常微分方程的常見解法[講課適用]

1、一、一、 向量場(chǎng)向量場(chǎng) , dy fx y dx 1.3.1 設(shè)一階微分方程 滿足解的存在唯一性定理的條件。 平面的一個(gè)區(qū)域Dxy的右端函數(shù)在中有定義, 那么，過(guò)中任一點(diǎn) 00 ,xy 有且僅有 D 1.3.1的一個(gè)解 yx 00 xy，滿足 ,xf xx 從幾何方面看，解 yx 就是通過(guò)點(diǎn) 00 ,xy的一條 常微分方程的解法介紹 1優(yōu)選課堂 曲線（稱為積分曲線），且 ,f xx 就是該曲線上 的點(diǎn) , xx 處的切線斜率，特別在 00 ,xy切線斜率 解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域D中任意點(diǎn) , x y 的切線斜率是 。 ,f x y 就是 00 ,f xy盡管我們不一定能求出方程 1.3

2、.1的 如果我們?cè)趨^(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn) , x y處，都畫上一個(gè) 就得到一個(gè)方向場(chǎng)，將這個(gè)方向場(chǎng)稱為由微分方程 所確定的向量場(chǎng)向量場(chǎng)。 ,f x y的值為斜率中心在 , x y 以 點(diǎn)的線段，我們 2優(yōu)選課堂 它所確定的向量場(chǎng)中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過(guò)的 從幾何上看，方程 1.3.1的一個(gè)解 yx 就是位于 每一點(diǎn)都與向量場(chǎng)在這一點(diǎn)的方向相切。 行進(jìn)的曲線，因此，求方程 00 y xy滿足初始值 1.3.1 的這樣的一條曲線。的解，就是求通過(guò)點(diǎn) 00 ,xy yx形象的說(shuō)，解就是始終沿著向量場(chǎng)中的方向 向量場(chǎng)對(duì)于求解微分方程的近似解和研究微分方 程的幾何性質(zhì)極為重要，因?yàn)?，可根?jù)向量場(chǎng)的走 向來(lái)近似

3、求積分曲線，同時(shí)也可根據(jù)向量場(chǎng)本身的 性質(zhì)來(lái)研究解的性質(zhì)。 3優(yōu)選課堂 例例1.3.11.3.1 在區(qū)域 ,|2,2Dx yxy 內(nèi)畫出方程 dy y dx 的向量場(chǎng)和幾條積分曲線。 解解：用計(jì)算各點(diǎn)的斜率的方法手工在網(wǎng)格點(diǎn)上 畫出向量場(chǎng)的方向可以得到向量場(chǎng)，但手工繪 圖誤差較大。我們可以用Maple 軟件包來(lái)完成。 點(diǎn)的向量相重合。 L在每點(diǎn)均與向量場(chǎng)的向量相切。 在L上任一點(diǎn)，L的切線與 1.3.1所確定的向量場(chǎng)在該 定理定理1.31.3L為1.3.1 的積分曲線的充要條件是：曲線 4優(yōu)選課堂 Maple指令：指令： DEtoolsphaseportrait # 畫向量場(chǎng)及積分曲線 (di

4、ff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程 x=-2.2, # 指定x范圍 y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個(gè)初始值 dirgrid=17,17, # 定義網(wǎng)格密度 arrows=LINE, # 定義線段類型 axes=NORMAL); # 定義坐標(biāo)系類型 yy 在MATLAB的向量場(chǎng)命令為 quiver(x,y,px,py) 5優(yōu)選課堂 回車后Maple就在 11 44 條積分曲線，見下圖 的圖形，并給出了過(guò)點(diǎn) 的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了向量場(chǎng) (-2,2)(-2,1)(-2, 2)的三 6優(yōu)選課堂 所謂圖解法就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，直所謂圖解

