數(shù)學(xué)建模差分方程模型[稻谷書苑]

1、差分方程差分方程： 差分方程反映的是關(guān)于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建 立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系，從而建立差 分方程。 差分方程就是針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散 變量，根據(jù)實際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變 量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和 分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質(zhì)（平衡性、 穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散 變量的變化過程的規(guī)律，進(jìn)一步再結(jié)合其他分析，得到原問 題的解。 應(yīng)用：應(yīng)用：差分方程模型有著廣泛的應(yīng)用。實際上，連續(xù)變量 可以用離散變量來近似和逼近，從而微分方程模型就可以近 似于某個差分方

2、程模型。差分方程模型有著非常廣泛的實際 背景。在經(jīng)濟(jì)金融保險領(lǐng)域、生物種群的數(shù)量結(jié)構(gòu)規(guī)律分析、 疾病和病蟲害的控制與防治、遺傳規(guī)律的研究等許許多多的 方面都有著非常重要的作用?？梢赃@樣講，只要牽涉到關(guān)于 變量的規(guī)律、性質(zhì)，就可以適當(dāng)?shù)赜貌罘址匠棠Ｐ蛠肀憩F(xiàn)與 分析求解。 差分方程建模：差分方程建模： 在實際建立差分方程模型時，往往要將變化過程進(jìn)行劃分， 劃分成若干時段，根據(jù)要解決問題的目標(biāo)，對每個時段引入 相應(yīng)的變量或向量，然后通過適當(dāng)假設(shè)，根據(jù)事物系統(tǒng)的實 際變化規(guī)律和數(shù)量相互關(guān)系，建立每兩個相鄰時段或幾個相 鄰時段或者相隔某幾個時段的量之間的變化規(guī)律和運(yùn)算關(guān)系 （即用相應(yīng)設(shè)定的變量進(jìn)行四則運(yùn)

3、算或基本初等函數(shù)運(yùn)算或 取最運(yùn)算等）等式（可以多個并且應(yīng)當(dāng)充分全面反映所有可 能的關(guān)系），從而建立起差分方程?；蛘邔κ挛锵到y(tǒng)進(jìn)行劃 分，劃分成若干子系統(tǒng)，在每個子系統(tǒng)中引入恰當(dāng)?shù)淖兞炕?向量，然后分析建立起子過程間的這種量的關(guān)系等式，從而 建立起差分方程。 過程時段或子系統(tǒng)的劃分方式是非常非常重要的，應(yīng)當(dāng)結(jié)合 已有的信息和分析條件，從多種可選方式中挑選易于分析、 針對性強(qiáng)的劃分，同時，對劃分后的時段或子過程，引入哪 些變量或向量都是至關(guān)重要的，要仔細(xì)分析、選擇，盡量擴(kuò) 大對過程或系統(tǒng)的數(shù)量感知范圍，包括對已有的、已知的若 干量進(jìn)行結(jié)合運(yùn)算、取最運(yùn)算等處理方式，目的是建立起簡 潔、深刻、易于求解

4、分析的差分方程。 差分方程模型作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，對它的應(yīng)用也應(yīng)當(dāng) 遵從一般的數(shù)學(xué)建模的理論與方法原則。同時注意與其它數(shù) 學(xué)模型方法結(jié)合起來使用，因為一方面建立差分方程模型所 用的數(shù)量、等式關(guān)系的建立都需要其他的數(shù)學(xué)分析方式來進(jìn) 行；另一方面，由差分方程獲得的結(jié)果有可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu) 化分析、滿意度分析、分類分析、相關(guān)分析等等 1 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 2 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動 3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型 4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 差分方程模型差分方程模型 1 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 問問 題題

5、供大于求供大于求 現(xiàn)現(xiàn) 象象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定 價格下降價格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量 增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲價格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求 描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律 數(shù)量與價格在振蕩數(shù)量與價格在振蕩 蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型 g x0 y0P0 f x y 0 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格 消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)( kk xfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 減函數(shù)減函

