機械振動理論中的一些原理問答

1、1請指出彈簧的串、并聯(lián)組合方式的計算方法。確定彈性元件的組合方式是 串聯(lián)還是并聯(lián)的方法是什么？對兩種組合方式分別加以說明。 1 n 1 答：n個剛度為ki的彈簧串聯(lián)，等效剛度- 丄；n個剛度為ki的彈簧 keq 7 ki n 并聯(lián)的等效剛度為keq =送ki ；并聯(lián)彈簧的剛度較各組成彈簧“硬”，串聯(lián)彈簧較 其任何一個組成彈“簧軟”。 確定彈性元件是串聯(lián)還是并聯(lián)的方法：若彈性元件是共位移一一端部位移相 等，則為并聯(lián)關(guān)系；若彈性元件是共力一一受力相等，則為串聯(lián)關(guān)系。 2. 非粘性阻尼包括哪幾種？它們的計算公式分別是什么？ 答:非粘性阻尼包括： (1) 庫侖阻尼計算公式Fe=-mgsgn；,其中，s

2、gn為符號函數(shù)，這里 定義為sgn (x)=爭)，須注意，當(dāng)x(t)=O時，庫侖阻尼力是不定的，它取決 x(t) 于合外力的大小，而方向與之相反; (2) 流體阻尼計算公式：是當(dāng)物體以較大速度在粘性較小的流體 (如空氣、 x sgn x ； 液體)中運動是，由流體介質(zhì)所產(chǎn)生的阻尼，計算公式為Fn二-吋2 (3) 結(jié)構(gòu)阻尼：由材料內(nèi)部摩擦所產(chǎn)生的阻尼，計算公式為也Es=o(X 3. 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的運動微分方程是什么？其自然頻率、振 幅、初相角的計算公式分別是什么? 答：單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動的運動微分方程mxkxt =0 ； 自然頻率: X。 2 7 初相角： :二 arc

3、ran Vo。 0 n x0 4. 對于單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動， 確定自然頻率的方法有哪幾種？具體 過程是什么？ 答：單自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動，確定自然頻率的方法： （1）靜變形法：該方法不需要到處系統(tǒng)的運動微分方程，只需根據(jù)靜變形 的關(guān)系就可以確定出固有頻率具體如下：k6t=mg，又n =，將這兩個式 （2）能量法，該方法又可以分為三種思路來求自然頻率。 A:用能量法確定運動微分方程，然后根據(jù)運動微分方程來求自然頻率。無 阻尼系統(tǒng)滿足能量守恒定律，因此有T V =常數(shù)，對該式進(jìn)行求導(dǎo)可得 dE =d tv；=0根據(jù)此式即可導(dǎo)出運動微分方程，其中 T為質(zhì)的動能，V為 dt dt 彈簧的勢

4、能。 B：用能量法直接確定固有頻率：其原理是依據(jù)系統(tǒng)在任意時刻的能量和 （勢 能，動能和）相等，因此取兩個特殊時刻靜平衡位置（動能達(dá)到最大值Tmax ）和 最大位移處（勢能達(dá)到最大Vmax），可得Tmax=Vmax該方法不用導(dǎo)出系統(tǒng)運動微分 方程，因此對于復(fù)雜系統(tǒng)非常有效。 C：用能量法計算彈簧的等效質(zhì)量，該方法利用彈簧的分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動 頻率的影響加以估計，從而得出較準(zhǔn)確的頻率值。 .：k 其中m為彈 Y m+ m 3 簧的質(zhì)量。 5. 對于單自由度有阻尼系統(tǒng)自由振動，其運動微分方程是什么？對無阻尼、 小阻尼、過阻尼、臨界阻尼的情況分別加以介紹。對于小阻尼情況，其阻尼自然 頻率、振幅、初相

5、角的計算公式是什么？ 答：單自由度有阻尼系統(tǒng)自由振動，其運動微分方程是 m x t cx t kx t =0 或 x t 2 nxtn2xt =0。 無阻尼： =0，此時運動微分方程的特征方程的特征根為虛數(shù)，此時系統(tǒng) 運動微分方程的解為：xt二Xcosn-：:其中，X、由初始條件確定此時特征 根在復(fù)平面虛軸上，且處于原點對稱的位置，此時，xt為等幅振動。 小阻尼：（0上1），此時運動微分方程的解為：x（t ）= Xe$t coSdt-申）， 其中d fl - 2，n為有阻尼自然 系統(tǒng)的特征根為共軛復(fù)數(shù)，具有負(fù)實部，分別位于復(fù)平面左半面與實軸對稱 的位置上; 有阻尼系統(tǒng)的自由振動是一種減幅振動，

