導(dǎo)數(shù)與定積分知識(shí)匯總

1、高考數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)、定積分知識(shí)清單一、導(dǎo)數(shù)的概念(一)導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在Xo處有增量厶x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量 y y=f ( Xo+A X) f ( X0 ),比值XX叫做函數(shù)y=f ( X )在xo到Xo+ X之間的平均變化率，即 yXf (Xo+X x) f (xo) y從X。如果當(dāng) x 時(shí)，xx有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (X)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo )或yl x = xo即 f (xo)Ayf (xo + 也 x) f (xo)limlim= .X0 二 X = .XOX。說明：ly-y(1)函數(shù)f (X)在點(diǎn)x

2、o處可導(dǎo)，是指 X o時(shí)，x有極限。如果 x不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x o處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。(例如：函數(shù)y = |x|在x = o處得左極限與右極限不相等，所以函 數(shù)y = |x|在x = o處不存在極限，所以在 x = o處不可導(dǎo))(2 VX是自變量x在xo處的改變量，汰=0時(shí)，而是函數(shù)值的改變量， 可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟:求函數(shù)的增量 y=f (Xo+x ) f (xo )；y f (xo：x) _ f (xo)求平均變化率伙=xlim取極限，得導(dǎo)數(shù)f (X)= x x。(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲

3、線y=f (x)在點(diǎn)p (xo, f (xo)處的切線的斜率%)=啊怏：_f(x)。也就是說，曲線y=f (x)在點(diǎn) p (Xo, f (Xo)處的切線的斜率是f Xo)。相應(yīng)地，切線方程為y yo = f (Xo) (x Xg)。例題：1、已知曲線y=lx3的一條切線方程是3y = 4x -4，貝U m的值為A. 4B.28c.4 或 283D.-或3132、若曲線“ 的一條切線 與直線- 垂直，貝的方程為(a.4x*-3=0 B .x+4y-5=0 c .4兀-+3二0 D .x+4y+3=0(三)幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) c =；(xn) = nxn(si nx) =cosx；(cosx)=

4、-sin x ;/ XxXX(e)=e;(a)二a Ina：(山才一；x(lOgaX)1x In a(四)兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則1.函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則設(shè) f(x)、g(x)是可導(dǎo)的，則f(x)_g(x) = f(x)_g(x).即兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，該法則也可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)，即 ( f1(X) f2(X) f3(X)二-fn(x) = f；(x) f2(X)二二 fn(x):2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則設(shè)f(x)、g x是可導(dǎo)的,則f (x)g(x) = f (x) g(x) - f (x)g(x),即兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的

5、導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特例：若 C 為常數(shù),則(C f (x)/ = C f (x) C f (x) = 0 C f (x)二 C f (x).即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(C f(x) =C f (x)3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則設(shè) f(x)、g(x)是可導(dǎo)的，且 g(x)=O,則竺=f(x)g(x) f2(x)g (x) g(x)g(x)(簡記為滬戶f-0)即兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)確定函數(shù)的單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)1.在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)O，那么函數(shù)y

6、= f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x) ：0，那么函數(shù)y二f (x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。I2.如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f (x) ，則f(x)為常數(shù)；注：f (x ) 0是f( x)遞增的充分條件，但不是必要條件,如y=2x3在上并不是都有f f x) 0,有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f fx) =0,同樣f fx)v0是f f x) 遞減的充分非必要條件一般地，如果f fx)在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，在其余各點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值 均為正(或負(fù))，那么f f x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的32例題：求f(x) =3x -4x -4的單調(diào)區(qū)間(二)極點(diǎn)與極值：1. 曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為

7、0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0;曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；2. 極值的判別方法：(極值是在X。附近所有的點(diǎn)，都有f(x) v f(x0)，則f(xo)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理) 求函數(shù)f(x)極值的步驟：求導(dǎo)數(shù)f (x)求方程f/(x) =0的根 列表下結(jié)論。3.當(dāng)函數(shù)f(X)在點(diǎn)xo處連續(xù)時(shí)，II 如果在X0附近的左側(cè)f(X) 0，右側(cè)f (x) V 0,那么f(xo)是極大值；II 如果在X0附近的左側(cè)f(X)V 0，右側(cè)f(X) 0,那么f(Xo)是極小值I也就是說X0是極值點(diǎn)的充分條件是 X0點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是 f

