醫(yī)用高等數(shù)學：D2_1導(dǎo)數(shù)概念

1、第二章 微積分學的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學家 Leibniz 微分學 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢 微分微分描述函數(shù)變化程度 都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù)) 導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)思想最早由法國 數(shù)學家 Ferma 在研究 極值問題中提出. 英國數(shù)學家 Newton 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 視頻 http:/ 5A07_M6GLJH1ML.html(2m-16m) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、引例一、引例 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù) 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

2、導(dǎo)數(shù)的概念 第二章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 s O 一、一、 引例引例 1. 變速直線運動的速度變速直線運動的速度 設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為 )(tfs 則 到 的平均速度為 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 而在 時刻的瞬時速度為 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 2 2 1 tgs 自由落體運動 0 t )( 0 tf)(tf t 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 曲線 )(:xfyC N T 0 x M 在 M 點處的切線 x 割線 M N 的極限位置 M T (當 時) 割線 M N 的斜率tan )(

3、)( 0 xfxf 0 xx 切線 MT 的斜率 tank tanlim lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx x y )(xfy C O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個問題的共性共性: 瞬時速度 lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 切線斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx 所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 . 類似問題還有: 加速度 角速度 線密度 電流強度 是速度增量與時間增量之比的極限 是轉(zhuǎn)角增量與時間增量之比的極限 是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限 是電量增量與時間增量之比的極限 變化率問題 N T 0 x M x

4、x y )(xfy C O s O 0 t )( 0 tf)(tf t 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義 定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點 0 x 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在,)(xf并稱此極限為 )(xfy 記作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xxx y 0 d )(d xxx xf 即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 則稱函

5、數(shù) 若 的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點 0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點 0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運動質(zhì)點的位置函數(shù) )(tfs 在 時刻的瞬時速度 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 曲線)(:xfyC 在 M 點處的切線斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx )( 0 t f )( 0 x f s O 0 t )( 0 tf)(tf t N T 0 x M x x y )(xfy C O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xx

6、x 不存在, 就說函數(shù)在點 不可導(dǎo). 0 x 若,lim 0 x y x 也稱)(xf在 0 x 若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導(dǎo), 此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù). 記作:; y ;)(x f ; d d x y . d )(d x xf 注意注意:)( 0 x f 0 )( xx xf x xf d )(d 0 就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo). 的導(dǎo)數(shù)為無窮大 . 若極限 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解: y x CC x 0 lim0 即0)(C 例例2. 求函數(shù))()( Nnxxf n .處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解: ax afxf )()(

7、ax lim)(a f ax ax nn ax lim (lim ax 1n x 2 n xa 32 n xa) 1 n a 1 n an x xfxxf )()( 0 lim x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明： 對一般冪函數(shù) xy ( 為常數(shù)) 1 )( xx 例如，例如，)(x)( 2 1 x 2 1 2 1 x x2 1 x 1 )( 1 x 11 x 2 1 x ) 1 ( xx )( 4 3 x 4 7 4 3 x （以后將證明） 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 h xhx h sin)sin( lim 0 例例3. 求函數(shù)xxfsin)(的導(dǎo)數(shù). 解解: ,xh令 則 )

8、(x f h xfhxf)()( 0 lim h 0 lim h ) 2 cos(2 h x 2 sin h ) 2 cos(lim 0 h x h 2 2 sin h h xcos 即xxcos)(sin 類似可證得 xxsin)(cos h 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )1(ln x h 例例4. 求函數(shù)xxfln)(的導(dǎo)數(shù). 解解: )(x f h xfhxf)()( 0 lim hh xhx h ln)ln( lim 0 hh 1 lim 0 )1(ln x h 即 x x 1 )(ln 0 lim h h 1 x 1x x 1 0 lim h )1(ln x h h x eln x

9、 1 x 1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則令, 0 hxt 原式 h tfhtf h2 )()2( lim 0 )(lim 0 tf h )( 0 x f 是否可按下述方法作: 例例5. 證明函數(shù)xxf)( 在 x = 0 不可導(dǎo). 證證: h fhf)0()0( h h 0h,1 0h,1 h fhf h )0()0( lim 0 不存在 , .0不可導(dǎo)在即xx 例例6. 設(shè))( 0 x f 存在, 求極限. 2 )()( lim 00 0h hxfhxf h 解解: 原式 0 lim hh hxf 2 )( 0 )( 0 xf h hxf 2 )( 0 )( 0 xf )( 2 1 0

10、 x f )( 2 1 0 x f )( 0 x f )( 2 )( 0 h hxf )( 0 xf 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 曲線)(xfy 在點),( 00 yx的切線斜率為 )(tan 0 x f 若 ,0)( 0 x f 曲線過上升; 若,0)( 0 x f曲線過下降; x y O 0 x ),( 00 yx 若,0)( 0 x f切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點; ),( 00 yx ),( 00 yx 0 x 若 ,)( 0 x f切線與 x 軸垂直 . 曲線在點處的),( 00 yx 切線方程切線方程:)( 000 xxxfyy 法線方

