反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究1

1、題目：反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究目 錄摘要：IAbstract.II1 引言12 反例的來源與構(gòu)造13 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用13.1 幫助正確全面地理解數(shù)學(xué)概念23.2 增強發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤的觀念33.3 理解并掌握數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)43.4 加深對公式、法則的正確理解并靈活運用43.5 提高否定錯誤的命題的能力44 反例教學(xué)對學(xué)生思維的培養(yǎng)54.1 培養(yǎng)思維的靈活性54.1.1反例用于強調(diào)條件54.1.2反例用于暢通思路64.2 培養(yǎng)思維的深刻性74.3 培養(yǎng)思維的發(fā)散性84.3.1反例用于否定謬誤84.3.2反例用于拓展思維94.4 培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性95 運用反例注意問題115.1 注

2、意主次115.2 注意適當(dāng)11結(jié)論11致謝語12參考文獻12I 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究摘要：數(shù)學(xué)是一門嚴密的科學(xué),它有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系。在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，反例與證明有著同等重要的地位。尤其是在判斷事物的真假時，起著十分重要的作用。所謂反例,通常是用來說明一個命題不成立的例子,即符合命題的條件但與命題的結(jié)論相矛盾的例子。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要證明一個命題成立,就要嚴格地證明其在符合題設(shè)的各種可能的情況下結(jié)論都成立,而要推翻一個命題,卻只要指出在符合題設(shè)的某個特殊情況下結(jié)論不成立就可以了,也就是說只要舉出一個反例就行了。 關(guān)鍵詞：反例；來源；構(gòu)造；辨證；作用；思維Counter Exam

3、ple Role Study In Mathematics TeachingWU Ya-lin(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: Mathematics is an exact science, it has its own unique way of thinking and logical reasoning

4、 system. In the history of mathematics, counter example and prove equally important position. Especially in the judgment of true and false things, plays a very important role. So-called, is usually used to illustrate an example of a proposition is not set up, which can meet the requirements of propo

5、sition but inconsistent with the conclusion that the proposition of example. In learning mathematics was set up to prove that a propositional, will prove its strictly in accord with the topic of a variety of possible conclusions are valid, and to overthrow a proposition, but as long as pointed out i

6、n accord with the topic of a particular situation to conclusion was not ok, that is to say just give a counter example.Keywords: Counter example; Source; Structure; Syndrome differentiation; Role;thoughtI 1 引言數(shù)學(xué)中的反例通常是要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。比如說，對一個命題：所有的天鵝都是白色的。為了說明這個命題不

7、是真的，只需要舉出一個例子，使之具備命題的條件（天鵝），而不具備命題的結(jié)論（白色的）。這樣的例子稱為反例：“一只不是白色的天鵝”就是這個命題的反例。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中,反例和證明有著同等重要的地位.反例與證明是相反相成的兩種邏輯方法。證明是用已知為真的判斷，來確定另一個判斷的真實性；而反例是用已知為真的事實去確定另一判斷的真假。但它們都是在確定事物的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。美國數(shù)學(xué)家B.R.蓋爾鮑姆說：“冒著過于簡單的風(fēng)險，我們可以說（撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談）數(shù)學(xué)由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學(xué)也是朝著兩個主要的目標(biāo)提出證明和構(gòu)造反例”發(fā)展。那該怎樣學(xué)好數(shù)學(xué)呢?首先最主要的問題就是幫助和促使我們

8、掌握好基本概念和基本性質(zhì).解決這個問題的有效方式之一,就是重視和恰當(dāng)?shù)氖褂梅蠢? 所以說在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,反例有著十分重要的意義,舉反例的方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)經(jīng)常為同學(xué)們所用,它幫助學(xué)生對概念、定理、公式的理解更加全面、更加透徹, 它在幫助我們發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學(xué)真理,強化對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解和掌握,以及幫助培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力等方面都具有不可抹滅的作用和意義.下面我將從反例的來源與構(gòu)造，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，反例教學(xué)對思維能力的培養(yǎng)，運用反例應(yīng)該注意的問題這四個方面來論述。2 反例的來源與構(gòu)造證明一個猜想是真實可靠的,必須經(jīng)過嚴格的推理證明才能得出結(jié)論;而要證明一個猜想是假的,就只需要找到這個猜