6、其振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，阻尼率 越大，振幅衰減的越快； 特征根的虛部的取值決定了自由振動的頻率， 阻尼系統(tǒng)的自然頻率完全有系 統(tǒng)本身的特性決定。初始條件 Xo與V。只影響有阻尼自由振動的初始幅值與初相 角。 過阻尼：（；1）xt =X!eSlt X2eS2t，式中，X!、X?為由初始條件確定的 常數(shù)，特征根為負(fù)實數(shù)，位于復(fù)平面的實軸上這時系統(tǒng)不產(chǎn)生振動很快就趨近平 衡位置。 臨界阻尼（ =1），此時系統(tǒng)微分方程的解為：x（t ）=e A。+（v。+%x Jt】 臨界阻尼c0 = 2 . mk，臨界阻尼率 =c c0 6. 對數(shù)衰減率的定義是什么？如何運用對數(shù)衰減率計算阻尼率？ 答：對數(shù)衰減率：=

7、1 nA -1 n A?二n亠=2 。其中A、A?為間隔j 個周期T的振動位移的兩個峰值，利用測得的峰值按公式=-ln 紅 可以 jMt： + jT ） 求得：，然后利用公式-，當(dāng)阻尼率 很小時：2： 1，與4二相比 P42 + 62 可以略去，故的近似計算公式為 = 0 2兀 7. 對于諧波激勵下單自由度線性系統(tǒng)的強迫振動， 其振幅和相位差的計算公 式是什么？放大系數(shù)的定義是什么？幅頻特性的定義是什么？幅頻特性曲線的 特性有哪些？幅頻特性的極大值點和極大值是什么？ 答：諧波激勵下單自由度線性系統(tǒng)的強迫振動: 振幅X 相位差: =arcta n 2飛；.-；n 12 放大系數(shù)的定義：振幅X與激

8、勵的幅值A(chǔ)成比例，即X二H A， H ( ( 是無量綱的, 1 ，H )表示動態(tài)振動的振幅 X 較靜態(tài)位移A放大的倍數(shù)，稱為放大系數(shù) 幅頻特性: H D與振幅X之間僅差一個常數(shù) I A，因此，H審描述了振幅 與激勵頻率之間的函數(shù)關(guān)系，故又稱 H血)為系統(tǒng)的幅頻特性。 T 幅頻特性曲線的特性： (1) 當(dāng)=0時，H包卜1,表明所有曲線從|H佃卜1開始。當(dāng)激勵頻率 很低，即叫時，H (列)接近于1,說明低頻激勵時的振動幅值 接近于靜態(tài)位移。這時的動態(tài)效應(yīng)很小，強迫振動這一動態(tài)過程可 以近似地用靜變形過程來描述，* n1的這一頻率范圍又被稱為 “準(zhǔn)靜態(tài)區(qū)”或“剛度區(qū)”。在這一區(qū)域內(nèi)，振動系統(tǒng)的特性主

9、要是 彈性元件的作用結(jié)果。 (2) 當(dāng)激勵頻率國很高砒豹n 1時，H (國)1，且唧nTO時， HQj)T0，說明在高頻率激勵下，由于慣性的影響，系統(tǒng)來不及 對高頻做出響應(yīng)，因而振幅很小。因此，稱為“慣性區(qū)”，這一區(qū)域 內(nèi)，振動系統(tǒng)的特性主要是質(zhì)量元件作用的結(jié)果。 (3) 在激勵頻率與固有頻率相近的范圍內(nèi)，|H血，曲線出現(xiàn)峰值，說明此 時動態(tài)效應(yīng)很大，振動幅值高出靜態(tài)位移許多倍，當(dāng)阻尼率較大時， H佃）峰值較低，反之H審的峰值較高。因此，這一頻率范圍又被 I 稱為“阻尼區(qū)”這一區(qū)域內(nèi)振動系統(tǒng)的特性主要是阻尼元件作用的 結(jié)果，在此區(qū)域中，增大系統(tǒng)的阻尼對振動有很強的抑制效果。 （4）共振不發(fā)生在

10、-n處，而是發(fā)生在略低于-n處，Hlf 的峰值點隨的 增大而向低頻方向移動。當(dāng)阻尼系數(shù) 2C2 cog2t2 ）。 響應(yīng)通解的表達(dá)式： %（t ）=Cj coSt 巴）+C2 coS國2t 2 ） x2 t = C1 r1 cos 壯 仝 C2r2 cos 2t -:：2 15. 彈性耦合和慣性耦合的定義分別是什么？自然坐標(biāo)的定義是什么？對于 兩自由度系統(tǒng)的振動，坐標(biāo)變換矩陣的表達(dá)式是什么？ 答：（1）彈性耦合定義：研究系統(tǒng)運動微分方程的矩陣形式，當(dāng)其中的剛度 矩陣是非對角矩陣，則稱這種耦合方式為彈性耦合； 慣性耦合的定義：研究系統(tǒng)運動微分方程的矩陣形式，當(dāng)其中的質(zhì)量矩陣是 非對角矩陣，則稱這