5、法就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，直 接根據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和向量場(chǎng)作出積分曲線的大接根據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和向量場(chǎng)作出積分曲線的大 致圖形。致圖形。 圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主要圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主要 特征。特征。 該方法的思想?yún)s十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ笤摲椒ǖ乃枷雲(yún)s十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ?解的方程極少，用圖解法來(lái)分析積分曲線的性態(tài)對(duì)解的方程極少，用圖解法來(lái)分析積分曲線的性態(tài)對(duì) 了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重 要的指導(dǎo)意義。要的指導(dǎo)意義。 二、 積分曲線的圖解法 7優(yōu)選課堂 三、一階常微分

6、方程的解法 1 1線性方程線性方程 2 2 變量可分離方程變量可分離方程 3 3 全微分方程全微分方程 4 4 變量替換法變量替換法 5 5 一階隱式方程一階隱式方程 6 6 近似解法近似解法 7 7 一階微分方程的應(yīng)用一階微分方程的應(yīng)用 8優(yōu)選課堂 初值問(wèn)題初值問(wèn)題 的解為的解為 初值問(wèn)題 的解為 00 ( )0 () dy p x y dx y xy 0 0 exp( ) x x yyp x dx 00 ( )( ) () dy p x yg x dx y xy 000 0 exp( )( )exp( ) xxs xxx yypdg spd ds 9優(yōu)選課堂 Bernoulli方程 n y

7、以 , 1 n yz 求出此方程通解后, 令 解法: 伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: : )1,0()()( d d nyxQyxP x y n )()( d d 1 xQyxP x y y nn x y yn x z n d d )1 ( d d 則 )()1 ()()1 ( d d xQnzxPn x z 除方程兩邊 , 得 換回原變量即得伯努利方程的通解。 10優(yōu)選課堂 例例 湖泊的污染湖泊的污染 設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸， 這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率20 立方米每小時(shí). 開始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含鹽酸的水是1000

8、立方米每小時(shí), 湖泊 中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米每小 時(shí),求該廠排污1年時(shí), 湖泊水中鹽酸的含量。 解: 設(shè)t時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為 考慮 ,ttt 內(nèi)湖泊中鹽酸的變化。 ( )x t 11優(yōu)選課堂 t tx tttxttx 204000000 )( 100008. 320)()( 因此有 . 0)0(, 6 .61 2400000 100 x t x dt dx 該方程有積分因子 50 )02.04000() 2400000 100 exp()(tdt t t 兩邊同乘以)(t 后,整理得 5050 )02. 04000(6 .61)02. 04000(ttx dt d

9、12優(yōu)選課堂 積分得 Ctxt 5150 )02. 0400( 51 3080 )02. 04000( 利用初始條件得 51 )4000( 51 3080 C .) 02. 04000 4000 (400002. 04000 51 3080 )( 50 t ttx ).kg(223824)8760(x 13優(yōu)選課堂 當(dāng) , ( )0g y ( )g y 得 變量可分離方程的求解變量可分離方程的求解 方程（2.2.1）兩邊同除以 ( ) ( ) dy f x dx g y 這樣對(duì)上式兩邊積分得到 ( ) ( ) dy f x dxC g y 14優(yōu)選課堂 齊次函數(shù)齊次函數(shù): 函數(shù)),(yxf稱為

10、m次齊次函數(shù), 如果 . 0),(),(tyxfttytxf m 齊次方程齊次方程: 形如( ) dyy F dxx 的方程稱為齊次方程。 引入一個(gè)新變量化為變量可分離方程 求解思想求解思想: 求解。 齊次方程齊次方程 15優(yōu)選課堂 可化為齊次方程的方程 )( 111 cyba cbyax f dx dy 形如 的方程可化為齊次方程. 其中 111 ,cbacba都是常數(shù). 1. 當(dāng)0 1 cc時(shí), 此方程就是齊次方程. 2. 當(dāng)0 2 1 2 cc 時(shí), 并且 (1) 0 11 ba ba 16優(yōu)選課堂 此時(shí)二元方程組 0 0 11 cybxa cbyax 有惟一解.,yx 引入新變量.,y

