立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見(jiàn)模型及方法證明空間線而垂直需注意以下幾點(diǎn): 由已知想性質(zhì)，由求證想判泄，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 立體幾何論證題得解答中，利用題設(shè)條件得性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或而）就是解題得常用 方法之一。 明確何時(shí)應(yīng)用判立左理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)宦理，用左理時(shí)要先申明條件再由立理得出相應(yīng)結(jié) 論.垂直轉(zhuǎn)化:線線垂直 線面垂直 面面垂直;基礎(chǔ)篇類型一:線線垂直證明（共面垂直.異而垂直）直錯(cuò)誤!勾繪良理屮得亙角彬（1）共面垂直：實(shí)際上就是平面內(nèi)得兩條直線得垂直（只需要同學(xué)們掌握以下幾種模 型）錯(cuò)誤！等腰（等邊）三角形中得中線錯(cuò)誤！菱形（正方彬丿得對(duì)角錢眨柏兔 錯(cuò)誤！ 1：1：2得直角梯形

2、中錯(cuò)誤！利用相似或全等證明直角. 例：在正方體中Q為底面ABCD得中心，E為，求證：（2）異面垂直（利用線面垂直來(lái)證明，高考中得意圖）例1在正四面體A B CD中z求證變式1如圖，在四棱錐中，底而就是矩形，已知.證明：；變式2如圖，在邊長(zhǎng)為得正方形中,點(diǎn)就是得中點(diǎn)，點(diǎn)就是得中點(diǎn)，將 AED, A DCF分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于、 求證:;變式3如圖，在三棱錐中，4就是等邊三角形,ZBWPBC=90 證明：AB1PC類型二:線面垂直證明方法錯(cuò)誤！利用線而垂直得判斷定理例2：在正方體中，O為底而ABCD得中心，E為，求證:變式1:在正方體中,，求證:變式 2：如圖：直三棱柱 ABCAx中， AC=

3、 8C= AA=20 E為BB.得中點(diǎn)3點(diǎn)在AB上且D民錯(cuò)誤!、A)求證：CD丄平面AA I3Bx 變式3:如圖，在四而體ABCD中，0、E分別就是BD、BC得中 點(diǎn)求證：平而BCD：變式4 如圖,在底面為直角梯形得四棱錐中，/ 9 丁面I H 求證:平面錯(cuò)誤！利用而而垂直得性質(zhì)定理例3：在三棱錐P-ABC中方法點(diǎn)撥：此種情形，條件中含有而而垂直。變式1 ,在四棱錐,底面ABCD就是正方形r側(cè)面PAB就是等腰三角形，且，求證:變式2:類型3：而而垂直得證明。(本質(zhì)上就是證明線面垂直)例1如圖，已知平而,平而，為等邊三角形, ,為得中點(diǎn)、(1) 求證:平而；(2) 求證:平而平而；例2如圖,在四

4、棱錐中，底而就是得中點(diǎn). MB得距離、第4課 線面垂直習(xí)題解答第18題圖1、 A兩平行中有一條與平而垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直于同一平而得兩直線平 行、2、C 由線而垂直得性質(zhì)泄理可知、3、A 折后 DP丄PE, DP丄PF.PE丄 PF、4、D 過(guò)上任一點(diǎn)作直線b，則8, /確定得平而與直線&平行、5、 A依題意，用丄丫且7(1 ,則必有u丄丫，又因?yàn)?=P Pl y則有/丫,而加丄丫則1丄加, 故選A、6、D 過(guò) P作 PQ丄于 D,連 QD 貝lj CDA.AB, AB=:.PD=、7、D由泄理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確、8、A顯然a與B不平行、9、D 垂宜于同一平而得兩直線平行，兩

5、條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平 面垂直、10、B/ 丄 a丄加1 1、cm2 設(shè)正三角力 Bf C9得邊長(zhǎng)為心:.AC2r + . C2=2+1452=?+4,又 AC2+ BCAB :. a?=2 .Sy b c=cm2.12、在直四棱柱AiBi CiDi-ABCD中當(dāng)?shù)锥倪呅蜛 BCD滿足條件AC丄B Q（或任何能推導(dǎo) 出這個(gè)條件得英它條件，例如ABCD就是正方形，菱形等）時(shí)，有AC丄BQ （注：填上您 認(rèn)為正確得一種條件即可，不必考慮所有可能得情形）、點(diǎn)評(píng)：本題為探索性題目,由此題開(kāi)辟了填空題有探索性題得新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線走理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活、1 3.

