線段和最小及差最大問(wèn)題

1、精心整理 當(dāng)兩點(diǎn)A和B在直線I同側(cè)時(shí)，若求直線I上點(diǎn)P使PA+PB最小值作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B :連結(jié)AB 交直線I于點(diǎn)P,此時(shí)PA+PB二PA+PB AB 取除此之外的任意一點(diǎn)P根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，PA+P 二PA+P AB ,所以點(diǎn)P滿足PA+PB最小值 當(dāng)兩點(diǎn)A和B在直線I異側(cè)時(shí)，作直線AB與直線I的交點(diǎn)為點(diǎn)P 當(dāng)兩點(diǎn)A和B在直線I同側(cè)時(shí)，作直線AB與直線I的交點(diǎn)為點(diǎn)M此時(shí)|AM-BM|是最大值取除此之外的任意一點(diǎn) N,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，|NA-NB| v AB,而 |MA-MB|=AB,所以這時(shí)|AM-BM|是最大值 當(dāng)兩點(diǎn)A和B在直線I異側(cè)時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于直線

2、I的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB 交直線I 于點(diǎn)M,此時(shí),|AM-BM|是最大值送你幾道題（2012福建莆田4分）點(diǎn)A、E均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得PA -PB|的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，貝U OP OQ =【答案】5。【考點(diǎn)】軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的I IL I關(guān)系?！痉治觥窟B接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A連接AB交y軸于點(diǎn)Q,求出點(diǎn)Q與y軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論：連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn) P即為x

3、軸上使得|PA PB|的值最大的點(diǎn)。點(diǎn)B是正方形 ADPC勺中點(diǎn)， P （ 3, 0）即 0P=3作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A連接AB交y軸于點(diǎn)Q則AB即為QA+Q啲最小值。精心整理 A( -1 , 2), B ( 2, 1),設(shè)過(guò)A B的直線為：y=kx+b,心2 = -kb1 Ik_1I3O55則，解得J Q( 0, 5 )，即 OQ#。1 =2k b5 b =33._3精心整理OP?OQ丸 5 =5。3（2012四川攀枝花4分）如圖，正方形 ABCD中, AB=4, E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，貝U PE+PB的最小值為.【答案】2 5。B【考點(diǎn)】 軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），正方

4、形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥?連接DE交BD于點(diǎn)P,連接BD點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱， DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值。I * AB=4 E是 BC的中點(diǎn)， CE=2例5. （2012廣西貴港2分）如圖，MN為OO在 Rt CDE中，DE= CD2+CE2 二 42+22 =2 5。的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過(guò) A作ACL MN于點(diǎn)C,過(guò)B作BDL MN于點(diǎn)D, P為DC上的任意一點(diǎn)，若 MN= 20, AC= 8, BD= 6，貝U PA+ PB的最小值是 。【答案】14?！究键c(diǎn)】 軸對(duì)稱（最短路線問(wèn)題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥? MN= 20,.OO的半徑=10。連接OA OB在 R

5、t OBD中，OB= 10, BD= 6,OD= = = 8。同理，在 Rt AOC中, OA= 10 , AC= 8,0(= = = 6。- CD= 8 + 6= 14。作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B,連接AB，貝U AB即為PA+ PB的最小值，B D= BD= 6，過(guò)點(diǎn)B作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。在 Rt AB E 中，T AE= AO CE= 8 + 6= 14 , B E= CD= 14 ,14。 AB精心整理例6. (2012湖北十堰6分)閱讀材料:例：說(shuō)明代數(shù)式x21. (x 3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解：.x2、,(x -3)24一 0)212(x 一 3

6、)222，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P (x, 0)是 x軸上一點(diǎn)，貝V、(x 一0)2 12可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A ( 0, 1 )的距離， (x 一3)2 22可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B (3, 2) 的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和，它的最小值就是PA+ PB的最小值.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A,則PA=PA,因此，求PA+ PB的最小值，只需求PA + PB的最小值，而點(diǎn)A、 B間的直線段距離最短，所以PA + PB的最小值為線段 AB的長(zhǎng)度.為此，構(gòu)造直角三角形 A CB因?yàn)锳 C=3CB=3,所以A B=3 ,2，即原式的最小值為 3 .2。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列