11、x 此時(shí), 方程可化為齊次方程: ).( 11 ba ba f d d 17優(yōu)選課堂 (2) 若 0 11 ba ba 則存在實(shí)數(shù) , 使得: , 11 bbaa或者有., 11 bbaa 不妨是前者, 則方程可變?yōu)?).( 111 cybxa cbyax f dx dy 令,byaxz則 ).( 1 cz cz bfa dx dy ba dx dz 18優(yōu)選課堂 4. 對(duì)特殊方程)(cbyaxf dx dy 令,byaxz則 ).(czbfa dx dz 19優(yōu)選課堂 例例 求方程 的通解。 1 3 dyxy dxxy 解解：解方程組 10 30 xy xy 得 1 2 x y 令 1,2x

12、uyv 代入原方程可得到齊次方程 2 1 1 dvuv dxuv dzz u dxz 令 vuz得 20優(yōu)選課堂 2 1 arctanln(1)ln 2 zzuC 還原后得原方程通解為 22 2 arctanln(1)(2) 1 y xyC x 變量分離后積分 2 (1) 1 z dzdu zu 21優(yōu)選課堂 例例:雪球融化問(wèn)題 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比 例，且融化過(guò)程中它始終為球體，該雪球在 開始時(shí)的半徑為6cm ，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮 小為3cm。求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。 解:設(shè)t時(shí)刻雪球的體積為 ( )V t，表面積為 ( ) S t， ( ) ( ) dV t k

13、S t dt 球體與表面積的關(guān)系為 122 333 ( )(4 ) 3S tV 變量可分離方程的應(yīng)用 由題得 22優(yōu)選課堂 引入新常數(shù) 12 33 (4 ) 3rk 再利用題中的條件得 2 3 dV rV dx (0)288V(2)36V 分離變量積分得方程得通解為 3 1 ( )() 27 V tCrt 再利用條件 (0)288V(2)36V 確定出常數(shù)C和r代入關(guān)系式得 3 ( )(123 ) 6 V tt t的取值在 0,4之間。 23優(yōu)選課堂 中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 定理定理2.12.1 設(shè)函數(shù) ( , )M x y和 ( , )N x y 在一個(gè)矩形區(qū)域 是全微分方程的充要條

14、件為: ( , )( , )M x yN x y yx （2.3.3) 方程為全微分方程的充要條件方程為全微分方程的充要條件 0),(),(dyyxNdxyxM R 24優(yōu)選課堂 例：驗(yàn)證方程 2 ( cos2)(sin2)0 yy yxxedxxx edy 是全微分方程，并求它的通解。 由于 ( , )cos2 y M x yyxxe 2 ( , )sin2 y N x yxx e 3.3.全微分方程的積分全微分方程的積分 解： 當(dāng)一個(gè)方程是全微分方程時(shí),我們有三種解法. (1) 線積分法: dyyxNdxyxMyxF yx yx ),(),(),( ),( ),( 00 dssxNdsys

15、MyxF y y x x 00 ),(),(),( 0 或 25優(yōu)選課堂 2 sin2 y yxx ey 由公式(2.3.4)得: 00 ( cos2)2 xy y yssedsds 故通解為 2 sin2 y yxx eyC yx dssNdsysMyxF 00 ), 0(),(),( 其中C為任意常數(shù) ( , )( , )M x yN x y yx 所以方程為全微分方程。 ,2cos ),( y xex y yxM y xex x yxN 2cos ),( 26優(yōu)選課堂 (2)偏積分法 的通解.例：求方程0)sin2()(dyyxdxye x 由于 解：yeyxM x ),(yxyxNsi

16、n2),( x yxN y yxM ),( 1 ),( 假設(shè)所求全微分函數(shù)為 ),(yxF ,則有 ),( ),( yxMye x yxF x ),(sin2 ),( yxNyx y yxF 求 ),(yxF 27優(yōu)選課堂 )()(),(yyxedxyeyxF xx 而 yx y yxF sin2 ),( 即 yxyxsin2)( 從而 yysin2)( yycos2)( 即CyxyeyxF x cos2),( 28優(yōu)選課堂 例例：驗(yàn)證方程 22 (cos sin)(1)0 xxxydxyxdy 是全微分方程，并求它滿足初始條件： 的解。 (0)2y 解解： 2 MN xy yx 所以方程為全

