排隊(duì)論在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用

1、第一章排隊(duì)論問(wèn)題的基本理論知識(shí)排隊(duì)是日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，本章將介紹排隊(duì)論的一些基本知識(shí)和常見(jiàn)的 排隊(duì)論的模型，使我們對(duì)排隊(duì)論有一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)。1.1 預(yù)備知識(shí)下圖是排隊(duì)過(guò)程的一般模型：各個(gè)顧客由顧客源（總體）出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)（服務(wù)臺(tái)、服務(wù)員）前排隊(duì)等候接受服務(wù)，服務(wù)完成后離開(kāi)。我們說(shuō)的排隊(duì)系統(tǒng)就是圖中虛線所包括的部分顧客源顧客到達(dá)排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)系統(tǒng)示意圖一般的排隊(duì)系統(tǒng)都有三個(gè)基本組成部分：輸入過(guò)程；排隊(duì)規(guī)則；服務(wù)機(jī)構(gòu)。1輸入過(guò)程輸入過(guò)程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律?？梢杂靡欢〞r(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) 或前后兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間來(lái)描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。對(duì) 于隨機(jī)型的情形，要知道

2、單位時(shí)間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或到達(dá)的間隔時(shí)間的概率分 布。2. 排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)機(jī)構(gòu) 都被占用，貝U顧客排隊(duì)等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序 可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來(lái) 到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒(méi)有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊(duì)等 待的空間有限，因此超過(guò)所能容納人數(shù)的顧客必須離開(kāi)系統(tǒng)，這種排隊(duì)規(guī)則就是 混合制。3. 服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)。服務(wù)時(shí)間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。但大 多數(shù)情形服務(wù)時(shí)間是隨機(jī)型的。對(duì)于隨機(jī)型的服務(wù)時(shí)間，需要知道它的概率分布。1.2 模型理

3、論分析1.2.1 模型分類(lèi)排隊(duì)模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間的分布；丫一服務(wù)時(shí)間的分布；M負(fù)指數(shù)分布、D確定型、Ek k階愛(ài)爾朗分布。Z服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)；A系統(tǒng)容量限制（默認(rèn)為）；B顧客源數(shù)目（默認(rèn)為）；C服務(wù)規(guī)則（默認(rèn)為先到先服務(wù)FCFS）。1.2.2 模型求解一個(gè)實(shí)際問(wèn)題作為排隊(duì)問(wèn)題求解時(shí)，只有顧客到達(dá)的間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí) 間的分布須要實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)來(lái)確定，其他的因素都是在問(wèn)題提出時(shí)給定的。并且必 須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，解排隊(duì)問(wèn)題就是首先求出這些數(shù) 量指標(biāo)的概率分布或特征值。這些指標(biāo)通常是：（1 ）隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù)，其期望

4、值記為L(zhǎng)s ；排隊(duì)長(zhǎng)（隊(duì)列長(zhǎng)）：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為L(zhǎng)g ；系統(tǒng)中顧客數(shù)=在隊(duì)列中等待服務(wù)的顧客數(shù) 田 正被服務(wù)的顧客數(shù)（2）逗留時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留時(shí)間，包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間，其 其期望值記為Ws ；等待時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間，其期望值記為 Wg ； 逗留時(shí)間=等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間（3）忙期：從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度； 系統(tǒng)狀態(tài)：即指系統(tǒng)中的顧客數(shù)；狀態(tài)概率：用Pn t表示，即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率；要解決排隊(duì)問(wèn)題，首先要確定排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分 布。要研究到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布需要首先根

5、據(jù)現(xiàn)有系統(tǒng)原始資料統(tǒng) 計(jì)出它們的經(jīng)驗(yàn)分布，然后與理論分布擬合，若能對(duì)應(yīng)，我們就可以得出上述的 分布情況。1經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)分析，并依 據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計(jì)樣本的總體分布，選擇合適的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng) 通過(guò)檢驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為時(shí)間參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。2、泊松分布下面我們?cè)谝欢ǖ募僭O(shè)條件下，推出顧客的到達(dá)過(guò)程就是一個(gè)泊松過(guò)程。若設(shè)N t表示在時(shí)間區(qū)間0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t0) ，Pn以2表示在時(shí)間區(qū)間ti,t2 (t2t1)內(nèi)有n( 0)個(gè)顧客到達(dá)的概率，即R ti ,t2P N t2N tin(t2t1 ， n 0)當(dāng)Pn ti,t