9、想命題的反例.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有這樣一種現(xiàn)象：教師為了說明一個命題是假命題, 就舉出一個例子, 說出這個例子雖然滿足命題的條件, 但是不能滿足命題的結(jié)論,這就是常用的反例證明。但是反例是怎樣獲得的呢?與獲得證明的方法一樣,反例的獲得也需要經(jīng)過一系列深層次的思維活動,其方法包括:觀察與實驗,歸納,分析與綜合,概括與抽象等,反例決不是憑空得到的。從概念的定義入手分析獲得反例是最常用的一種方法，概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式。在數(shù)學(xué)問題中,若首先給出一個概念的定義,然后判斷一個猜想是否正確,則反例的獲得就常常需要從定義入手分析。數(shù)學(xué)中的反例作為簡明而又有力的否定方法,它不僅在培養(yǎng)逆向思維能力中占有重

10、要地位，而且在糾正錯誤結(jié)論、澄清概念、開拓數(shù)學(xué)新領(lǐng)域中也起到了非常重要的作用，正如美國數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆所說：“數(shù)學(xué)是由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也是朝著這兩個目標(biāo)的即提出證明和構(gòu)造反例?！? 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用反例的尋找為新興學(xué)科的發(fā)展提供了源泉，被譽為大自然的幾何學(xué)的分形理論,是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個新分支,但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論。雖然分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特1975年首先提出的, 但最早的工作可追朔到1875 年,德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù),集合論創(chuàng)始人康托德國數(shù)學(xué)家)構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。1890年,意大利數(shù)學(xué)家皮亞

11、諾構(gòu)造了 填充空間的曲線。1904年,瑞典數(shù)學(xué)家科赫設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年,波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基設(shè)計了象地毯和海綿一 樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問題而提出的反例,但它們正是分形幾何思想的源泉。以后,這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多人的注意,先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓撲學(xué)教科書中的反例而流傳開來。3.1 幫助正確全面地理解數(shù)學(xué)概念 在對數(shù)學(xué)的概念進行學(xué)習(xí)時，不僅要運用正面的例子對概念進行深刻的理解，而且還要運用適當(dāng)?shù)姆蠢?，從另一個反面對概念的本質(zhì)進行分析，使對所學(xué)概念有進一步理解，從而更深刻地理解和掌握概念。 例1 關(guān)于函數(shù)的概念時，可能就是簡單地認為就

12、是：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，為了糾正這一錯誤的認識，可以提出這樣的兩個問題： (1) 人的身高與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？ (2) 若,則y是x的函數(shù)嗎？ 不少同學(xué)肯定認為(1)人的身高與年齡有關(guān)系，因而人的身高與年齡構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。而(2)中由于，因變量y不隨x的變化(y1)，故y不是x的函數(shù)。此時教師可以和學(xué)生一起參與討論。發(fā)現(xiàn)問題(1)里，盡管人的身高與年齡有關(guān)系，但年齡并不能確定人的身高，即當(dāng)自變量(人的年齡)發(fā)生變化時，因變量(身高)沒有完全確定的值和它對應(yīng)，因此不符合函數(shù)的定義。而在問題(2)里，對每一個給定的x值(在x的定義域內(nèi))，y隨x總有唯一確定

13、的值(y1)和它對應(yīng)，只不過當(dāng)x變化時，y的值始終不變罷了。由此認識到y(tǒng)是x的函數(shù)，并非一定要求y隨x的變化而變化。 通過所舉兩個反例的學(xué)習(xí)，他們就容易地體會到：對變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值和它對應(yīng)，這才是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。教學(xué)中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，往往容易讓學(xué)生對一些關(guān)鍵的詞語認識不夠，對所給的條件理解不透徹，就不能夠抓住它的本質(zhì)，而只是機械地記憶概念、定理的名稱和公式的結(jié)構(gòu)。如果遇到概念、定理、公式的名稱相近或結(jié)構(gòu)類似，就容易造成理解上的混淆。例2 對于定理：“對角線相等且互相平分的四邊形是矩形”與定理：“對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形”

