向量的坐標(biāo)表示及其運算

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse向量的坐標(biāo)表示及其運算【知識概要】1. 向量及其表示1）向量：我們把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一個小寫英文字母上面加箭頭來表示，如a讀作向量a，向量也可以用兩個大寫字母上面加箭頭來表示，如7B，表示由A到B的向量 A為向量的起點，B為向量的終點）.向量AB（或 a）的大小叫做向量的模,記作AB（或 a）注： 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小沒有方向的量叫做標(biāo)量，向量與標(biāo)量是兩種不同的量，要加以區(qū)別； 長度為0的向量叫零向量，記作 0,0的方向是任

2、意的注意0與0的區(qū)別 長度為1個單位長度的向量，叫單位向量說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向例1下列各量中不是向量的是（D A.浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度例2卜列說法中錯誤的是（A)A.零向呈是沒有方向的B.零向量的長度為0C.零立宣占枉一向星平彳丁D.例3把平面上一切單位向量的始點放在同一點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是（D ）A. 敘眼B設(shè)貞甌C.訶上一拼兀亶HD. 一個單丸関2）向量坐標(biāo)的有關(guān)概念 基本單位向量：在平面直角坐標(biāo)系中，方向分別與x軸和y軸正方向相同的兩個單位 I 向量叫做基本單位，記為i和j .將向量a的起點置于坐標(biāo)原點o，作oA=a，則oa叫做位

3、置向量，如果點a的坐 標(biāo)為（x, y），它在x軸和y軸上的投影分別為 M , N，則OA = oM - ON, a = OA =計 y向量的正交分解在中，向量0A能表示成兩個相互垂直的向量i、j分別乘上實數(shù)x,y后組成的和式，該和式稱為i、j的線性組合，這種向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的實數(shù)對（x, y）叫做向量a的坐標(biāo)，記為a = （x, y）.般地，對于以點尺化，）為起點，點 巳區(qū)2）為終點的向量 RP?，容易推得pp2 =（x2 Xj）i +（y2 -）j，于是相應(yīng)地就可以把有序?qū)崝?shù)對&2-為，y2 - y1）叫做pP2的坐標(biāo)，記作 pp2 = (x2 -y2 - yj .3

4、）向量的坐標(biāo)運算：a =（為，yj,b =（X2,y2），R則a b = (x X2, yy2);a b = (Xi X2,yi y?); a = (為， x?).4）向量的模：設(shè)a=（x,y），由兩點間距離公式，可求得向量a的模（no rm）. x2 y2 .注： 向量的大小可以用向量的模來表示，即用向量的起點與終點間的距離來表示;向量的模是個標(biāo)量，并且是一個非負實數(shù).例4已知點A的坐標(biāo)為（2,0），點B的坐標(biāo)為（3,0），且AR =4,B?=3，求點P的解：點P的坐標(biāo)為（-6,12）或（-6,-12）5 555例 5 已知 2a - b =(-4,3),a-2b 二(3,4)，求 a、b

5、的坐標(biāo).解：a =(-1,2), b =(-2,-1)例6設(shè)向量a,b,c,R，化簡:(1) (a b -c) - ( a b - c)(- )(b -c)；解：都為2. 向量平行的充要條件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我們規(guī)定0與任一向量平行）寸寸4T44已知a與b為非零向量，若a =（為，）,匕=（%,y2），則a/b的充要條件是x1y2 = x2y1，所以，向量平行的充要條件 可以表示為：a/b= aVb（其中為非零實數(shù)）：= “二2叮13，求向量已知向量a=（-2,3），點A（2, X），若向量AB與a平行，且ABOB的坐標(biāo).解：0B的坐標(biāo)為（6, -7）或（-2,5）

6、.3. 定比分點公式1）定比分點公式和中點公式使 RP = PP2 ，（內(nèi)分）0 R,R是直線I上的兩點，P是I上不同于R,F2的任一點，存在實數(shù) 扎，叫做點P分 PR 所成的比，有三種情況：刊 $ 寧為冬（外分） -1（外分）-1，0T 已知P1（x1, y1）、F2（x2,y2）是直線丨上任一點，且 RP =入PP2 （九己R,九鼻1）. P是直線PP2上的一點，令P（x,y），則線段PP2的定比分點公式，特別地點，此時捲 x22y1y2，叫做線段RP2的中點公式RP PP2可得P1P = PP2 ； 當(dāng)，-1時，定比分點的坐標(biāo)公式 x-也 生和y =土 壯 顯然都無意義，也 1 + 丸1

7、 + k就是說，當(dāng) - -1時，定比分點不存在.2)三角形重心坐標(biāo)公式設(shè) ABC的三個點的坐標(biāo)分別為 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，G為ABC的重心，則例8在直角坐標(biāo)系內(nèi)%y2 y33R(4,-3),F2(-2,6)，點 P在直線 RP?上，且Rp|=2l PF2，求出P解：當(dāng)P在RP2上時，P(0,3);當(dāng)P在RP2延長線上，P(8,15).已知A(3, -1), B( -4, -2)，P是直線 AB上一點，若2邛二3AB，求點P的坐標(biāo).解：注意定比分點的定點，可得P(*方法提煉*幾個重要結(jié)論1. 若a,b為不共線向量，則 a b，a-b為以a,b為鄰邊的平行四邊形的

