.(3) 復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小原點是實軸與虛軸的交點.(.( )(5)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的?！究键c自測】1.(2015安徽)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1

6、i)(1 + 2i)等于()A.3 + 3iB. 1+ 3iC.3 + iD. 1 + i2.(2015課標全國I )已知復(fù)數(shù)Z滿足(Z 1)i = 1 + i，貝y z 等于()A. 2 iB. 2+ iC.2 iD.2 + i3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù) 6 + 5i,2+ 3i對應(yīng)的點分別為 A, B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是(A. 4 + &B. 8 + 2iC.2 + 4iD.4 + i4.已知a,bR, i是虛數(shù)單位 若a+ i = 2 bi，則(a + bi)2等于(A.3 4iB.3 + 4i C.4 3iD.4 + 3i5. 已知(1 + 2i) Z = 4+ 3i，

7、貝U z=【題型分析】題型一復(fù)數(shù)的概念10例1(1)設(shè)i是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù)z= a :(a R)是純虛數(shù)，則3 ia的值為()A. 3B. 1C.1D.3(2)已知a R，復(fù)數(shù)Z1 = 2+ ai,Z2= 1 2i，若Z1為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)I1的虛部為()A.1B.iD.0(3)若 Z1= (m2 + m + 1)(m2+ m 4)i(m R), Z2= 3 2i,則“ m= 1 ”是“ Z1 = Z2”的(A. 充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1.對本例(1)中的復(fù)數(shù) 乙若|z|=i0，求a的值.2.在本例 中，若Z1為實數(shù)，則a=思維升華 解決復(fù)

8、數(shù)概念問題的方法及注意事項只需把復(fù)數(shù)化（1）復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程（不等式）組即可.解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為a + bi（a, b R）的形式，以確定實部和虛部跟薦訓歳1 （1）若復(fù)數(shù)z=（X2 1） +（X 1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為（）A. 1B.0C.1D. 1 或 1（2014浙江）已知i是虛數(shù)單位，a, b R，則“ a= b= 1 ”是“（a+ bi）2= 2i”的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運算命題點1復(fù)數(shù)的乘法運算例2（

9、1）（2015湖北）i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)為（）A.iB. iC.1D. 1（2015北京）復(fù)數(shù)i（2 i）等于（A.1 + 2iB.1 2i C. 1 + 2iD. 1 2i命題點2復(fù)數(shù)的除法運算1 i 2例 3(1)(2015 湖南)已知 一=1 + i(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z等于（）A.1 + iB.1 iC. 1 + iD. 1 i1 + i6 邁+占i(2)(肓)6+2命題點3復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合問題例4（1）（2015天津）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1 2i）（ a+ i）是純虛數(shù)，則實數(shù) a的值為 （2014江蘇）已知復(fù)數(shù)z= （5 + 2i） 2（i為虛數(shù)單位），

10、則z的實部為命題點4復(fù)數(shù)的綜合運算例5 （1）（2014安徽）設(shè)i是虛數(shù)單位，z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù) 若z= 1+i,則j + i之等于（） 思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略A. 2B. 2i C.2D.2i（2）若復(fù)數(shù)z 滿足(3 4i)z=|4 + 3i|,則z的虛部為（）A. 4C.44D.4(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題，先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一

11、般化為a + bi(a ,b R)的形式,再結(jié)合相關(guān)定義解答.(4) 復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a + bi(a, b R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.要先算乘除，后算復(fù)數(shù)的綜合運算.分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序, 加減，有括號要先算括號里面的Z眼心 5山東)若復(fù)數(shù)Z滿足口= i，其中i為虛數(shù)單位，則Z等于()A.1 iB.1 + iC. 1 iD. 1+ i1 + i匕2 016 = 7+翳+咅2心題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例6(1)(2014重慶)實部為2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()A.第一象限B.第二象限C.

12、第三象限D(zhuǎn).第四象限(2) ABC的三個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zi ,Z2, Z3,若復(fù)數(shù) z 滿足 |z zi|= |z Z2|= |z Z3|,貝U Z 對應(yīng)的點為 ABC的()A.內(nèi)心B. 垂心C. 重心D.外心思維升華 因為復(fù)平面內(nèi)的點、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)時,只要找出所求向量的始點和終點,或者用向量相等直接給出結(jié)論即可A.AC.C D.D跟跆訓歳3 (1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點A表示復(fù)數(shù)乙則圖中表示Z的共軛復(fù)數(shù)的點是()yJE *cB.B已知Z是復(fù)數(shù)，Z+ 2i、：均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(Z+ ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第2 i象限，求實數(shù)

13、a的取值范圍.【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問題的實數(shù)化思想典例 已知X, y為共軛復(fù)數(shù)，且(X+ y)2 3xyi = 4- 6i，求x, y.思維點撥(1)x, y為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來;(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問題要把握一點，即復(fù)數(shù)問題實數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法(2)本題求解的關(guān)鍵是先把X、y用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來，再用待定系數(shù)法求解.這是常用的數(shù)學方法.(3)本題易錯原因為想不到利用待定系數(shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程求解【方法與技巧】1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根.除法實際上是分母實數(shù)化的過

14、程2.復(fù)數(shù)z= a+ bi(a, b R)是由它的實部和虛部唯一確定的，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.對于一個復(fù)數(shù)z= a+ bi(a, b R),既要從整體的角度去認識它，把復(fù)數(shù)看成一個整體，又要從實部、虛部的角度分解成兩部分去認識3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問題，平移往往和加法、減法相結(jié)合.【失誤與防范】1.判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義2.兩個虛數(shù)不能比較大小3.注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a + bi(a, b R)中的實數(shù)b,即虛部是一個實數(shù).【鞏固練習】1.(2015福建)若(1

15、+ i) + (2 3i) = a+ bi(a, b R, i是虛數(shù)單位)，貝U a, b的值分別等于()A.3 , 2B.3,2C.3, 3D. 1,42.設(shè) z=古 + i,1 + i則|z|等于(D.2C心C. 23.(2015課標全國n )若a為實數(shù),且(2 + ai)(a 2i) = 4i，貝U a 等于()A. 1B.0C.1D.24.若i為虛數(shù)單位,圖中復(fù)平面內(nèi)點Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)t的點是()A.E B.FC.GD.H5.（2014江西）z是z的共軛復(fù)數(shù)，若z+ z = 2, （z z ）i = 2（i為虛數(shù)單位），則z等于（）A.1 + iB. 1 i C. 1 + i

16、D.1 i6. （2015江蘇）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2= 3 + 4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為7. 若3+bi = a + bi（a, b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位），則a+ b=1 i 8.復(fù)數(shù)（3 + i）m （2 + i）對應(yīng)的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù) m的取值范圍是9.計算：一匕2+ i ；1+ 2i2+ 31 i ； (3)+嚴;(4)七理.1 + i 1 iV3+ i 2310.復(fù)數(shù) Z1= a+5 + (10 a2)i,Z2 =2 -+ (2a 5)i，若 Z 1+ Z2 是實數(shù),1 a求實數(shù)a的值.【能力提升】11.復(fù)數(shù)Z1 ,值范圍是（Z2滿足 Z1= m+ (4 m2)i, Z2= 2cos 0+ ( + 3sin 圳(m,入0C R），并且Z1= Z2,貝U入的取A. 1,1B.-16，1 C.-16, 7D.16,712設(shè) f(n) =1+ i1 i!+ n（n N*），則集合f（n）中元素的個數(shù)為（A.1