專題2待定系數(shù)法應(yīng)用探討

1、（或參數(shù)）來表示【2013年中考攻略】專題 2:待定系數(shù)法應(yīng)用探討在數(shù)學(xué)問題中，若得知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可設(shè)定一些尚待確定的系數(shù) 這樣的結(jié)果，這些待確定的系數(shù) （或參數(shù)），稱作待定系數(shù)。然后根據(jù)已知條件，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑏泶_定它滲透于初中數(shù)學(xué)這些系數(shù)，這種解決問題的方法叫待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的基本方法之一。教材的各個部分，在全國各地中考中有著廣泛應(yīng)用。應(yīng)用待定系數(shù)法解題以多項式的恒等知識為理論基礎(chǔ),通常有三種方法:比較系數(shù)法；代入特殊值法;例如：“已知x2_3=（ 1從）x2消除待定系數(shù)法。比較系數(shù)法通過比較等式兩端項的系數(shù)而得到方程（組），從而使問題獲解。+ Bx +

2、C,求A , B, C的值”，解答此題，并不困難，只需將右式與左式的多項式中對應(yīng)項的系數(shù)加以比較后，就可得到 A , B, C的值。這里的A , B , C就是有待于確定的系數(shù)。代入特殊值法 通過代入特殊值而得到方程（組），從而使問題獲解。例如：“點（2,- 3）在正比例函數(shù)圖象上，求此正比例函數(shù)”，解答此題，只需設(shè)定正比例函數(shù)為y=kx，將（2, - 3）代入即可得到值，從而求得正比例函數(shù)解析式。這里的k就是有待于確定的系數(shù)?！耙严ㄏ禂?shù)法 通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如: 知an，求栄的值”，解答此題，只需設(shè)定ri=k，則a=3k，b=2k，代入縈

3、即可求解。里的k就是消除的待定參數(shù)。應(yīng)用待定系數(shù)法解題的一般步驟是:（1）確定所求問題的待定系數(shù)，建立條件與結(jié)果含有待定的系數(shù)的恒等式;（2）根據(jù)恒等式列出含有待定的系數(shù)的方程（組）（3）解方程（組）或消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。在初中階段和中考中應(yīng)用待定系數(shù)法解題常常使用在代數(shù)式變型、分式求值、因式分解、求函數(shù)解析式、求解規(guī)律性問題、幾何問題等方面。下面通過2011年和2012年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。待定系數(shù)法在代數(shù)式變型中的應(yīng)用:在應(yīng)用待定系數(shù)法解有關(guān)代數(shù)式變型的問題中，根據(jù)右式與左式多項式中對應(yīng)項的系數(shù)相等的原理列出方程，解出方程（組）即可求得答案。典型例題:k=【】例：（

4、2011云南玉溪3分）若x2+6x+k是完全平方式，則【答案】A?！究键c】待定系數(shù)法思想的應(yīng)用?！痉治觥?設(shè) X2 +6x +k= (x+A ),則 X2 +6x +k=x2 +2Ax +A2 ,故選A。2A=6(2T O(A =kk=9練習(xí)題:1.（2012江蘇南通3分）已知X2 + 16x + k是完全平方式，則常數(shù) k等于【】2.3.4.A . 64B. 48C. 32 -D. 16（2012貴州黔東南4分）二次三項式X2- kx+9是一個完全平方式，則k的值是 o（2011江蘇連云港3分）計算（X + 2） 2的結(jié)果為X 2+4 + 4,則“匚中的數(shù)為【】（2011湖北荊州3分）將代數(shù)

5、式X2 +4x -1化成（X +p）2 +q的形式為【】A. (x -2)2 +3B.(X + 2)2 -4C.(x +2)2 -5 D.(X +4)2 +4待定系數(shù)法在分式求值中的應(yīng)用：在一類分式求值問題中，已知一比例式求另一分式的值，可設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求分式，從而使問題獲解。典型例題:1. （ 2012北京市5分）已知主0，求代數(shù)式5a 2b(a+2b)(a-2b) gb)的值。2. （ 2011四川巴中3分）若=-，則 b =2a-b 3 aa13a+b2394A.B.-C .-D .-3249【答案】D O【考點】比例的性質(zhì)?！痉治觥?b. 5沁b 5=，二設(shè)一