6、2符合于下述三個(gè)條件時(shí)，我們說(shuō)顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程。(1) 再不相重疊的的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的。(2) 對(duì)于足夠小的 t，在時(shí)間區(qū)間t，t+ t)內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為P1 t,t t t t (入0是常數(shù)，稱(chēng)為概率強(qiáng)度)。(3) 對(duì)充分小的 t,在時(shí)間區(qū)間t,t+ t )內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是 t 一高階無(wú)窮小，即Pn t,t ttn 2為了求Pn t，即R 0,t，需要研究它在時(shí)刻t到t+ t時(shí)刻的改變量，也就是要建立R t的微分方程。就可以得到：nR t 丄 I t t0，n=0,1,2,n!負(fù)指數(shù)分布設(shè)T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為Ft t P T t，即：Ft

7、 t P T t o此概率等 價(jià)于在0 , t）區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率。沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：P0 t I七，貝U Ft t 1 P0 t 1 I七（t0），其概 率密度函數(shù)為：fT t 吐 I t （t0）dt由前知，入表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里1/入表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間，兩者是吻合的。下面我們?cè)僬勔幌路?wù)時(shí)間的分布：對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間V,實(shí)際是系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間間隔， 一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，即：fv t 1 I t fV t I t。其中： 表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。1/表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。令一則P稱(chēng)為服務(wù)強(qiáng)度。第二

8、章單服務(wù)員排隊(duì)模型在自動(dòng)存取款機(jī)服務(wù)中的應(yīng)用2.1理論分析1.穩(wěn)態(tài)概率Pn t的計(jì)算已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為入的泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為卩的負(fù)指數(shù)分布在間刻t+ t，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客不外乎有下列四種情況。情況時(shí)刻的t顧客區(qū)間(t, t+ t)時(shí)刻t+ t的顧客(t, t+ t)的概率0, t+ t的概率(略去(t)到達(dá)離去AnXXn1-入t+ ( t)1卩t+ ( t)Pn(t)(1-入t)(1- 1 t)Bn+1XVn1-入t+ ( t)卩 t+ ( t)Pn+1(t)(1-入t)( 1 t)Cn-1VXn入 t+ ( t)1-1t+ ( t)Pn-1 (t)(入t)(1- 1 t)DnV

9、Vn入t+ ( t)1t+ ( t)Pn(t)(入t)( 1 t)由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+ t)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，將所有的高階無(wú)窮小合并，則有：Pn tt P t 1 t t Pm t t R i t t t令厶t -0,得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程：dtPi 1 tPn i tdPn t當(dāng)n=0時(shí)，只有表中的（A）、（B）兩種情況。F0 t tF0 1 t P t 1 t t所以dFn(t)dtdF0(t)dtPnl(t)Pn l(t)(P(t)Po(t)Pn(t)(1)穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pn（t）與時(shí)間無(wú)關(guān)，可以寫(xiě)成Pn,它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0,所以由、兩式得：Pn 1Pn 1Pn 。

10、 (3)YPoR 0 (4)上式即為關(guān)于Pn的差分方程。由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖:這種系統(tǒng)狀態(tài)（n）隨時(shí)間變化的過(guò)程就是生滅過(guò)程，它可以描述細(xì)菌的生滅過(guò)程n得到：Pn- RnR (5)-1 （否則排隊(duì)無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)法服務(wù)完）P0 1Pn1上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)2.系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算（1）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值 Ls）:Ls n Pnn 1(0 P 1) 隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)Lq （隊(duì)列長(zhǎng)期望值）：(8)2Lq n 1 Pnn 1 1 n Lsn 1n 11(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 WsWs（4）顧客在隊(duì)列中的等待時(shí)間的期望值 Wq :1 1

11、1Wq WsLqW3.系統(tǒng)的忙期與閑期：系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：Po 1系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：P N 01 P02.2實(shí)例2.2.1問(wèn)題提出與模型說(shuō)明問(wèn)題提出顧客排隊(duì)等待接受服務(wù)，在任何一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)中都是不可避免的。在存取款機(jī)排 隊(duì)等待取錢(qián)或存錢(qián)的排隊(duì)問(wèn)題也非常嚴(yán)重，為此，這里擬用排隊(duì)論的理論和方法，建 立評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過(guò)實(shí)例來(lái)探究如何提高工作效率？如何使系統(tǒng)更加優(yōu)化？模型說(shuō)明某街道口只有一個(gè)自動(dòng)存取款機(jī)，從而該種情況是單列單服務(wù)臺(tái)的情況，即為M/M/1模型的情況。2.2.2調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容（1）顧客到達(dá)時(shí)間。（2）服務(wù)時(shí)間。調(diào)查方法顧客到達(dá)的頻率與時(shí)間段有關(guān)，一般在 9： 0010

