函數(shù)是多項(xiàng)式的充要條件

1、函數(shù)是多項(xiàng)式的充要條件摘要：本文綜合給出了一元函數(shù)、二元函數(shù)、n元函數(shù)是多項(xiàng)式的充要條件.關(guān)鍵詞：函數(shù) 多項(xiàng)式 充要條件the necessary and sufficient condition for polynomial hased on functionabstract: this paper demonstnates that the function of one variable、the function of two variable and the function of n variable is the necessary and sufficient condition

2、 for polynomial.key words: function; polynomial; necessary and sufficient condition.函數(shù)是多項(xiàng)式的充要條件前 言在文1中給出了一元函數(shù)是次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式的一個(gè)充要條件，受其啟發(fā)，本文給出了一元函數(shù)是次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式、次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式的充要條件；二元函數(shù)是次數(shù)不超過(guò)2的單變量多項(xiàng)式、次數(shù)不超過(guò)3的單變量多項(xiàng)式、次數(shù)不超過(guò)的單變量多項(xiàng)式的充要條件；元函數(shù)是次數(shù)不超過(guò)2的單變量多項(xiàng)式、次數(shù)不超過(guò)3的單變量多項(xiàng)式、次數(shù)不超過(guò)的單變量多項(xiàng)式的充要條.一 一元函數(shù)是多項(xiàng)式的充要條件定理 （泰勒中值定理）若在存在+

3、1階導(dǎo)數(shù)，則存在，使.定理 設(shè)在上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則是次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式的充要條件是.證 “”：令，則又 ， 故 因此 “”：由泰勒公式，有故 于是 （1）又由泰勒公式，有 （2）因此，由（1），（2）得即 令，得，故，于是是次數(shù)不超過(guò)2的多項(xiàng)式.受定理2的啟發(fā)，我們有定理3 設(shè)在上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則是次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式的充要條件是.證 “”：令，則 故 而 故 “”：由泰勒公式，有故 于是 （3）又由泰勒公式，有 （4）因此，由（3），（4）得 即 令，得，故，于是是次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式. 一般地，我們有定理4 設(shè)在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則是次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式的充要條件是.證 “”：令，

4、則故 而 故 “”：由泰勒公式，有故 于是 （5）又由泰勒公式，有 （6）因此，由（5），（6）得 即 令，得，故，于是是次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式.二 二元函數(shù)是單變量多項(xiàng)式的充要條件定理 若在內(nèi)存在階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),，則存在，使 其中 .推論1 若在內(nèi)存在階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，有 .推論2 若在內(nèi)存在階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，有 . 定理6 設(shè)在上具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 其中，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).證 “”：因?yàn)?故 于是 又 因此 故 “”：由推論1，有故 （7）又由推理1，得 （8）因此，由（7），（8）得即 令，得 故 于是，其中,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 推論 若，則，其中是常數(shù). 同樣的，我們有定理7 設(shè)在上具有三階連續(xù)

5、偏導(dǎo)數(shù)，則 其中，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).推論 若，則，其中是常數(shù).定理8 設(shè)在上具有四階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).證 “”：因?yàn)椋?， ，于是 又 因此 故 “”：由推論1，得= 故 = （9）又由推理1，得（10）因此，由（9），（10）得即 令，得 故 于是，其中,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).推論 若，則其中是常數(shù). 同樣的，我們有定理9 設(shè)在上具有四階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有其中，,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。推論 若，則其中是常數(shù).一般地，我們有定理10 設(shè)在上具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 其中，,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).證 “”： 則 而 故 “”：由推論1，得故 = （11） 又由推理1，得= （12）因此，由（11），（12）得 即

6、 令，得 故 于是，,具有連導(dǎo)數(shù). 推論 若，則其中是常數(shù). 同樣的，我們有定理11 設(shè)在上具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 其中，,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).推論 若，則其中是常數(shù).三 元函數(shù)是單變量多項(xiàng)式的充要條件一般地，我們應(yīng)用元函數(shù)的泰勒公式可獲得下面的結(jié)論.定理12 設(shè)在上具有三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= （其中,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）的充要條件是其中.定理13 設(shè)在上具有四階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=（其中,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）.的充要條件是其中.定理14 設(shè)在上具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= （其中,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）.的充要條件是= 其中.參考文獻(xiàn)1劉玉璉，楊奎元，劉偉，呂鳳編，數(shù)學(xué)分析講義學(xué)習(xí)輔導(dǎo)書m（上冊(cè)）北京，高等教育出版社，2003。2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析m（上冊(cè)），北京：高等教