6、=k，貝U b=5k，a=13k，a13a 13a -b=13k -5k = 8k =4。故選Doa +b=13k + 5k =18k =9練習(xí)題：例：（2012四川涼山4分）已知把，則的值是【a ba,b的值代入丙，得,待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用：在因式分解問題中，除正常應(yīng)用提取公因式法、應(yīng)用公式法、十字相乘法、分組分解法等解題外還可應(yīng)用待定系數(shù)法求解，特別對于三項以上多項式的分解有很大作用（如：X3 6x2+iix 6, 3x2 +5xy 2y2 +x +9y 4，目前這類考題很少，但不失為一種有效的解題方法）。典型例題:例1 : （2012湖北黃石3分）分解因式：x2+x-2 =?！敬?/p>

7、案】(X 1) (X+ 2)。【考點】因式分解。【分析】設(shè) X2 +X -2 =(x +A “ +B ), (X+A)(x+B )=x2+(A +B $+A”B,JA+B，解得 tA-1 或tA=2 人 丿 (A B- -2B-2IB- -12 X +x -2=(x -1 “ +2 )。1注：本題實際用十字相乘法解題更容易，但作為一種解法介紹于此。例 2 :分解因式：3x2 +5xy -2y2 +x + 9y 4?！敬鸢浮?3x -y +4 W +2y -1 ”【考點】因式分解?！痉治觥?3x2 + 5xy -2y2 =(3x -y )(x +2y ),可設(shè) 3x2 +5xy -2y2 +x+

8、9y -4 = (3x-y+a )(x+2y+b 卜/ (3x -y +a Xx +2y + b )=3x2 +5xy -2y2 +(a +3b Jx +(2a -b)y +ab ,2 2 2 2 3x + 5xy-2y +x+9y-4 =3x + 5xy-2y +(a+ 3b )x +(2a-b)y+ab。la +3b=1 比較兩邊系數(shù)，得2a b=9。|ab= -4聯(lián)立，得a=4, b= 1。代入式適合。 3x2 +5xy -2y2 =(3x -y +4 X X +2y -1 )。練習(xí)題:1.（2012四川南充3分）分解因式:2X-4X -122.（2012山東濰坊3分）分解因式:32X

9、4x 12x= o3.（2011貴州黔東南4分）分解因式:2X -2x-8 =x的系數(shù)與四.待定系數(shù)法在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用：待定系數(shù)法是解決求函數(shù)解析式問題的常用方法,求函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個主要用途。確定直線或曲線方程就是要確定方程中 常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)， 根據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系， 將已知的條件代入方程,ky=kx , y=kx+b , y =-的形式x2y=ax +bx+c(a、求出待定的系數(shù)與常數(shù)。這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法。初中階段主要有正比 例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)這幾類函數(shù)，前面三種分別可設(shè)(其中k、

10、b為待定系數(shù)，且k工0)。而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式 b、c為待定系數(shù))，頂點式y(tǒng)=a (x h) 2+k(a、k、h為待定系數(shù))，交點式y(tǒng)=a (x xi)(x X2)( a、xi、x2為待定系數(shù))三類形式。根據(jù)題意(可以是語句形式，也可以是圖象形式)，確定出a、b、c、k、X1、X2等待定系數(shù)，求出函數(shù)解析式。典型例題:例1: (2012江蘇南通3分)無論a取什么實數(shù)，點 P(a 1, 2a 3)都在直線I上，Q(m, n)是直線I上的點，則(2m n+ 3)2的值等于 _【答案】16。【考點】【分析】由于a不論為何值此點均在直線I上,待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程