8、(x)=0 (1).亦即X。是極值點(diǎn)=f(X)=0 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)(2)當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同)注(1)若點(diǎn)X0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則(X。)，但反過來不一定成立。 例如：函數(shù)y = x3在x =0處的導(dǎo)數(shù)為0,但是函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則x =0 不是函數(shù)的極值點(diǎn)(2)例如：y f(力TX|,在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn)例題：1、函數(shù)f (x) = ax3 (2a -1)x2 2，若x = T是y = f (x)的一個(gè)極值點(diǎn)，貝U a值為A . 2B.-2C.-

9、D.47322 、設(shè)函數(shù) f(x)= 2x -3(a-1)x1,其中 a -1.(i)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)討論f(x)的極值。解：由已知得 f(x) =6x IX (a1)】，令 f (X 0 ，解得X1=0,X2=a1。(I)當(dāng) a =1 時(shí)，f(x)=6x2, f(x)在(-：)上單調(diào)遞增；當(dāng)a 1時(shí)，f (x) =6x ”x-a-1 ) |, f (x), f (x)隨x的變化情況如下表:xS0)0(0,a1)a -1(a -1,亦)f(x)+00+f(x)r極大值極小值r從上表可知，函數(shù)f (x)在(-：,0)上單調(diào)遞增；在(0, a_1)上單調(diào)遞減；在(a_1,：)上單調(diào)遞增

10、。()由(I)知，當(dāng) a =1時(shí)，函數(shù)f (x)沒有極值；當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x)在x=0處取得極大值，在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3。(三)最值:最值定理：一般地，在區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a, b上必有最大值與最小值。求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上的最值的步驟: 求函數(shù)f (x )在(a, b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)f (x)在區(qū)間端點(diǎn)的值？ (a)、？(b)； 將函數(shù)f (x)的各極值與？、？(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。三、定積分的知識(shí)梳理(一)定積分1. 概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，用分點(diǎn)a = x0x1 xi 1xixn =

11、 b把區(qū)間a, b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi 1,刈上取任一點(diǎn)E i (i = 1, 2,n)作和式：b-annf ( E i) x (其中 x為小區(qū)間長度。在等分情況下，和式的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分，記作:baf(X)dX，即bf(x)dx=lim這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x) dx叫做被積式。2.基本的定積分公式：bn.1n -1 .b ,(1)；x dxx |a (n1)n +1(3)；sin xdx - -cosx(2): cdx = cx|：(C 為常數(shù))(5)a1dx

12、 =ln x |：(6) ；exdxx I b=e |a練習(xí)(1)解:(1)x1 2-1 dxx2dx(2)0上x331 033(4)； cos xdx = sin x|；x(7):axdx la (a 0且a = 1)In a3.dx_24(3) ,xdx(2)1x2dx J240412xdx = /xldx 0 xdx-x定積分的性質(zhì)J：kf (x)dx 來f (x)dx ;(2) Ja f (x) 土 f2(x)dx=ja f (x)dx土 J：f2(x)dx(3)(1)0 x22242 8 = 100(3) (二)定積分的應(yīng)用J； f (x)dx+Jb f (x)dx f (x)dx(

13、a ccb)。要點(diǎn)一：求平面圖形的面積1.由直線x=a,x=b(avb) , x軸及曲線y = f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 s= J f (x)dx.若在a,b 上,bf(x) _0,如下左圖，貝y S 二.f (x)dx ；a此時(shí)，定積分的幾何意義：直線x二a,x二b(a ： b), x軸及曲線y二f (x)所圍成的曲邊梯形的面積。(如下左圖)X0a2如上o;一&X若在a,b上，f (x)乞0 ,、b中間圖，貝V S = a f(X)dx ；此時(shí)，定積分的幾何意義：直線x =a, x =b(a ： b), x軸及曲線y = f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)。(如上中間圖)如上右圖，