11、程法線方程: )( )( 1 0 0 0 xx xf yy )0)( 0 x f ,)( 0 時 x f x y O )(xfy C T 0 x M x y 0 x O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y O1 1 1 1 例例7. 問曲線 3 xy 哪一點有鉛直切線 ? 哪一點處 的切線與直線1 3 1 xy平行 ? 寫出其切線方程. 解解:)( 3 xy 3 2 3 1 x, 1 3 1 32 x , 0 x y 0 x 令, 3 11 3 1 32 x 得,1x對應(yīng) ,1y 則在點(1,1) , (1,1) 處與直線1 3 1 xy 平行的切線方程分別為 ),1(1 3 1 xy) 1

12、(1 3 1 xy 即 023 yx 故在原點 (0 , 0) 有鉛直切線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處可導(dǎo)在點xxf)( 四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 定理定理1. 處連續(xù)在點xxf)( 證證: 設(shè))(xfy 在點 x 處可導(dǎo),)(lim 0 xf x y x 存在 , 因此必有 ,)( xf x y 其中0lim 0 x 故xxxfy)( 0 x 0 所以函數(shù))(xfy 在點 x 連續(xù) . 注意注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo). 反例反例:xy xy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo). 即 x y O 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在

13、點 0 x的某個右右 鄰域內(nèi) 五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) )(xfy 若極限 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 0 x記作 )( 0 xf 即 )( 0 xf x xfxxf x )()( lim 00 0 (左) (左左) )0( x)0( x )( 0 xf 0 x 例如例如,xxf)(在 x = 0 處有 ,1)0( f1)0( f 定義定義2 . 設(shè)函數(shù) 有定義, 存在, x y O xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 函數(shù)在點 0 x)(xfy ,)()( 00 存在與xfxf 且 )( 0

14、 xf. )( 0 xf )( 0 x f 存在 )( 0 xf)( 0 xf 簡寫為 在點處右右 導(dǎo)數(shù)存在 0 x定理定理3. 函數(shù))(xf )(xf在點 0 x必 右右 連續(xù). (左左) (左左) 若函數(shù) )(xf )(af)(bf與 都存在 , 則稱 )(xf 顯然: )(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導(dǎo),)(baCxf 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba 在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba 可導(dǎo)的充分必要條件 是 且 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo); 5. 已學求導(dǎo)公式 : 6. 判斷可導(dǎo)性 不連續(xù), 一

15、定不可導(dǎo). 直接用導(dǎo)數(shù)定義; 看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. ) (C ) ( x ) (sin x ) (cosx axf)( 0 2. axfxf )()( 00 ) (lnx ;0 ; 1 x ;cosx;sin x x 1 增量比的極限; 切線的斜率; 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習 1. 函數(shù) 在某點 處的導(dǎo)數(shù))(xf 0 x)( 0 x f )(x f 區(qū)別:)(x f 是函數(shù) ,)( 0 x f 是數(shù)值; 聯(lián)系: 0 )( xx xf)( 0 x f 注意注意: 有什么區(qū)別與聯(lián)系 ? )()( 00 xfxf ？ 與導(dǎo)函數(shù) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè))

16、( 0 x f 存在 , 則 ._ )()( lim 00 0 h xfhxf h 3. 已知 ,)0(,0)0( 0 kff則 ._ )( lim 0 x xf x )( 0 x f 0 k 4. 若),(x時, 恒有,)( 2 xxf問)(xf 是否在 0 x 可導(dǎo)? 解解:由題設(shè)0)0(f 0 )0()( x fxf x0 由夾逼準則 0 )0()( lim 0 x fxf x 0 故)(xf在0 x 可導(dǎo), 且 0)0( f 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 設(shè) 0, 0,sin )( xxa xx xf, 問 a 取何值時,)(x f 在 ),(都存在 , 并求出. )(x f 解

17、解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù) . )0(f 0 0sin lim 0 x x x 1 )0(f 0 0 lim 0 x xa x a 故1a時,1)0( f 此時)(x f 在),( 都存在, )(xf 0,cosxx 0,1x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P86 2 , 6, 7, 16(2) , 17,18 , 第二節(jié) 牛頓牛頓(1642 1727) 偉大的英國數(shù)學家 , 物理學家, 天文 學家和自然科學家. 他在數(shù)學上的卓越 貢獻是創(chuàng)立了微積分. 1665年他提出正 流數(shù) (微分) 術(shù) , 次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671 年完成流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)一書 (1736年出版). 他 還著有自然哲學的數(shù)學原理和廣義算術(shù)等 . 萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716) 德國數(shù)學家, 哲學家. 他和牛頓同為 微積分的創(chuàng)始人 , 他在學藝雜志 上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學的論文中, 有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計了作乘法的計算機 , 系統(tǒng)地闡述二進制計 數(shù)法 , 并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 解解: 因為 1. 設(shè))(x f 存在, 且, 1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x 求).1 ( f x xff x 2 )1 () 1 ( li