14、的內(nèi)容很相近，這就容易讓他們搞不清楚。因此在教學(xué)中，諸如此類的問題，講述時應(yīng)多舉反例，也可以鼓勵他們舉反例，以便達到強化理解概念的作用。例3 我們在學(xué)習(xí)等腰直角三角形時，等腰直角三角形的性質(zhì)較多，內(nèi)容豐富，由“等腰”、“直角”、“三角形”三方面組成。學(xué)生在學(xué)習(xí)了概念之后，就容易出現(xiàn)：要不是忘了等腰，就是忘了直角，有的可能甚至連三角形的兩邊之和大于第三邊都忘記了。此時就要舉出反例，如“直角”常為學(xué)生忽視，錯把等腰三角形判定為等腰直角三角形，這時老師應(yīng)出示等腰直角三角形的正確圖形，引導(dǎo)學(xué)生在比較中再次認識“直角”，否定錯誤的認識。同理“等腰”、“三角形”等性質(zhì)也如法炮制。因此，當(dāng)學(xué)生對內(nèi)容豐富的知

15、識進行學(xué)習(xí)時可通過反例教學(xué)，來突出所學(xué)知識中容易被學(xué)生忽略的性質(zhì)，從而幫助他們對所學(xué)知識的全面認識和深刻理解。例4 在對正三棱錐的概念進行學(xué)習(xí)時，我們很容易就忽略掉“頂點在底面的射影是底面的中心”這一條件，誤認為“底面是正三角形，各側(cè)面均為等腰三角形的三棱錐就是正三棱錐”。對此，可以舉如下反例：如圖1所示，三棱錐中，。顯然底面為正三角形，側(cè)面均為等腰三角形，但三棱錐卻不是正三棱錐。3.2 增強發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤的觀念在解題過程中我們?nèi)菀壮霈F(xiàn)差錯并且不容易被發(fā)現(xiàn)和糾正。對此，可以引入適當(dāng)?shù)姆蠢?，通過讓學(xué)生進行討論，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。（1）同學(xué)在判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量

16、是否成反比例的量時，往往不是很清楚。例5 小美總共要做10道數(shù)學(xué)題，已經(jīng)做了的題和沒有做的題是否是成反比例的。錯解：已經(jīng)做了的題和沒有做的題是成反比例的。相信大多數(shù)的學(xué)生都會認為這是對的，這是由于沒有充分理解到成反比例的三個條件，這個題只滿足了前面的兩個而沒有滿足第三個：兩個量的乘積一定。這個題是兩個量的和一定，這樣就能讓學(xué)生清楚地意識到以上解法是錯誤的原因，從而讓他們更加深刻的理解到成反比例的三個條件。（2）同學(xué)在解有關(guān)分式方程去分母時，往往會出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象。例6 解方程：錯解:方程兩邊同乘以，得： , 即x0 經(jīng)檢驗知x0是原方程的解。 我們在看完以上的解答后都會認為這個解答是正確的，理由如

17、下：就是把x0代入方程兩邊相等。在教學(xué)時，教師就可以再舉一個簡單的分式方程如何去分母？此刻同學(xué)們就能清楚地意識到上面錯解的原因是去分母時漏乘(方程右邊未乘以，從而使他們迅速地得出正確解法。（3）我們在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列前項和公式后，在求等比數(shù)列前項和時往往直接應(yīng)用公式，而不考慮公比是否等于1。例7 求和：.我們一看見這個題，都會很自然地套用公式，但是我們可能都會忽略掉和這兩種情況應(yīng)另類考慮，因此，在實際教學(xué)時教師可以通過提醒學(xué)生認識到時，不是等比數(shù)列；當(dāng)時，雖是等比數(shù)列，但=1，因此求和時也不能套用上面的公式。這也是一個反例的運用，這一反例可以讓學(xué)生注意到對等比數(shù)列分類條件的重視，讓我們知道了對待