17、微分方程。 由于 2 1 cos sin( sin) 2 xxdxdx 2222 1 () 2 xy dxyx dydx y 2 1 () 2 ydydy 由于 (3)湊微分法 29優(yōu)選課堂 方程的通解為： 2222 sin xx yyc 利用條件 (0)2y得 4c 最后得所求初值問(wèn)題得解為： 222 sin(1)4xyx 根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為 0)(sincos 22 ydydyyxdxxyxdxx 30優(yōu)選課堂 四、微分方程的四、微分方程的近似解法 用一些函數(shù)去近似微分方程的解用一些函數(shù)去近似微分方程的解 在一些點(diǎn)上計(jì)算方程解的近似值在一些點(diǎn)上計(jì)算方程解的近似值 逐次迭代

18、法逐次迭代法 TaylorTaylor級(jí)數(shù)法級(jí)數(shù)法 EulerEuler折線法折線法 Runge-KuttaRunge-Kutta法法 31優(yōu)選課堂 能得到解析解的方程能得到解析解的方程： 線性方程、變量可分離的方程、 全微分 方程以及能通過(guò)各種方法化為這些類型 的方程. 絕大部分方程無(wú)法求得解析解，一些近似 解法也對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決有很大幫助，我 們需要討論在得不到解析解時(shí)尋求近似解 的方法。 32優(yōu)選課堂 對(duì)初始值問(wèn)題 構(gòu)造迭代序列 該序列一致收斂到解，故迭代一定次 數(shù)后就可以作為一個(gè)近似 1 1、 逐次迭代法 0 10 ( ,( ) x x f ss ds 0 （x）=y 33優(yōu)選課堂 x

19、 1 0 ( )11,y xx 0 y (s)ds 2 x 2 0 ( )11, 2! x yxx 1 y(s)ds 0( ) 1,yx x 0 ( )11 ! n n x yxx n n-1 y (s)ds 解：解：該初值問(wèn)題近似解的迭代序列 如下 例例 求初值問(wèn)題的近似解(0) 1y, dy y dx )(xyn 34優(yōu)選課堂 11 1 0 1 1 | | ( )( )| ! | (1)!2 |2 (1)!2 | | 1 (1)!2 kk n k nk n k n k n n xx y xyx kk xx nn xn nnx xn n 迭代的誤差 (|x|1+(y-x)2; f2:=(x,

20、y)-2*(x-y)+2*(y-x)*(1+(y-x)2); for n from 0 to 9 do xn+1:=h*(n+1); yn+1:=yn+h*f1(xn,yn); zn+1:=zn+h*f1(xn,zn)+h2*f2(xn,zn)/2; un+1:=xn+1+1/(2-xn+1); print (xn+1,yn+1,zn+1,un+1); od: 可以改變步長(zhǎng)和增加分點(diǎn)來(lái)觀察計(jì)算精度的變化情況 54優(yōu)選課堂 := f1(), x y1()yx 2 := f2(), x y2 x2 y2 ()yx ()1()yx 2 ,.1 .625 .6262500000 .6263157895

21、 ,.2 .7525625 .7554012980 .7555555556 ,.3 .8830950316 .8879616079 .8882352941 ,.4 1.017095013 1.024564070 1.025000000 ,.5 1.155175638 1.166008399 1.166666667 ,.6 1.298101150 1.313319313 1.314285714 ,.7 1.446835672 1.467831300 1.469230769 ,.8 1.602612024 1.631314654 1.633333333 ,.9 1.767030630 1.8061

22、68142 1.809090909 ,1.0 1.942204841 1.995723127 2.00000000055優(yōu)選課堂 0 )( ),( yay bxayxfy 對(duì)于常微分方程的邊值問(wèn)題 的解( ) ,yy x 111 ( )()()(), nnnnn y xy xyxx ),( 11nnn xx )()()( 111 nnn yhxyhxy 即 - (1) Runge-Kutta(Runge-Kutta(龍格龍格 - - 庫(kù)塔庫(kù)塔) )法法 Runge-KuttaRunge-Kutta方法的導(dǎo)出方法的導(dǎo)出 有 上使用微分中值定理,在區(qū)間 1 , nn xx 56優(yōu)選課堂 ( )yy