11、的關(guān)系，求代數(shù)式的值。令 a=0,則 Pi ( 1, 3);再令 a=1，則 P2 (0, 1)。設(shè)直線I的解析式為y=kx+b (kM0,，解得T2/b 1 b 1直線I的解析式為：y=2x 1。 Q (m, n)是直線 I 上的點， 2m 1=n，即 2m n=1。2- (2m n+ 3) = (1+3) 2=16。例2: (2012山東聊城7分)如圖，直線 AB與x軸交于點A (1 , 0),與y軸交于點B (0, - 2).(1)求直線AB的解析式;(2)若直線AB上的點C在第一象限，且【答案】解：(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b ,直線 AB 過點 A (1, 0)、點 B (

12、0, - 2),!k+b=0，解得!k=2。b= -2b= -2直線AB的解析式為y=2x - 2。(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x, y),1 Saboc=2，- ?2?x=2,解得 x=2。2y=2X2 - 2=2。點C的坐標(biāo)是(2, 2)?！究键c】待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥糠匠探M,從而得到 AB的解析式。S(2)設(shè)點C的坐標(biāo)為(x, y),根據(jù)三角形面積公式以及Saboc=2求出C的橫坐標(biāo)，再代入直線即可求出y的值，從而得到其坐標(biāo)。例3: (2012湖南岳陽8分)游泳池常需進行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程排水-清洗-灌水”中水量y (m3)與時間t (mi

13、n、之間的函數(shù)關(guān)系式.(1)根據(jù)圖中提供的信息，求整個換水清洗過程水量3y ( m )與時間t (min、的函數(shù)解析式;(2)問：排水、清洗、灌水各花多少時間?(1)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點A (1, 0)、點B (0,- 2)分別代入解析式即可組成【答案】 解：(1、排水階段：設(shè)解析式為：y=kt+b ,圖象經(jīng)過(0, 1500),(25, 1000),J b=1500，解得:25k+b=1000(k= 一20ib=1500。排水階段解析式為：y=- 20t+1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設(shè)解析式為:y=at+c,圖象經(jīng)過（195,1000), (95, 0),195a

14、+c=100095a+c=0，解得:a=10。灌水階段解析式為：y=10t - 950。b= -950（2 ）排水階段解析式為:y= - 20t+1500,.令 y=0，即0= - 20t+1500，解得:t=75。排水時間為75分鐘。清洗時間為：95 - 75=20 （分鐘），根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500 m3,245 - 95=150 (分鐘)1500=10t - 950,解得：t=245。故灌水所用時間為:【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式,以及清洗階段:y=0和灌水階段解析式即可

15、。即可得出答案。（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點坐標(biāo),例4: （2012湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1 , 2）,則它的解析式是【2C. y =-x1D. y =-x【答案】B?！究键c】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥縦設(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為y = kxk將點（-1, 2）代入y =-得，k= - 1X2=- 2。則函數(shù)解析式為 yx2=一。故選B。x例5: （2012江蘇連云港12分）如圖，拋物線y= x2 + bx + c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點0為坐標(biāo)原點，點D為拋物線的頂點，點 E在拋物線上，點F

16、在x軸上，四邊形 OCEF為矩形，且OF=2, EF= 3,（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;求 ABD的面積;將 AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點A對應(yīng)點為點G,問點G是否在該拋物線上？請說明理由.Vc1 0F戈【答案】解：四邊形OCEF為矩形，0F= 2, EF= 3,點C的坐標(biāo)為(0, 3)，點E的坐標(biāo)為(2, 3) 把 x= 0, y = 3; x= 2, y = 3 分別代入 y= x 2拋物線y=ax +bx+c的頂點是A (2, 1), 可設(shè)拋物線的解析式為y=a (x- 2) +1。+ bx + c,得直線上,【考點】c=3l-4+2b+c=3，解得b=2。c=3拋物線所對應(yīng)的