18、每一個數(shù)學(xué)問題，都必須仔細觀察，然后培養(yǎng)自己觀察力和想象力，提高自身數(shù)學(xué)思維的嚴密性。3.3 理解并掌握數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì) 我們在學(xué)習(xí)一個新的定理、性質(zhì)時，容易忽略定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語，從而容易造成解題的錯誤。所以在實際教學(xué)中為了克服這一現(xiàn)象，教師要善于構(gòu)造反例，來幫助同學(xué)們牢記住定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語，以達到正確理解并掌握定理、性質(zhì)。 例8 垂徑定理的推論1“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦”，我們常會忽略括號中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。而在教學(xué)時可以構(gòu)造反例：圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，用來來糾正這一錯誤，從而加深對限制條件的理解。3.4 加深

19、對公式、法則的正確理解并靈活運用 我們在學(xué)習(xí)有關(guān)公式、法則時，會容易忽略掉這些公式、法則的運用范圍，從而在使用時不注意分析具體條件而生搬硬套，造成錯誤。因此，在教學(xué)教師中不僅要向同學(xué)們講清、交代公式、法則的適用條件，而且還要適當(dāng)引用一些反例，加深他們對這些公式、法則的理解以便達到有效的掌握。例9 先化簡，當(dāng)a=2時，再求解。甲：原式:=0乙：原式=2你認為誰正確，為什么？此例是有絕對值的化簡公式的應(yīng)用，導(dǎo)致兩種截然相反結(jié)果的原因是絕對值中a-3的值是大于0還是小于0，由題意知a=2時，因此乙的解法是正確的。通過甲、乙兩位同學(xué)計算過程的對比，讓我們明顯體會到今后在化簡有絕對值式子時，一定要注意絕

20、對值內(nèi)a的符號，否則會出現(xiàn)兩種完全不同的結(jié)果。3.5 提高否定錯誤的命題的能力 判斷一句話（或一種理論）的真假，首選的方法就是構(gòu)造反例。這是由反例自身的特點決定的。它具有直觀、簡明、清晰、說服力強等特點，因而在澄清是非，揭示錯誤，否定命題時顯示出它特殊的震撼力。數(shù)學(xué)中有些問題，若從正面角度講，同學(xué)們可能就會感到模糊、理解不透，甚至還會產(chǎn)生錯誤的判斷，為了能夠讓他們正確的判斷問題的真假，所以在實際教學(xué)時應(yīng)突出反例，以借助反例來提高同學(xué)否定錯誤的能力。 例10 負數(shù)就是在一個數(shù)的前面加一個負號。許多學(xué)生都認為是正確的，其實，它是一個假命題，只要構(gòu)建一個反例即能說明。如果這個數(shù)本來就是一個負數(shù)，在它

21、的前面再加一個負號那么這個數(shù)就變成了一個正數(shù)了。再如果這個數(shù)是0，在0的前面加個負號還是0。所以這句話是錯誤的。反例的功能是顯而易見的，通過上面簡單探討，不難看出它是理解數(shù)學(xué)概念的有力工具，也是糾正錯誤的有效方法，還是強調(diào)條件的得力措施，更是否定謬論的銳利武器。4 反例教學(xué)對學(xué)生思維的培養(yǎng)4.1 培養(yǎng)思維的靈活性 因為反例在辨析錯誤中具有直觀、說服力強等突出特點，所以注重反例教學(xué)不但能使同學(xué)們發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且還可以修補相關(guān)知識，學(xué)會用多個角度去考慮問題，提高思維的靈活性。4.1.1反例用于強調(diào)條件我們在學(xué)習(xí)公式、法則、定理時，往往側(cè)重于記憶其結(jié)論，不注意它們的使用范圍，以致使用時生搬硬套、