23、 x hKxyhxy nn )()( 11 -(2)引入記號(hào) )( 1 n yK)(, 11 nn yf 1 , nn xx 的近似值K。就可得到相應(yīng)的 1n x n xx y )(xyy hKyy nn 1-(3) Runge-Kutta方法即(3)式 K 只要使用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鰕(x) 上平均斜率在區(qū)間 K可以認(rèn)為是在區(qū)間上的平均斜率。 1 , nn xx 57優(yōu)選課堂 低階Runge-Kutta方法 1n x n xx y )(xyy 如下圖 11 ( )( ), nnn y xxy xxxK 如果以在處的斜率作為在上的平均斜率 即)( 1 n xyK)(, 11 nn xyxf 則(4

24、)式化為 ),( 111 nnnn yxhfyy ),( 11 nn yxf 即Euler方法 Euler方法也稱為一階一階Runge-KuttaRunge-Kutta方法方法 )()( 2 hOhen由于 -(4) K K 58優(yōu)選課堂 1n x n xx y )(xyy 112 1 ( ) ( ), nn nn y xxxKK y xxx 如果以在和 處的斜率和的算術(shù)平均值作為 在上的平均斜率 )( 11 n xyK),( 11 nn yxf )( 2n xyK)(, nn xyxf ),( nn yxf ),( 11 hKyxf nn (由(4)式) 令 2 21 KK K 則(3)式化

25、為 K 1 K 2 K 59優(yōu)選課堂 )( 2 211 KK h yy nn ),( 111 nn yxfK ),( 112 hKyxfK nn )( 00 xyy -(5) 稱為二階二階Runge-Kutta法法 )()( 3 hOhen 60優(yōu)選課堂 高階Runge-Kutta方法 2 , 1 2 1 2 1 1 1 h xxxxx n nn nn 上增加一點(diǎn)如果 上的平均斜率在作為 的加權(quán)平均值和、處的斜率和、在且以 ,)( )( 1 321 2 11 nn n n n xxxy KKKxxxxy )( 11 n xyK),( 11 nn yxf )( 2 12 n xyK)(, 2 1

26、 2 1 nn xyxf 1n x n x 2 1 h xn x y )(xyy )( 3n xyK)(, nn xyxf 未知 K 1 K 2 K 3 K 61優(yōu)選課堂 )( 2 1 n xy ) 2 , 2 ( 111 K h y h xf nn 令 11 2 K h yn )( 2 12 n xyK )2( 121 KKhyn )( n xy )2(,( 1211 KKhyhxf nn )( 3n xyK 1112 () 2 nnn h xxKKy x 同樣以、處的斜率、預(yù)測(cè) 令 )( 2 111 n n xyKx預(yù)測(cè)處的斜率如果以 62優(yōu)選課堂 ),( 111 nn yxfK ) 2

27、, 2 ( 1112 K h y h xfK nn )2(,( 12113 KKhyhxfK nn )( 00 xyy 取 321 6 1 6 4 6 1 KKKK則 )4( 6 3211 KKK h yy nn -(6) (6)式稱為三階三階Runge-Kutta方法 63優(yōu)選課堂 )22( 6 43211 KKKK h yy nn ),( 111 nn yxfK ) 2 , 2 ( 1112 K h y h xfK nn ),( 3114 hKyhxfK nn )( 00 xyy 還可構(gòu)造四階四階( (經(jīng)典經(jīng)典)Runge-Kutta)Runge-Kutta方法 ) 2 , 2 ( 211