12、: 30和下午2： 3O-4： 00顧客到 達(dá)率比其它的時(shí)間高。我們把時(shí)間分成兩段，考慮 08: 009： 00、9： 00- 1O 00的 情況，分別代表了一般情況和繁忙時(shí)的情況。(1服務(wù)時(shí)間：顧客開(kāi)始用自動(dòng)存取款機(jī)到服務(wù)完成。(2顧客到達(dá)時(shí)間：顧客進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)。以上兩項(xiàng)調(diào)查，抽樣的時(shí)間均是分散的、隨機(jī)的。不可連續(xù)和集中抽樣。具體數(shù)據(jù)如下：其中，顧客編號(hào)i，到達(dá)時(shí)間T，服務(wù)時(shí)間S，到達(dá)間隔ti，排隊(duì)等待時(shí)間Wi表1 08 : 009： 00的統(tǒng)計(jì)123456789101112Ti028121925293442495460S325731624294ti23476458756wi010110

13、010003表2 09 : 0010： 00的統(tǒng)計(jì)12345678910111213141510Ti0269111519222836414548505660Si3247233251654325ti243344368543264wi01026544000246312.2.3模型求解1、根據(jù)表1計(jì)算得：平均時(shí)間間隔為60 11 5.45分鐘人平均到達(dá)率為12 60=0.2人分鐘平均服務(wù)時(shí)間為48 12=4.00分鐘；人平均服務(wù)率為12 48=0.25人j分鐘2、根據(jù)表2計(jì)算得：平均時(shí)間間隔為60 17 3.53分鐘人平均到達(dá)率為16 60=0.27人.分鐘平均服務(wù)時(shí)間為57 16=3.56分鐘；人

14、平均服務(wù)率為16 57=0.25人分鐘把以上兩表結(jié)合起來(lái)為表3,分析服務(wù)時(shí)間的分布規(guī)律，求出均值和方差。表3服務(wù)時(shí)間和頻數(shù)服務(wù)時(shí)間X12345679頻率P27644221服務(wù)時(shí)間的期望值為:X X p 222736445462729128 3.82服務(wù)率期望值：2822273644546272910.262.2.4討論理論上講，顧客到達(dá)會(huì)形成泊松流，因?yàn)椋海?）在不相重疊的時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是 相互獨(dú)立的，即無(wú)后效性；（2）對(duì)于充分小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與時(shí)刻 無(wú)關(guān)，而與區(qū)問(wèn)長(zhǎng)成正比；在我們把時(shí)問(wèn)段分開(kāi)之后來(lái)分析，這一點(diǎn)也是滿足的；（3）對(duì)于充分小的時(shí)間區(qū)間，有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)

15、的概率極小。顧客到達(dá)滿足以上三 個(gè)條件，形成泊松流；所以顧客到達(dá)率服從負(fù)指數(shù)分布。而服務(wù)時(shí)問(wèn)可看作服從正態(tài) 分布。然而在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)比較少的情況下，并不能得出一一般規(guī)律，來(lái)精確的算出參數(shù) （到達(dá)率）和（服務(wù)率）。本文對(duì)此問(wèn)題只做簡(jiǎn)單的分析。從表1中可以看出，在8： 00 9： 00時(shí)間區(qū)問(wèn)內(nèi)，有12個(gè)顧客到達(dá)，其中有5 個(gè)顧客必須等待，平均等待 Wq1 1 1 1+3 12 0.58分鐘。而在表2中可以得出，在9： 0010： 00時(shí)間區(qū)間內(nèi)，有16個(gè)顧客到達(dá)，有11個(gè)顧客必須等待，平均 等待時(shí)間：Wq 1 2 6 5 4+4+2+4+6+3+1 16 2.375 分鐘。根據(jù)以上分析，在8： 00

16、 9： 00時(shí)間區(qū)間內(nèi)，顧客平均到達(dá)率0.2人分鐘，平均服務(wù)率是0.25人:分鐘，在9： 00 10: 00時(shí)問(wèn)區(qū)問(wèn)內(nèi)分別為0.27人，分鐘和0.28人，分鐘?？梢钥闯?，平均服務(wù)律是高于平均到達(dá)率的。但是，通過(guò)表3的數(shù)據(jù)分析，在8： 0010: OO寸間區(qū)間內(nèi)平均服務(wù)率為0.26人分鐘，由于表3中的數(shù)據(jù)量比較 大，所以更具有代表性。如果這樣分析，平均服務(wù)率就小于9： 0010: O的顧客平均到達(dá)率0. 27,這樣就會(huì)使排隊(duì)越來(lái)越長(zhǎng)而直到高峰期過(guò)后才能得到緩解。我們認(rèn)為在 這個(gè)系統(tǒng)中，當(dāng)平均等待時(shí)間超過(guò)1分鐘，系統(tǒng)被視為效率低下，而低于1分鐘被視為 系統(tǒng)有閑置。通過(guò)以上分析，在9: 0010:

