由遞推公式求通項(xiàng)的9種方法經(jīng)典總結(jié),推薦文檔

1、精析由遞推公式求通項(xiàng)的 9種方法 1. an +1= an+ f(n)型 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an+1 a n = f(n),再利用累加法(逐差相 力口法)求解，即 an = ai+ (a2 ai) + (a3 a2)+ + (an an i) = ai + f(1)+ f(2)+ f(3) + + f(n 1). 1 1 、 例 1 已知數(shù)列 an滿(mǎn)足 a1=T，an+ 1 = an +-，求 an. 2n + n 1 1 1 1 解 由條件，知 an+1 an =二=-一，貝U (a2 a” + (a3 a2) + (a4 a3) n2+ n n n+ 1 n n + 1 1 1 1 1

2、1 1 _1 + + (an an 1) =1 -2+ 2一 3+ 3一 4+ n一 廠 n， 1 所以 an a1 = 1 11131 因?yàn)?a1 =夕 所以 an = 2+ 1 = 2 2. an+1 = f(n)an型 把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 歸=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法) an 求解，即由a2= f(1),空=f(2)= f(n 1)，累乘可得色= a1a2an1a1 f(1)f (2)f(n 1). 2n 例2 已知數(shù)列 an滿(mǎn)足a1 = 3, an+1 =門(mén)+ an,求an. an+1 = an, an+1 an n + 1 6 anan1 an= an1 an2 翌 a1

3、=1 x1 x2= .即卩 an=右. a1 n n 12 3 3 n3n 3. an+1= pan+q(其中 p, q 均為常數(shù)，pq(p 1)工 0)型 對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常采用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，假設(shè)將遞推公式 改寫(xiě)為an+1 +1 = p(an+1)，比較系數(shù)可知t= p1，可令an+ 1 + t =bn+ 1換元即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來(lái)解決. 例 3 已知數(shù)列an中，ai= 1, an+1= 2an+ 3，求 an. 解 設(shè)遞推公式 an+1 = 2an+ 3 可以轉(zhuǎn)化為 an+1 t= 2(an t)，即 an+1= 2an t，貝U t = 一 3. 故遞推公式為 an+1 + 3= 2(

4、an+ 3). bn+1 an+ 1+ 3 c 令 bn= an+ 3，貝V b1 = a1 + 3= 4，且 = 2. bnan + 3 所以bn是以b1= 4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 所以 bn= 4 X 2n1 = 2n+ 1,即卩 an = 2n +1 3. 4. an+1= pan+ qn(其中 p, q 均為常數(shù)，pq(p 1)工 0)型 (1) 一般地，要先在遞推公式兩邊同除以 qn + S得霽=p* + q,引入輔助數(shù)列bn其中bn=幕，得bn+1 = p bn + 再用待定 系數(shù)法解決； (2) 也可以在原遞推公式兩邊同除以pn+s得訂=pn+1p n,引入輔助數(shù)列b n

5、其中bn = p ,得bn+1 bn =n ,再利用疊 pp p 加法(逐差相加法)求解. 511+、 例 4 已知數(shù)列 an中，a1= 6， an+ 1 = ?an + 2 n 1，求 an. 1 1 2 解法一一 :在 an+1 = an+ 2 n+1 兩邊乘以 2n+1，得 2n+1 an+1 = 3(2n an) + 1. 2 令 bn= 2n an，貝U bn+ 1= bn + 1 , 2 根據(jù)待定系數(shù)法，得 bn+1 3= 3(bn 3). 54 所以數(shù)列bn 3是以b1 3= 2X6 3= 為首項(xiàng)， 2 以3為公比的等比數(shù)列. 4 2 2 所以 bn 3 = 3n1，即卩 bn=

6、 3 2 3 n. 曰an =霽3 1 n 2訂. 疋， 、一 1 1 法：在 an+ 1 = ?an+ n+ 1兩邊乘以3n + 1，得 3n+ 咕“+1 = 3nan+ 2 n+1 令 bn= 3n an,則 bn+ 1= bn + 3 n+ 1 2 所以 bn bn1 = n,bn-1 bn -2 = 3 2, 所以 bn= 1 + 2 + 2 + . + 3 n 1 + 3n 2 3 1 . 1 _ n + 1 1 1 2 3 1 2 3 即 bn= 2 2 n +1 2. 5. an+1= pan+ an + b(pz 1, p工0, az0)型 這種類(lèi)型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)

7、列，即令 x(n + 1) + y= p(a n+ xn + y)，與已知遞推式比較，解出 而轉(zhuǎn)化為an + xn + y是公比為p的等比數(shù)列. 例 5 設(shè)數(shù)列 an滿(mǎn)足 a1 = 4, an= 3an-1+ 2n 1(n 2)，求 an. 解 設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為 an+ An + B= 3an-1 + A(n 1) + B, 2A = 2, 化簡(jiǎn)后與原遞推式比較，得 2B 3A = 1, an +1 + x, y,從 b2 b1= 2 2 將以上各式疊加, 3 得 bn b1= 2 2+ + 又 b1= 3a1 = 3X 6= 5 = 1 + A = 1, 解得 B = 1. 令 bn=

8、an+ n + 1.(*) 貝V bn= 3bnt，又 bi = 6,故 bn= 6 3n 1 = 2 3n, 代入(*)式，得 an= 2 3n n 1. 6. an+1= pan(p0, an0)型 an+1 = pan + q 型 這種類(lèi)型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為 數(shù)列，再利用待定系數(shù)法求解. 1 例6已知數(shù)列 an中，a1= 1, an+1=a2(a0)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式. a 1 2 解對(duì)an+1= a2的兩邊取對(duì)數(shù), a 1 得 lg an+ 1 = 2lg an+ lg -. a 1 令 bn= lg an,貝U bn + 1 = 2bn+ lg . a 11、1 由此得

9、 bn+ 1+ lg； = 2 bn+ lg：，記 Cn= bn+ lg；，貝U Cn +1 = 2cn, 所以數(shù)列Cn是以C1= b1+ lg= 1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 所以 Cn= 2n- 1 所以 bn= Cn lg1 = 2n 1 lg1 lg1 aa a 1 a 丄 2n 1 = Iga1 2n, a 即 lg an= lga2n,所以 an= 2n =lg Aan 7. an+1. Ban + C(A, B, C為常數(shù))型 對(duì)于此類(lèi)遞推數(shù)列， 可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法得出關(guān)系 例7已知數(shù)列 an的首項(xiàng) a1 = 5, an+1 = 2an+ 1，n = 1,2,3,，求an的通項(xiàng)公式. 小3an1 解Tan + 1 =,. 2an+ 1an+ 1 1 an+1 -1 = 3礦1 又1-1 a1 2 3, 3 7 1 2 1 石1是以3為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列, 1 2 1 2 an 1 3 3n-1一3n， an = 3n 3n+ 2 8.an1 an f(n)型 an n, n為奇數(shù) n 1, n為偶數(shù) 1,且n 由原遞推關(guān)系改寫(xiě)成 an 2an f(n 1) f(n),然后再按奇偶分 類(lèi)討論即可 例8.已知數(shù)列an中，a1 1, an 1an 2n.求 an 解析：an 1 an 2n. an 2 an 1 2n 2， 故 an 2 an 2 即