7、問(wèn)題：(1) 代數(shù)式J(x 1)2 +1 +J(x 2)2 +9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P (x, 0)與點(diǎn)A (1, 1)、點(diǎn)B的距 離之和.(填寫(xiě)點(diǎn)B的坐標(biāo))(2、代數(shù)式vx2 4 x2 -12x 37的最小值為.【答案】解：(1) (2, 3)。(2) 10?！究键c(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對(duì)稱(最短路線問(wèn)題)?！痉治觥?1)v原式化為(x _1)212 (x -2)2 32的形式，代數(shù)式J(x -1)2 +1 +：(x -2)2 +9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P ( x, 0)與點(diǎn)A(1, 1、點(diǎn)B (2, 3)的距離之和。(2)v原式化為(x -0)2 7 (x -6)2 12的

8、形式，所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P (x, 0、與點(diǎn)A (0, 7)、點(diǎn)B (6, 1)B的距離之和。如圖所示：設(shè)點(diǎn) A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 A,則PA=PA,求PA+ PB的最小值，只需求 PA + PB的最小值，而點(diǎn) A 間的直線段距離最短。 PA + PB的最小值為線段 AB的長(zhǎng)度。/ A ( 0, 7) , B ( 6, 1), A( 0, 7), A C=6 BC=&- A B = - -A C2 BC2 二忒62 82 =10。精心整理例7. (2012四川涼山8分)在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的時(shí)候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題。如圖(1)，要在燃?xì)夤艿繧上修建一個(gè)泵站，分別向 A

9、、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使 所用的輸氣管線最短？你可以在I上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在I上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過(guò)獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確辦法他把管道I看成一條直線(圖(2),問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為，要在直線I上找一點(diǎn)P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的： 作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B. 連接AB交直線I于點(diǎn)P,則點(diǎn)P為所求.請(qǐng)你參考小華的做法解決下列問(wèn)題如圖在厶 ABC中，點(diǎn)D E分別是AB AC邊的中點(diǎn)，BC=6 BC邊上的高為4, 請(qǐng)你在BC邊上確定一點(diǎn)卩，使厶PDE得周長(zhǎng)最小.(1) 在圖中作出點(diǎn) P (保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

10、.(2) 請(qǐng)直接寫(xiě)出 PDE周長(zhǎng)的最小值：【答案】解：(1)作D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,連接DE,與BC交于點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求。(2) 8.【考點(diǎn)】 軸對(duì)稱(最短路線問(wèn)題)，三角形三邊關(guān)系，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥?1)根據(jù)提供材料 DE不變，只要求出 DP+PE勺最小值即可，作 D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,連接D E, 與BC交于點(diǎn)P, P點(diǎn)即為所求。(2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案：點(diǎn)D E分別是AB AC邊的中點(diǎn)， DE ABC中位線。/ BC=6 BC邊上的高為 4, DE=3 DD =4。 D E 二 DE2 DD 2 二 3242 =5。 PDE周長(zhǎng)

11、的最小值為：DE+D E=3+ 5=8。練習(xí)題：1. (2011黑龍江大慶3分)如圖，已知點(diǎn) A(1 , 1)、B(3, 2)，且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則 ABP的周長(zhǎng)的 最小值為.精心整理2. (2011遼寧營(yíng)口 3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1 , 2) , B(3 , 3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn) C(a, 1)，當(dāng)a=時(shí)寸，AC+ BC的值最小.3. (2011山東濟(jì)寧8分)去冬今春，濟(jì)寧市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問(wèn)題，要在某河道 建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村 A和李村B送水。經(jīng)實(shí)地勘查后，工程人員設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，以河道上的大橋O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以河道所在的直線為x軸建

12、立直角坐標(biāo)系(如圖)。兩村的坐標(biāo)分別為 A (2, 3) , B ( 12, 7)。(1) 若從節(jié)約經(jīng)費(fèi)考慮，水泵站建在距離大橋0多遠(yuǎn)的地方可使所用輸水管道最短？(2) 水泵站建在距離大橋 0多遠(yuǎn)的地方，可使它到張村、李村的距離相等？4. (2011遼寧本溪3分)如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是4,/ DAC的平分線交DC于點(diǎn)E,若點(diǎn)P、Q分別是AD和 AE上的動(dòng)點(diǎn)，貝U DQ+PQ勺最小值【】A、2B、4 C 、2.2 D 4.25. (2011遼寧阜新3分)如圖，在矩形 ABCD中, AB= 6, BC= 8,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的 任意一點(diǎn)，當(dāng) AEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，則 DF的長(zhǎng)為【】A. 1B. 2C. 3D. 46. (2011貴州六盤水3分)如圖，在菱形 ABCD中，對(duì)角線 AC=6