6、數(shù) 增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù) 需求函數(shù)需求函數(shù) f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點 一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )( 1kk yhx )( 1 kk xgy x y 0 f g y0 x0 P0 設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點 P1 P2 P3 P4 P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點 gf KK x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy )

7、( 1kk yhx )( 1 kk xgy 00, yyxx kk gf KK 曲線斜率曲線斜率 蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型 0321 PPPP )( kk xfy )( 1kk yhx 在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx kk )( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx k k 1 P0穩(wěn)定穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定 0 xxk k x f K g K/1 )/ 1( )/ 1( 1 方方 程程 模模 型型 gf KK gf KK 方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 )( 00 xxyy kk

8、 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度 )( 001 yyxx kk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量 考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對需求的敏感程度消費(fèi)者對需求的敏感程度 生產(chǎn)者對價格的敏感程度生產(chǎn)者對價格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 xk第第k時段商品數(shù)量；時段商品數(shù)量；yk第第k時段商品價格時段商品價格 1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法 1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價

9、格不變以行政手段控制價格不變 2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗?供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直 2/ )( 0101 yyyxx kkk 模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時 段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。 )( 00 xxyy kk 生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高 設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為 需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變 , 2 , 1,)1 (22 012 kxxxx k

10、kk 二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程 x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件 )( 1kk yhx 2 1 1 kk k yy hx 4 8)( 2 2, 1 012 )1 (22xxxx kkk 方程通解方程通解 kk k ccx 2211 (c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 02 2 平衡點穩(wěn)定，即平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:1 2,1 2平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件 比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了1 2 2, 1 模型的推廣模型的推廣 2 減肥計劃減肥

11、計劃節(jié)食與運(yùn)動節(jié)食與運(yùn)動 背背 景景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動，在不傷害身體 的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo) 分分 析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖. 模型假設(shè)模型假設(shè)

12、1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量 每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克； 2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重 每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當(dāng)于相當(dāng)于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡； 3）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動）運(yùn)動引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動 形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5 千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于100

13、00千卡。千卡。 某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量， 體重維持不變。現(xiàn)欲減肥至體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。 第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減 少，直至達(dá)到下限（少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）； 第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計劃。）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動，試安排計劃。 1）在不運(yùn)動的情況下安排一個兩階段計劃。）在不運(yùn)動的情況下安排一個兩階段計劃。 減肥計劃

14、減肥計劃 3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。 )()1()()1(kwkckwkw 千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù) 即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡 基本模型基本模型 w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異) 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變 wcww025. 0 1008000 20000 w c 第一階段第一

15、階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡 1) 1()(kwkw k20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw 第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克 10k kwkw)0()( )1( 1 )0()1(kwkc 80001 025.0 9, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 1)( 1 )1(kwkc 10000 m C )1 ()1 (1 )()1 ()( 1 n m n Ckwnkw 第

16、二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000, 8000 1 ,025. 0 m C 5050)(975. 0)(kwnkw n mm n CC kw)()1 ( 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計劃 )() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型 m Ckwkw)()1 () 1( nnkwkw求，要求已知75)(,90)( 50)5090(975.075 n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkw n 第二階段第二階段19周周

17、, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnw n 19 975. 0lg )40/25lg( n )028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取 運(yùn)動運(yùn)動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時), 14周即可。周即可。 2）第二階段增加運(yùn)動的減肥計劃）第二階段增加運(yùn)動的減肥計劃 根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分)

18、 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 t每周運(yùn)動每周運(yùn)動 時間時間(小時小時)()( ) 1()() 1( kwt kckwkw 基本基本 模型模型 6 .44)6 .4490(972. 075 n 14n mm n CC kwnkw)()1()( 3）達(dá)到目標(biāo)體重）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案 )()() 1()() 1(kwtkckwkw 每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變 wtCww)( wt C )( )(1500075025. 08000千卡C 不運(yùn)動不運(yùn)動 )(1680075028. 08000千卡C 運(yùn)