8、對角線的向量;2.a+b2+a_b=2(3. G 為 ABC 的重心=GA GB GC =0 =G(X2X3y y2y3)3A(x ,y ) B (x ,y C 3x ,)【基礎(chǔ)夯實】1.判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由 向量AB與CD是共線向量，則 A B C DKu必牛一T!純一； 申付向量部和等： 狂一向量與它的和iE向量不和徐： 四邊形ABCD!平行四邊形的充要條件是 AB = DC 模為0兄一人向呈汀汀疋節(jié)亢云系L ； 共線的向量，若起點不同，則終點一定不同AB、解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量AC在同一直線上 不正確.單位向量模均

9、相等且為1，但方向并不確定. 不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的 、正確.不正確.如圖AC與BC共線，雖起點同，但其終點卻相同評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及 相互關(guān)系必須把握好.2. 下列命題正確的是(C A. a與b共線，b與c共線，則a與c川丿誇戈B任意兩個相學(xué)C. 向量a與b不共線，則a與b耶是巾乓I口 IkD. 有相同起點的兩個非零向量不平行3. 在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為( D ； a / b 且| a|=| b| 是 a=b 丫(2) a / b且| a|=| b|是a=b i勺即一人處;卜及水必出條件(3)

10、a與b方向相同且| a|=| b|是a=b卞(4) a與b方向相反或| a|豐| b|是a豐b鬥充分不心艮：細1A. (1) (3)B.(4)C.(4)D. (1) (3)(4)4. 已知點A分有向線段BC的比為2，則在下列結(jié)論中錯誤的是( D )A.點C分AB的比是-1B.點C分BA的比是-33C點C分AC的比是-23.點A分CB的比是25.已知兩點R(1,-6)、F2(3,o)，點P(7,y)分有向線段PP2所成的比為九，則九、y3的值為(C )11* 11A , 8B.-紜C -8D . 4,-44486. ABC的兩個頂點A(3 , 頂點C的坐標(biāo)是(A )7)和 B(-2 ,5)，若A

11、C的中點在x軸上，BC的中點在y軸上，則A (2 , -7)B (-7 ,2)C . (-3,-5)D (-5 , -3)7. “兩個向量共線”是“這兩個向量方向相反”的條件.答案：必要非充分8. 已知a、b是兩非零向量，且a與b不共線,若非零向量c與a共線，則c與b必定答案：不共線9. 已知點 A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)答案：2或-2在同一條直線上，那么 x=，10. ABC的頂點 A(2，3)，B(-4，-2)和重心 G(2, -1)，貝U C 點坐標(biāo)為 ，答案：(8,-4)1 11. 已知ABC邊AB上的一點，且Samc S abc，則M分AB所成的比為-答案：7【鞏固

12、提高】12.已知點A = (_1,4)、B(5,2)，線段AB上的三等分點依次為 P、P，求P、P,點的坐標(biāo)以及代B分RP2所成的比九.解：Pi(1,-2),P12(3,0),A、B分p1 p2所成的比入1、入2分別為-2，-228 13.過R(1,3)、F2(7,2)的直線與一次函數(shù)y=X+ 的圖象交于點P，求P分RP?所55成的比值.5解：一1214.已知平行四邊形 ABCD 一個頂點坐標(biāo)為 A(-2,1)，一組對邊AB、CD的中點分別為 M(3 ,0)、N(-1 , -2)，求平行四邊形的各個頂點坐標(biāo) 解：E(8, 1), C(4, 3),D( 6, 1)15.設(shè)P是jABC所在平面內(nèi)的

13、一點,16.(A).(C).PB PC =0(B).(D).PA PB+PC =0產(chǎn)面向量a,b滿足a+b=1,a+b平行于x軸,b=(2,-1)，則 a = (-1,1)或(-3,1).17. 在厶 ABC 中，點 P 在 BC 上，且2PC,點 Q 是 AC 的中點.若PA = (4,3), PQ = (1,5), 則BC等于()A . (-6,21)B . (-2,7)C. (6, - 21)D . (2, - 7)OA = (-2,m),OB = (n,1),OC =(5,-1).若 A,B,C 三點共線,解析：選 A.AC = 2AQ = 2(PQ RA)= (-6,4), PC =

14、 PA + AC = ( 2,7), BC = 3PC = (- 6,21).18. 已知O為坐標(biāo)原點，向量 且m = 2 n，求實數(shù)m, n的值19. 已知點A(3, 0),B(-1 , -6), P是直線AB上一點，且| AP |= 11 AB |，求點P的坐標(biāo).320.已知向量 m = (cossinR 和 n =(J2sincosr),r(二，2二)，且 |求cos( )的值。2 8僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den p

15、ers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 貝 ex.僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Fors