6、 VC丄E4, AC丄AB.由 VC丄VA9 UC丄 SB 知 W?丄平而 VAB.14、（1）證明：TH為HV BC得垂心，:.VC丄BE,又力丹丄平而VBC,:.BE為斜線AB在平而VB C上得射影，A B丄VC.（2）解:由（1）知7丄AB, VC丄BE,:.2C丄平而ABE,在平而ABE上，作7）丄AB.又AB丄UC,:.AB丄而 DEC、 A 丄CD、：. ZE DC為二而角EABC得平而角，ZEPC= 3 0 :AB丄平而 VCD、 VC在底而ABC上得射影為CD、AZ CD為WC與底而ABC所成角，又VC丄力B, VCLBE.:.VC丄而ABE, !/（?丄DE, ZCE D=9

7、0，故 ZECD=60 ,VC與面ABC所成角為6 0。、15、證明：（1）如圖所示，取PD得中點(diǎn)E,連結(jié)AE,EN,則有 EVCD/ A B/AM. EN=CD=AB=AM,故 AMNE 為平行四邊形、A MN/AE.9： AE 平而 BAD,A/N 平面 PAD, MN平而 PAD.第15題圖解（2） 丄平而 AB CD.用丄AB.又AD丄AB.：.AB丄平而PAD.:.AB 丄A ,即 AB丄MN、又 CDSB, :.MN丄CD、（3）V PA 丄平而 ABC D, :.PAL AD.又ZPDA=45疋為PD得中點(diǎn)、:.AE丄PD,即 MN丄PD、又 MN丄CD/. MN丄平而PCD、1

8、6、如圖（1 ）證:由已知 SB=4 , AD=2、ZBAD=60 ,故 BD2=A D2+A B 2AD ABcos60 =4+ 1 6-2X2X 4 X = 12.又 AB2=AD2+BD第16題圖解:./AB D就是直角三角形，ZADB= 9 0 ,即 AD丄 BD、在厶 PDB中，P D = , PB=, Bg:.PBPD2+BD 故得 PD丄 BD、又 PDCAD=D.:BD丄平而PSD、(2)由D丄平而PAD. BD平而ABC D.平而MD丄平而A BCD、作PE丄AD于又PE平而PAD,PE丄平而ABCD, ：ZPDE就是PD與底面力所成得角、D民60 ,：.PE=P Psin6

9、0 =、作EF丄BC于F,連PF,則PF丄BF,. Z PFE就是二面角P-B C-A得平而角、又 EF=B D =，在 RtAPF 中，tan ZPFE=、故二面角PBCA得大小為ar c ta n、17、連結(jié)力 Ci，、ARtAACCjRtA/WCi/lu:.ZACC=ZMACZAiMCi + ZAC C=ZAi MCi+ZA/A Ci=90、AN丄AC】，又SBCABiCi為直三棱柱， CG丄BG 又 BC丄AG, EC丄平面 AC)M、由三垂線定理知AB】丄兒M、點(diǎn)評(píng):要證力旳丄如M,因31G丄平面力G ,由三垂線走理可轉(zhuǎn)化成證力G丄AXM.而MG丄4 iM走會(huì)成立。18、(1)證明:

10、在正方形ABCD中,I AM PDsC PB且 MD=BC.:.DP : PB=M D : C=1 ： 2、又已知D N NB= ： 2 ,由平行截割迫理得逆左理得NP/DD,又DD丄平面ABCD,NP 丄平而 ABCD、(2) 9：N P/DD9 /CCr ,:.NP、CC在同一平而內(nèi)，CC為平而NPC與平nil CC D D所成二而角得棱、又由CC 丄平而ABCD,得丄CD,CCr丄CM. ZMCD為該二而角得平而角、在R t AMCD中可知ZMCD= a ret a n,即為所求二而角得大小、(3) 由已知棱長(zhǎng)為可得，等腰MBC而積$=,等腰MBD 而積52=,設(shè)所求距離為力， 即為三棱