19、動運(yùn)動(內(nèi)容同前內(nèi)容同前) )1()( N x rxtx ,2, 1),1 ( 1 k N y ryyy k kkk 3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型 連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型) t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與與r大小無關(guān)大小無關(guān)) 離散離散 形式形式 x(t) 某種群某種群 t 時刻的數(shù)量時刻的數(shù)量(人口人口) yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口) 若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N 討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？ y*=N 是平衡點是平衡點 kk y N

20、r r x ) 1( 1rb記 ) 1 ()1 ( 1 N y ryyy k kkk 離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性 kkk y Nr r yry ) 1( 1) 1( 1 )2()1 ( 1kkk xbxx 一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N 討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性 變量變量 代換代換 (2)的平衡點的平衡點 br r x 1 1 1 * (1)的平衡點的平衡點 x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根 穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷 )2()()( * 1 xxxfxfx kk (1)的近似線性方程的近似

21、線性方程 x*也是也是(2)的平衡點的平衡點 1)( * x f x*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點 1)( * x f x*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點 補(bǔ)充知識補(bǔ)充知識 一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()( 1kk xfx 的平衡點及穩(wěn)定性的平衡點及穩(wěn)定性 )21()( * xbxf 1)( * x f 0 y x xy )(xfy 4/b * x2/1 1 )1 ()(xbxxfx )1 ( 1kkk xbxx 的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性 平衡點平衡點 b x 1 1 * 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 31 b 2/ 1/ 11 * bx * x

22、xk（單調(diào)增） 0 x 1 x 1 x 2 x x* 穩(wěn)定穩(wěn)定 21)1( b ) 1)(3 * xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定 另一平衡另一平衡 點為點為 x=0 1 rb 1)0(bf 不穩(wěn)定不穩(wěn)定 b 2 3)3(b 01/21 y 4/b xy )(xfy 0 x 1 x * x 2 x x 32)2( b 2/ 1/ 11 * bx * xxk（振蕩地） y 0 x xy )(xfy 0 x 1 x 2 x * x2/11 4/b * xxk（不） )1 ( 1kkk xbxx 的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性 )1 ( 1kkk xbxx 初值初值 x0=0.2 數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算

23、結(jié)果 b x 1 1 * b 3.57, 不存在任何收斂子序列不存在任何收斂子序列 混沌現(xiàn)象混沌現(xiàn)象 4倍周期收斂倍周期收斂 )1 ( 1kkk xbxx 的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象的收斂、分岔及混沌現(xiàn)象 b 4 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 不同年齡組的繁殖率和死亡率不同不同年齡組的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律建立差分方程模型，討論穩(wěn)定狀況下種群的增長規(guī)律 假設(shè)與建模假設(shè)與建模 種群按年齡大小等分為種群按年齡大小等分為n個年齡組，記個年齡組，記i=1,2, , n 時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記時間離散為時段，長度與年齡組區(qū)間相等，記k

24、=1,2, 以雌性個體數(shù)量為對象以雌性個體數(shù)量為對象 第第i 年齡組年齡組1雌性個體在雌性個體在1時段內(nèi)的時段內(nèi)的繁殖率繁殖率為為bi 第第i 年齡組在年齡組在1時段內(nèi)的死亡率為時段內(nèi)的死亡率為di, 存活率存活率為為si=1- di 1, 2 , 1),() 1( 1 nikxskx iii 假設(shè)假設(shè) 與與 建模建模 xi(k)時段時段k第第i 年齡組的種群數(shù)量年齡組的種群數(shù)量 )() 1(kLxkx )0()(xLkx k T n kxkxkxkx)(),(),()( 21 按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量 預(yù)測任意時段種群預(yù)測任意時段種群 按年齡組的分布按年齡組的分布 00 0 000 1 2 1 121 n nn s s s bbbb L Leslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣) )() 1( 1 1 kxbkx i n i i (設(shè)至少設(shè)至少1個個bi0) 穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識穩(wěn)定狀態(tài)分析的數(shù)學(xué)知識 nk k , 3 , 2, 1 L矩陣存在矩陣存在正單特征根正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則