11、種耦合方式為慣性耦合。 （2）自然坐標(biāo)的定義：是在對描述系統(tǒng)運動方程 的通解時提出的，引入自然坐標(biāo) 則系統(tǒng)運動方程的通解可寫作 （3）兩自由度系統(tǒng)的振動，坐標(biāo)變換矩陣的表達(dá)式是：L】=1 1 2 一 16. 什么叫拍擊現(xiàn)象？對于雙擺系統(tǒng)而言，運動微分方程的通解表達(dá)式是什 么？拍頻和拍的周期定義是什么？ 答：（1）當(dāng)兩自由度系統(tǒng)的兩個自然頻率很接近是，將會出現(xiàn)振幅以一種很 低的頻率周期變化的現(xiàn)象，即所謂拍擊現(xiàn)象。 （2）運動微分方程的通解： 當(dāng)冃0 - 20 - 6，二 10 -=0 時，刊- COS1t，二 2 - VoCOSrt 當(dāng)哥0-厲，二20- 0，二 10- T20 = 0 時，二

12、1-v0 cos2t，二2-% COS 2t 當(dāng)二10 -厲，二 20 - V10 -20 =0 時， k 2 （3）拍頻的定義：=國2 -叫俺，拍的周期：T =2嘆 。 mJgL2心 17. 對于兩自由度系統(tǒng)在諧波激勵下的強迫振動，系統(tǒng)響應(yīng)幅值的表達(dá)式是 什么？對于無阻尼系統(tǒng)而言，系統(tǒng)響應(yīng)幅值的表達(dá)式是什么？ 答：（1）兩自由度系統(tǒng)在諧波激勵下的強迫振動系統(tǒng)響應(yīng)幅值表達(dá)式： 其中： if0if = k1 m1ic1 c2 ， Z21= Z12= _k2 - iC2， 2 , z22= k3 k2 - m2 i c2 c3 。 （2）無阻尼時系統(tǒng)響應(yīng)的幅值表達(dá)式： 其中： 匕+k2 a 二 k

13、2 m-i m-i k2 m2 k3k2 m2 18. 廣義坐標(biāo)的概念是什么？對于多自由度系統(tǒng)而言，剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、 質(zhì)量系數(shù)的定義是什么？彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的規(guī)律是什么？ 答：（1）振動理論中，把能夠完備的描述系統(tǒng)運動的一組獨立參變量成為系 統(tǒng)的廣義坐標(biāo)（“完備”是指能完全確定系統(tǒng)在任一時刻的位置或形狀；“獨立 是指各個坐標(biāo)都能在一定范圍內(nèi)任意取值期間不存在函數(shù)關(guān)系） （2）剛度系數(shù)kj : qj上需要加的 力; qj 4 qr =0 r 土2,n,r=_j 只在坐標(biāo)qj上產(chǎn)生單位位移（其他坐標(biāo)上的位移為零）而在 阻尼系數(shù)Cj : qj 只在坐標(biāo)qj上有單位速度（其他坐標(biāo)上的速度為零）

14、時在坐標(biāo)5上所需施 加的力；（ qj 4 cij= Qi qr =0 r =1,2/ - n,r -j 質(zhì)量系數(shù)mj : 只在坐標(biāo)5上有單位加速度（而其他坐標(biāo)上的加速度為零）時在坐標(biāo) 所需施加的力 q j qr =0 r 土2，n,r N （3）彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)的規(guī)律: A 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的對角元素 kii （或Cii ）為聯(lián)結(jié)在質(zhì)量5上 的所有彈簧剛度（或阻尼系數(shù)）的和； B 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的非對角元素 kj （或Cj ）為直接聯(lián)結(jié)在質(zhì)量 mi與mj之間的彈簧剛度（或阻尼系數(shù)），取負(fù)值; C 一般而言，岡H度矩陣和阻尼矩陣都是對稱矩陣； D 如果將系統(tǒng)質(zhì)心作為坐標(biāo)原點

15、，則質(zhì)量矩陣是對角矩陣，但一般情況下 質(zhì)量矩陣并不一定是對角的。 19. 對于n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動，運動微分方程是什么？頻率方程 是什么？系統(tǒng)自由振動響應(yīng)的通解是什么？ 答：（1） n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程: 頻率方程： 二治2 =耐-，2mij = 0 系統(tǒng)自由振動相應(yīng)的通解: 20. 對于n自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動，運動微分方程是什么？對該方程 解耦的方法是什么？具體分析說明 答：(1)對于n自由度有阻尼系統(tǒng)的自由振動運動微分方程： (2)解耦方法： 采用自然坐標(biāo)，并在兩端左乘 UT，( 1)中的運動微分方程變?yōu)? 然后利用 )V m!ud=O (r,s = 1,2,n;r h s), 和 S 尹 klu(r ”=0(r,s = 1,2,n;r s) 帶入上式，得： 0 1 + 小(t)+ bln(t+灼r2M(t=o，可以看出質(zhì)量矩陣與剛 一 度矩陣均已對角化