14、由曲線y = f1(x), y - f2(x), f,x) 一 f2(x)，及直線 x=a, x=b ( av b),圍成圖形的面積公式為：.2. 由直線x =a,x =b(a ： b)及曲線y = f (x), y = g(x)( f (x) _ g(x)圍成的平面圖形的面積:bbS f(x)dx- g(x)dx (同 1 條中的)aa3. 任意平面圖形的面積由任意曲線圍成的平面圖形總可以分割成若干個(gè)曲邊梯形，應(yīng)用定積分解決了求曲邊梯形的面積問題，在理論上就解決了求任意平面圖形的面積問題 4.求由兩條曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟(1 )畫出圖形.(2)確定圖形范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)

15、的坐標(biāo)，定出積分上、下限.(3 )確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置(積分變量為x)或左、右位置(積分變量為 y)(4)寫出平面圖形面積的定積分表達(dá)式(5)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積O 例1：計(jì)算由曲線y2 =2x和直線y=x-4所圍成的圖形的面積I) 解法一畫圖如下左圖，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2, -2 ), ( 8,4 )S ( . 2x _(-.、2x)dx4( .、2x-(x-4)dx = 18(II )解法二畫圖如上右圖，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2 , -2 ) , (8,4 )(以y為積分變量)4 1 2S(y 4-?y2)dy=182O例2:計(jì)算由曲線y =

16、 x ,y = 2x 3圍成的圖形的面積解:畫圖，求得交點(diǎn)(-1 , 1 )及(3,9 )3232SS(2x 3x)dx 盲2 2O 例3.計(jì)算由曲線y =-4(1)y =2(x-2)圍成的圖形的面積解法2 1 8S = 2( . 4 -2xdx - . 4 -4xdx)二3解法2 1 2s=2 02_y0 L 2-(1_4y2)dy 43(積分變量為y)(積分變量為x)要點(diǎn)二：定積分在物理中的應(yīng)用1. 物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的位移s，等于其速度bV二v(t)(v(t) _0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即s v(t)dt.-92. 變力做功：一物體在變力F(x)

17、的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與F(x)相同的方向從bX =a移動(dòng)到X =b，可以得到變力 F(x)做的功 W = j F(x)dx.O 例4: 一輛汽車的速度-時(shí)間曲線如圖所示,求汽車在這1min內(nèi)行駛的路程O 例5:如右圖，陰影部分面積為(B )勺(0t10)卩廠 30(10t40)-1.5t + 90(0t 60)104060解：s= 3tdt+0 30tdt + J40(1.5t+90)dt =1350(m)bcbA .af(x)-g(x)dx B. ag(x)-f(x)dxf(x)-g(x)dxC ff(x)g(x)dx+g(x)f(x)dx D. fg(xf(x) dx122O例

18、6:求函數(shù)f(a，(6x4ax a)dx的最小值1223221解：(6x + 4ax+axdxxdFxpaax) &=2 +2a +a2f (a)二a2 2a 2 =(a 1)2 1 .當(dāng) a = -1 時(shí) f (a)有最小值 1.練習(xí)題1.若點(diǎn)P是曲線y= x2 In x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y= x- 2的最小距離為B/,2C#D. ,3解析：過點(diǎn)P作y= x 2的平行直線，且與曲線y= x2 in x相切，設(shè)P(x。，x0 In x。)，則1 1 1k=y |x= x0= 2x0 x。，2x0 xo=1，二 x0=1 或 x0= 2(舍去). P(1,1)，二 d=|1 1 2|1 + 1 = 2.2. 若曲線y= x4的一條切線I與直線x+ 4y 8 = 0垂直，則I的方程為(A . 4x y 3= 0 B. x+ 4y 5= 0C. 4x y + 3 = 0解析：y = 4x3= 4,得x= 1 ,即切點(diǎn)為(1,1),所以過該點(diǎn)的切線