17、00時(shí)間區(qū)間內(nèi)，等待問(wèn)題比較嚴(yán)重，而在 8; 00 9: 00系統(tǒng)有閑置現(xiàn)象?，F(xiàn)實(shí)中，合理的把等待時(shí)間控制在1 ,1 內(nèi)很難（為很小的數(shù)）。2.3MM1模型中的最優(yōu)服務(wù)率問(wèn)題已知有設(shè)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客單位時(shí)間帶來(lái)的損失為d ,單位時(shí)間服務(wù)臺(tái)每服務(wù)一位顧客的服務(wù)成本為C2,則單位時(shí)間總費(fèi)用的期望值為：C( ) c1L( ) c2c1c2dCC2d(2)2解得:/ 1最優(yōu)服務(wù)率隨著進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)和損失費(fèi)G的增加而增加，隨著服務(wù)成本C2的增加而減小某生產(chǎn)廠家有多臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均為1小時(shí), 每臺(tái)故障機(jī)器的損失費(fèi)為3200元/小時(shí).有1個(gè)維修工人，每次維修時(shí)間服從指數(shù)分布，

18、 每臺(tái)故障機(jī)器的修理費(fèi)用為100元/小時(shí),求最優(yōu)的每臺(tái)機(jī)器維修時(shí)間。由題意知：最優(yōu)服務(wù)率為：5（臺(tái)/小時(shí)）G !3200 c212 100即最優(yōu)的機(jī)器維修時(shí)間為：1 10.2小時(shí)12分鐘5第三章 中式快餐店排隊(duì)系統(tǒng)的優(yōu)化3.1 理論分析當(dāng)系統(tǒng)容量最大為N時(shí)，排隊(duì)系統(tǒng)中多于N個(gè)的顧客將被拒絕。當(dāng)N=1時(shí)，即 為瞬時(shí)制；NX時(shí)，即為容量無(wú)限制的情況。顧客 被拒絕N432排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)臺(tái)現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn t .對(duì)于F0 t ,前面的式子仍然成立，當(dāng)n=1,2,N-1時(shí)，也仍能成立。dPN（t）dtPN （t）PN 1 （t）但當(dāng)n=N時(shí)，有下面兩種情況:情況時(shí)刻t的顧客區(qū)間t, t+

19、 t時(shí)刻t+ t的顧客數(shù)概率AN無(wú)離去（冃疋不到達(dá)）NPN（t） （1-小 t）BN-1一人到達(dá)（無(wú)離去）NPN-1（t）入 tPN（tt）PN（t）（1 t）Fn 1（t）t其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為N-1在穩(wěn)態(tài)情況下有:Pn 1P)Pn 1PnP(Pn0)Pn0P0解得：Pn1111F面計(jì)算其運(yùn)行指標(biāo):（1）平均隊(duì)長(zhǎng)Ls：LsPn(pM 1,n c時(shí)），n譏nc由上圖知，當(dāng)nW c時(shí)，顧客被服務(wù)離去的速率為n ,當(dāng)nc時(shí)，為c ，故可得差分方程：(n 1) Pn 1cPn 1PiPoPn 1 (nPn 1 (C)巳)Pn(1c)這里： P 1 , p 1i 0利用遞推法解該差分方程可求得狀態(tài)概率為:當(dāng)

20、(n c），Pn()nn c 1c! cPo系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)為:LsLqLsLqn(n c)Fc 1(c )c c!(1)LsWqLq4.2實(shí)例4.2.1 問(wèn)題提出排隊(duì)論，就是對(duì)排隊(duì)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的理論，也稱(chēng)隨機(jī)服務(wù)理論，是運(yùn)籌學(xué)中 一個(gè)獨(dú)立的分支。作為一種工具或方法，已在許多行業(yè)的管理領(lǐng)域包括醫(yī)院的管理領(lǐng) 域應(yīng)用。門(mén)診注射室的服務(wù)工作，是一種隨機(jī)性服務(wù)，即患者的到達(dá)時(shí)間、到達(dá)數(shù)量、注 射所用時(shí)間，都是一種隨機(jī)現(xiàn)象。這種服務(wù)以什么指標(biāo)才能比較客觀地表示、反映注 射室的工作質(zhì)、工作效率？如何評(píng)價(jià)注射室的人員、設(shè)備配備的合理性？為此 ，筆者 擬用排隊(duì)論的理論和方法，建立評(píng)價(jià)指標(biāo)，為尋求既不使患者排