17、函數(shù)解析式為y= x2 + 2x+ 3o/ y = x2 + 2x + 3= (x 1)2 + 4,拋物線的頂點坐標(biāo)為D(1 , 4) O ABD中AB邊的高為令 y= 0,得一 X2+ 2x + 3= 0,解得 x1 = 1 , x2= 3o AB = 3 (- 1) = 4o1- ABD 的面積=Jj A j-1-i-!i!:i: !1=_JJ1J1;f1 r13iJ1.J-i-!ii:i2 :1HH41U1C-i -1-i-iI- -6-1 -I-!i!ifTi* hiK -i1iii1315i77* -.p. A ?i申-1i553J1Rii. 1II ji i iiii 11 III

18、IZIi*1aiLl1: 11n-iii=iQIIBI1 lip II:II qic“i3“D“=i1u1 lip IIISI L|i1 qiciiis1QIIEIIIipill=1iiJj:TiIIHIy； iKlllll-ilHIHIIil- 1Hlf II-i -llHIMgii iiHifdii-I-1:a:1 111012345678按照如圖所示的 方法排列黑色小正方形地磚，則第14個圖案中黑色小正方形地3. （ 2012廣西桂林3分）F圖是在正方形網(wǎng)格中按規(guī)律填成的陰影，根據(jù)此規(guī)律，則第n個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是第3個團4. （ 2012青海省2分）觀察下列一組圖形:* *

19、* * * * * * #* * * * *它們是按一定規(guī)律排列的,依照此規(guī)律，第n個圖形中共有5.（ 2012浙江寧波6 分）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放:* 笫1個 笫2個 笫3個（1）第5個圖形有多少黑色棋子?（2）第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由.六.待定系數(shù)法在幾何問題中的應(yīng)用:在幾何問題中，常有一些比例問題（如相似三角形對應(yīng)邊成比例，平行線截線段成比例，銳角三角函數(shù)等），對于這類問題應(yīng)用消除待定系數(shù)法，通過設(shè)定待定參數(shù)，把相關(guān)變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。典型例題:例1 : （2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片 ABCD中，/ A=60 0,將紙片

20、折疊，點 A、D分別落在A D處，且A D經(jīng)過CFB, EF為折痕，當(dāng)DF丄CD時，的值為【FDA.273B. 一6C2亦-1C.6D.73+18【答案】A?！究键c】翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì),銳角三角函數(shù)定義，特殊角的在菱形紙片 ABCD中，/ A=60 ,三角函數(shù)值。【分析】 延長DC與A D交于點M ,/ DCB= / A=60 , AB / CD。/ D=180 - / A=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得 / A D F=D=120 , / FDM=180 - / A D F=60 DF丄 CD , / D FM=90 , / M=90 -/ FD M=30

21、。/ BCM=18 -/ BCD=120 , / CBM=18 -/ BCM- / M=30 o / CBM= / M o -BC=CM o設(shè) CF=x, D F=DF=y 貝U BC=CM=CD=CF+DF=x+y o FM=CM+CF=2x+y ,在 Rt D FM中，tan/ M=tan30DFFM- x =2x+y 32FD y 2。故選A o例2 : （2012江蘇揚州3分）如圖，將矩形ABCDAB 2 沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果 一BC 3那么tan/ DCF的值是 【答案】75【考點】【分析】翻折變換（折疊問題），翻折對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)

22、定義。四邊形 ABCD 是矩形， AB = CD , / D = 90將 矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，二CF= BC ,AB 2BC 3CD=2 o.設(shè) CD = 2x, CF= 3x ,CF 3 DF=JCF2 -CD2 =j5x o tan/ DCF = DF 民-罷CD 2x 2 o例3 : （ 2012貴州銅仁10分）如圖，定義：在直角三角形 ABC中，銳角a的鄰邊與對邊的比叫做角a的余切，記作ctan a即ctan %=角的鄰邊=AC，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題:角a的對邊 BC(1) ctan30 =3（2）如圖，已知tanA= _，其中/ A為銳角，試