11、錐C-D MB得高、.三棱錐ZT -BCM體積為， 空間屮得計(jì)算基礎(chǔ)技能篇類型一：點(diǎn)到面得距離方法1:直接法一把點(diǎn)在面上得射影查出來(lái)，然后在直角三角形中計(jì)算例1:在正四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為求點(diǎn)A到面BCD得距離。變式1在正四棱錐VABCD中，底面AB CD邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b、求頂點(diǎn) V到底面ABCD得距離。變式2在正四棱錐V-AB C D中，底面A BCD邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為b、求頂點(diǎn)A 到底面VCD得距離。方法2:等體積法求距離一-在同一個(gè)三棱錐中利用體積不變?cè)?，通過(guò)轉(zhuǎn)換不 同得底與高來(lái)達(dá)到目得。例2 已知在三棱錐V ABC中,VA, VB,VC兩兩垂直,VA=VB = 3,VC=4,求

12、 點(diǎn)V到面ABC得距離。變式1：如圖所示得多面體就是由底而為得長(zhǎng)方體被截而所截而得到得，英中.（1）求得長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)到平而得距離.變式2如圖，在四棱錐中，底而ABCD就是四邊長(zhǎng)為1得菱形， 而，。求點(diǎn)B到平面OCD得距離.變式3在正四面體ABCD中，邊長(zhǎng)為a,求它得內(nèi)切求得半徑。類型二：其它種類得距離得計(jì)算（點(diǎn)到線，點(diǎn)到點(diǎn)）例3如圖，在四棱錐中.底面ABC D就是四邊長(zhǎng)為1得菱形而,何為OC得中點(diǎn)，求AM與點(diǎn)A到直線0C得距離.舉一反三1.正三棱錐P-ABC髙為2,側(cè)棱與底而所成角為，則點(diǎn)到側(cè)而得距 A.BCo 6D.2O如圖，已知正三棱柱得底而邊長(zhǎng)為1 ,髙為&一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn) 出發(fā)，沿著三棱柱

13、得側(cè)而繞行兩周到達(dá)點(diǎn)得最短路線得長(zhǎng)為OBDAo 1 0B. 2 0C. 3 0D. 40肉就是.DB二.填空題：3。太陽(yáng)光照射高為m得竹竿時(shí)，它在水平地而上得射影為lm,同時(shí)，照射地而上一圓球時(shí)，如圖所示,英影子得長(zhǎng)度AB等于cm,則該球得體積為o4若一個(gè)正三棱柱得三視圖如下圖所示,則這個(gè)正三棱柱得髙與底面邊長(zhǎng)分別為cm,三.解答題：5 o已知I匸三榜柚：AB C斗A_ BC I彳電榜長(zhǎng)切邨曲長(zhǎng)均為1,M就是底而BC邊上得中點(diǎn),N 就是側(cè)棱得點(diǎn)，且CM2 E 求點(diǎn)氏垢平面AMN得距離:6. 一個(gè)多面觀圖及三視圖如圖所刪訊其中M、N分別就躺加BC得中點(diǎn)）、(1 )求證:MN平而CDEF；(2)求多面體ACDEF得體積.7。一個(gè)多而體得直觀圖與三視圖如圖所 示，其中M、N分別就是AB、AC得中 點(diǎn).G就是DF上得一動(dòng)點(diǎn)、(1) 求證：(2) 當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確是一 點(diǎn)P，使得GP/平而FMC,并給出證 明/O8.如圖,已知正四棱錐，設(shè)為得中 點(diǎn)，為得中點(diǎn)，為邊上得點(diǎn)。(1) 求證:平面；(2) 試確立點(diǎn)得位宜，使得平而底 面.9 一個(gè)多而體得直觀圖、主視圖. 左視圖、俯視