21、隊(duì)成龍，又不浪費(fèi)醫(yī) 院人力物力的最優(yōu)方案，提供科學(xué)依據(jù)，使注射室管理從經(jīng)驗(yàn)管理轉(zhuǎn)為科學(xué)管理。4.2.2調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容：（1）單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)。（2）服務(wù)時(shí)間。調(diào)查方法（1）服務(wù)時(shí)間：從某患者進(jìn)人注射室開(kāi)始記時(shí)，到該患者接受注射后走出注射室 止。共隨機(jī)記錄了 593人次的服務(wù)時(shí)間。單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)：以5分鐘為一個(gè)時(shí)間單位，任意選取若干個(gè)時(shí)間單 位，記錄每個(gè)5分鐘到達(dá)的患者數(shù)。共隨機(jī)抽取了 168個(gè)時(shí)間單位。以上兩項(xiàng)調(diào)查，抽樣的時(shí)間均是分散的、隨機(jī)的，不可連續(xù)和集中抽樣。調(diào)查資 料經(jīng)統(tǒng)計(jì)處理后如下：1、單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)單位時(shí)間（5分鐘）內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)（人）頻數(shù)概率06

22、0.041150.092300.183340.204430.265160.096100.06790.05840.02910.01合計(jì)1681.002、服務(wù)時(shí)間服務(wù)時(shí)間（分鐘）頻數(shù)概率1 :1700.292:2030.343:1520.264：560.095:60.016:60.01合計(jì)5931.00經(jīng)曲線擬合檢驗(yàn)，服務(wù)時(shí)間的概率分布服從負(fù)指數(shù)分布，單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)患者數(shù) 的概率分布服從泊松分布。從而求出排隊(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)重要參數(shù)，患者平均到達(dá)率和 平均服務(wù)率。又因注射室內(nèi)有兩個(gè)注射凳一服務(wù)臺(tái) C=2故符合排隊(duì)論中M/M/C型排 隊(duì)模型。應(yīng)用M/M/C型計(jì)算公式計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)4.2.3模型求解（1基本參

23、數(shù)1、 患者平均到達(dá)率0.71人分鐘2、 平均服務(wù)率=0.45人:分鐘（2）注射室運(yùn)行狀態(tài)指標(biāo)（C=2）1、服務(wù)強(qiáng)度0.712 0.450.79說(shuō)明注射室有79%勺時(shí)間是忙期，21%勺時(shí)間是空閑的。2、空閑概率：即注射室沒(méi)有病人的概率。C 1K丄C!0 11.581.580! 1!21.5812!1 0.790.12(3)反映患者排隊(duì)情況指標(biāo)隊(duì)列長(zhǎng)：等待注射的患者數(shù)。C期望值Lq C! 12P02.68 人隊(duì)長(zhǎng)：隊(duì)列長(zhǎng)+正在接受注射的患者數(shù)。期望值 Ls Lq C 2.68 1.58 4.26平均等待時(shí)間WqLq2.680.713.77分鐘4 、平均逗留時(shí)間1 Ws Wq3.77 2.22 5

24、.99 分鐘現(xiàn)假設(shè)只配備一名護(hù)士負(fù)責(zé)注射,即C=1,那么服務(wù)強(qiáng)度=24=1.58。在排隊(duì)0.45論中，當(dāng)1時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)處于超負(fù)荷狀態(tài)，將會(huì)持續(xù)出現(xiàn)排隊(duì)成龍現(xiàn)象。故此時(shí)不可取的。4.2.4討論1、排隊(duì)論的應(yīng)用，可以為合理使用人力、物力提供客觀依據(jù)。由下表可見(jiàn)注射室現(xiàn)有的服務(wù)臺(tái)C=2時(shí)，注射室有71%勺時(shí)間被利用，在等注射的 人數(shù)為2.68個(gè)，等待時(shí)間為3.77分鐘。如果服務(wù)臺(tái)增為3個(gè)時(shí)，注射室將53%勺時(shí)間被 利用，排隊(duì)等待的平均人數(shù)小于1,平均等待時(shí)間不足半分鐘。若服務(wù)臺(tái)增為4個(gè)，排 隊(duì)人數(shù)和排隊(duì)時(shí)間幾乎為0,但是注射室被利用的時(shí)間只有39%, 61%勺時(shí)間處于空閑, 造成人力浪費(fèi)。因此，設(shè)兩個(gè)服務(wù)臺(tái)，基本合理