22、錯誤百出的現(xiàn)象極為嚴重。因此，教師在講授時，就應(yīng)該注意反復(fù)強調(diào)公式、法則、定理中的限制條件，指出它們的應(yīng)用范圍，并且可以根據(jù)同學(xué)們的知識水平，適當(dāng)?shù)嘏e出一些反例， 以突出“限制條件”的重要性。例11 已知且，求的最大值。錯解： （4.1.1）當(dāng)且僅當(dāng)時，即時時，的最大值是.但若，時，=，很明顯，因而并不是的最大值。其錯誤的原因就在于(4.1.1)右邊不是常數(shù)。正解：當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時取等號，的最大值是.例12 ，的最小值。錯解： (4.1.2) 的最小值為6.顯然，此解法是錯誤的，因為(4.1.2)式取等號的條件是，而滿足此等式的是不存在的。故(4.1.2)式不能取等號，只能得出.正解：當(dāng)且僅

23、當(dāng)即時取等號，的最小值為.4.1.2反例用于暢通思路當(dāng)我們遇到難題時，思維非常容易受阻，迫使我們不得不尋求新的解法，從而提高思維的靈活性。例13 設(shè)正多面體的每個面都是正邊形，以每個頂點為端點的棱有條，棱數(shù)為，面數(shù)為，則它們之間的關(guān)系一定正確的是（）。A)、B)、C)、D)、通常情況下我們一遇到題目中只有字母，無數(shù)字時，就不知從何處下手。實際上，做這類題時，最好的方法就是舉例子驗證。分析：由歐拉公式知是正確的，且在四個答案中都有。那么還有哪些是正確的呢？由于正多面體只有5種，可舉幾個正多面體為例驗證一下?？赡芪覀兪走x的就是正四面體，發(fā)現(xiàn)=3，=3，=4，=6，=4，則、也都正確，認為全部正確，

24、選(D).其實在正六面體中，=4，=3，=6，=12，=8，此時中的=18， =24, ，所以該題的正確答案選(C).例14 圖2所示，有一長方體，其長，寬，高，求由頂點沿著表面到對角頂點的最短路線的長。開始時，我們可能會誤認為長、寬和高之和為所求路線之長。而在實際教學(xué)時，如果這個時候教師舉出自沿棱和右側(cè)面對角線和所得路線長為時，那我們應(yīng)該就會意識到原來的解答有誤，并且積極的探求新的解題思路。類似地出現(xiàn)：及 由圖3可知，沿著表面到的最短路線的長為。4.2 培養(yǎng)思維的深刻性反例往往是伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失敗之后產(chǎn)生的，所以運用反例時不能就事論事，而要把問題的產(chǎn)生過程，如何舉出反例

25、的思維過程充分展現(xiàn)出來，使反例的提出與整個推理過程有機地結(jié)合起來，從而培養(yǎng)思維的深刻性。例15 若，成等差數(shù)列，問，是否也成等差數(shù)列。這時，同學(xué)們可能會立刻用自己學(xué)過的等差數(shù)列知識來求證。比如有位同學(xué)是這樣解：，成等差數(shù)列-=-整理得： (+)(-)=(+)(-)即: 再在兩邊同時除以(+)得:把上式拆成: ，也成等差數(shù)列。初看此解的過程好像是正確的，但只要仔細想一下就會發(fā)現(xiàn)問題的所在。若=-時，雖然，還是成等差數(shù)列，但(+)，(+)都等于零，分母是不能為零的，所以結(jié)論是不成立的。例16我們在學(xué)習(xí)三垂線定理及逆定理時，往往忽視“平面內(nèi)的一條直線”中“內(nèi)” 的特定條件。在實際教學(xué)中可以用如下反例

26、來啟發(fā)同學(xué)們，如圖4所示，在正方體中，因為，所以，又是在平面內(nèi)的射影，故。事實上，因為，所以與所成的角為45，并不垂直。造成上述錯誤的原因是忽視了“不在平面內(nèi)”，用這個反例來說明定理中“內(nèi)”字的重要性。4.3 培養(yǎng)思維的發(fā)散性教師在進行實際教學(xué)時，應(yīng)該適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢@實際上是創(chuàng)設(shè)了一種探索情景，但是在通常情況下，許多反例的構(gòu)造并不是惟一的，這就需要同學(xué)們對所學(xué)知識有深刻、透徹的理解，并且調(diào)動他們?nèi)康臄?shù)學(xué)功底，充分展開想象，因此，構(gòu)造反例的過程也是發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過程。4.3.1反例用于否定謬誤在立體幾何學(xué)習(xí)中，我們往往通過類比、推廣等方法得出一些錯誤的命題，要否定這些謬誤，反例往往