23、求 ctanA的值.4用案】解：JRt査BC儀隔/.血 c=Jab* -bc2 = Jab?-右血=豐ab .AC T 如 G/.ctan30=f羽EC IaB23C3） .tanA=-* A設(shè) BCWa, AC=4 a,則 AB=5a.4_AC 4a_4BC 3a 3【若點】新定丈，含角的直ffl三形的性質(zhì)，銳角三ffl函數(shù)的定義，勾股定理.【分析】門）根據(jù)3嚇角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BC和AC與AB的關(guān)系，根據(jù)余切求解即可 根據(jù)tanA=i,求出BC和AC,根據(jù)余切求解即可. 4例4: （2012江蘇鎮(zhèn)江11分）等邊 ABC的邊長為2, P是BC邊上的任一點（與 B、C不重合），

24、連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊 APD和等邊 APE,分別與邊 AB、AC交于點M、N （如圖1 ）。(1)求證：AM=AN ;(2)設(shè) BP=x。3 若，BM= 3，求x的值；8 記四邊形 ADPE與 ABC重疊部分的面積為 S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及 S的最小值;/ BAD=150?并判斷此時以 DG、連接DE，分別與邊AB、AC交于點G、H （如圖2）,當(dāng)x取何值時,GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由?！敬鸢浮?解：(1)證明: ABC、 APD和APE都是等邊三角形, AD=AP，/ DAP= / BAC=60 0,/ ADM= / APN=60

25、0o / DAM= / PAN。 ADM APN (ASA ) , / AM=AN。點。(2)易證 BPMCAP,.CP/ BN= 3 , AC=2 , CP=2- x,.81亠3解得x= 或x= 。22BPCA2-x冷，即 4x8x+3=0。四邊形AMPN的面積即為四邊形 ADPE與 ABC重疊部分的面積。ADM = APN ,. S掙DM =SpN o S四邊形AMPN =SPM +S出NP = S出PM + s邸dm = SdP。如圖，過點 P作PS丄AB于點S,過點D作DT丄AP于點T ,則點T是AP的中在 Rt BPS 中，/ P=60, BP=x,%/31 PS=BPs in600

26、=wx, BS=B Pcos6.x。 AB=2 , AS=AB - BC=2 -丄 x。 2 Ah=AS +pS=$lx +i 二 X =X22x+4 I 2丿I2丿E弘dp=1apPAP4(xJ3 2 p3 2 S=S四邊形AMPN戀霑DP二-人戸= j當(dāng)x=1時，S的最小值為型4-2x+4)=(x1 2+(0vxv2 )。連接PG,設(shè)DE交AP于點0。若/ BAD=15 0,/ DAP =60, / PAG =45。 APD和APE都是等邊三角形, AD=DP=AP=PE=EA 。四邊形AD PE是菱形。 DO垂直平分AP。 GP=AG。/ APG = / PAG =45。/ PGA =9

27、0。設(shè) BG=t,在 Rt BPG 中，/ B=6O0,. BP=2t, PG= J3t。二 AG=PG= 73t。寸3t+t=2，解得 t= 1BP=2t=2 寸3 2。當(dāng) BP =23 2 時，/ BAD=150。猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。四邊形 ADPE 是菱形， AO 丄 DE，/ ADO= / AEH=30 0。/ BAD=15 0，A易得/ AGO=45 0,/ HAO=15 0,/ EAH=45 0。設(shè) AO=a，貝U AD=AE=2 a , OD= 3 a。； DG=DO GO= ( 3 1) a。又/ BAD=150,/ BAC=6O0,

28、/ ADO=30 0, / DHA= / DAH=75 0。/ DH=AD=2a , GH=DH DG=2a ( 73 1) a= (33 ) a,HE=2DO DH=2 73 a 2a=2 (73 1) a。 DG2 +gh2 =*731 戸+ (3-虧)/2=(16-873 戸2 ,-|2HE2 = 2(731 )a =(16-8732 , DG2 +GH2 =HE2。以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形。【考點】等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理。【分析】(1)由 ABC、 APD和APE都是等邊三角形可得邊角的相等關(guān)系，從而用ASA證明。(2)由 BPM CAP,根據(jù)對應(yīng)邊成比例得等式，解方程即可。應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角