27、是最強有力的武器。例17我們可能會把“圓柱過兩條母線的截面中，以軸截面的面積為最大”的結(jié)論移植到圓錐中，誤認為“圓錐過兩條母線的截面中，亦以軸截面的面積為最大”。此時就可以構(gòu)造反例：一個圓錐頂角為120，母線長為2，作一個過圓錐兩條母線的截面，其頂角為90，則圓錐軸截面面積；頂角為90的截面面積；顯然。可見，當(dāng)圓錐頂角大于90時，并非以軸截面面積為最大。4.3.2反例用于拓展思維教師在實際教學(xué)中，可以選擇一些發(fā)散性強的典型數(shù)學(xué)知識或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)同學(xué)們構(gòu)造反例，引導(dǎo)他們敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高思維的發(fā)散性。4.4 培養(yǎng)思

28、維的創(chuàng)新性反例構(gòu)造是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，培養(yǎng)創(chuàng)新精神、誘發(fā)創(chuàng)造力的一種很好的載體。例18 設(shè)，已知當(dāng)|1時，|1恒成立，證明當(dāng)|2時，|7恒成立。分析：要證得結(jié)論，只須證在區(qū)間-2，2上的最值在區(qū)間-7，7內(nèi)，二次函數(shù)在某區(qū)間的最值必在區(qū)間的端點或拋物線的頂點處（若頂點在區(qū)間內(nèi)）取得，故只須證：7 (4.4.1)7 (4.4.2) 7(2) (4.4.3)而這又須從已知條件中推得，的取值范圍再加以證明，很快從已知得到：111 進一步又可推得|1和|2，由這些條件能否推出所需的三個結(jié)果呢？先試（4.4.1）式，若簡單地放大4|+2|+|11是無法推出(4.4.2)

29、式。這時如果有同學(xué)發(fā)現(xiàn)若能從已知條件推出|1就能證明了。那么這個發(fā)現(xiàn)有價值嗎？猜想|1是否正確？其實存在=2的函數(shù)符合已知條件，通過反例把這個猜想否定了，這種批判性的思維非常寶貴，教師在加以肯定的同時又指出：現(xiàn)在必須對4+2+進行重新組合變形，是否有更有力的條件加以利用？我們能發(fā)現(xiàn)|+|1比|2更有用，用它能解決|2無法解決的矛盾，于是有：=|4(+)-2-3|4|+|+2|+3|9雖有進步，但仍無法證得（4.4.1）式，這種變形雖解決了主要矛盾，但和的系數(shù)變得太大，次要矛盾上升為主要矛盾，兩方面兼顧得：=|2(+)+2-|2|+|+2|+|7這樣就圓滿地完成了（4.4.1）式，同理可證得（4

30、.4.2）式；對（4.4.3）式因為有2，所以|+例19 判斷下述命題是否成立：“已知、分別是、的最小正周期，則、的最小公倍數(shù)是+的最小正周期”。這命題是不成立的。為了舉出反例，可設(shè)法作出在周期內(nèi)的圖象(如圖5)，以及在周期內(nèi)的圖象(如圖6)，容易看出+的最小正周期并不是，而是(如圖7)。在上述反例的探索過程中，我們在新的問題情景中，能享受到創(chuàng)造的樂趣，從而能激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性。5 運用反例注意問題反例的功能和作用雖然很大，但在實際學(xué)習(xí)中,運用反例時必須注意一些問題:5.1 注意主次學(xué)習(xí)中主要學(xué)習(xí)概念,定理和方法,對于基本的命題和結(jié)論應(yīng)予以嚴格的 證明和推導(dǎo).但舉反例重在說明結(jié)構(gòu),辯清是非,故我們對反例掌握要求不能太高,它應(yīng)是圍繞主要內(nèi)容而進行的有效的輔助學(xué)習(xí)手段。 5.2 注意適當(dāng)反例應(yīng)是經(jīng)過挑選的,既要簡單又要能說明