28、3 K h y h xfK nn 四階(經(jīng)典)Runge=Kutta方法有4階精度 64優(yōu)選課堂 例例 求初始值問(wèn)題的數(shù)值解 利用四階Runge=Kutta方法計(jì)算機(jī)編程 給出步長(zhǎng)和初始值 循環(huán)計(jì)算各點(diǎn)上函數(shù)的近似值 顯示結(jié)果 2 1 () ,(0)0.5 1 2 yyxy yx x 精確解 65優(yōu)選課堂 printlev1:=0: h:=0.1: x0:=0: y0:=0.5: f:=(x,y)-1+(y-x)2; for n from 1 to 10 do xn:=h*n; k1:=f(xn-1,yn-1); k2:=f(xn-1+h/2,yn-1+k1*h/2); k3:=f(xn-1+

29、h/2,yn-1+k2*h/2); k4:=f(xn-1+h,yn-1+k3*h); yn:=yn-1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; un:=xn+1/(2-xn); print (xn,yn, un); od: 66優(yōu)選課堂 運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果 := f(), x y1()yx 2 ,.1 .6263157815 .6263157895 ,.2 .7555555358 .7555555556 ,.3 .8882352567 .8882352941 ,.4 1.024999936 1.025000000 ,.5 1.166666562 1.166666667 ,.6 1.3142

30、85546 1.314285714 ,.7 1.469230500 1.469230769 ,.8 1.633332900 1.633333333 ,.9 1.809090199 1.809090909 ,1.0 1.999998803 2.000000000 67優(yōu)選課堂 適應(yīng)范圍適應(yīng)范圍 與變化率有關(guān)的各種實(shí)際問(wèn)題 應(yīng)用三步曲應(yīng)用三步曲 (1) 建模 即根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立起適當(dāng)?shù)奈⒎?方程， 給出其定解條件. (2) 求解 求出所建立的微分方程的解 (3) 翻譯 用所得結(jié)果來(lái)解釋一些現(xiàn)象，或?qū)?問(wèn)題的 解決提出建議或方法 68優(yōu)選課堂 建議: 模型要詳略得當(dāng) 在用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中

31、一定 要意識(shí)到實(shí)際問(wèn)題是十分復(fù)雜的，微分方 程只能是在一定程度上對(duì)問(wèn)題的一種近似 描述，只要結(jié)果的誤差在一定范圍內(nèi)即可. 任何模型都不可能把影響問(wèn)題的所有因素 都反映在微分方程中，或者要求所得結(jié)果 十分精確.一個(gè)好的微分方程模型是在實(shí)際問(wèn) 題的精確性和數(shù)學(xué)處理的可能性之間的一 個(gè)平衡. 69優(yōu)選課堂 有一段時(shí)間,美國(guó)原子能委員會(huì)(現(xiàn)為核管理委員會(huì))是 這樣處理濃縮放射性廢物的,他們把這些廢物裝入密封性能 很好的圓桶中,然后扔到水深300英尺的海里。 這種做法是否會(huì)造成放射性污染,很自然地引起了生態(tài) 學(xué)家及社會(huì)各界的關(guān)注。原子能委員會(huì)一再保證,圓桶非常 堅(jiān)固,決不會(huì)破漏,這種做法是絕對(duì)安全的。然

32、而一些工程 師們卻對(duì)此表示懷疑,他們認(rèn)為圓桶在和海底相撞時(shí)有可能 發(fā)生破裂。而原子能委員會(huì)有專家們則仍然堅(jiān)持自己的看 法。于是,雙方展開了一場(chǎng)筆墨官司。 究竟誰(shuí)的意見正確呢?看來(lái)只能讓事實(shí)說(shuō)話了。問(wèn)題的 關(guān)鍵在于圓桶到底能承受多大速度的碰撞,圓桶和海底碰撞 時(shí)的速度有多大? 放射性廢物的處理 70優(yōu)選課堂 大量破壞性實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)圓桶在40英尺秒的沖撞下 會(huì)發(fā)生破裂,剩下的問(wèn)題就是計(jì)算圓桶沉入300英尺深 的海底時(shí),其末速度究竟有多大了。 美國(guó)原子能委員會(huì)使用的是55加侖的圓桶,裝滿放 射性廢物時(shí)的圓桶重量為W527.436磅,而在海水中 受到的浮力B470.327磅。此外,下沉?xí)r圓桶還要受 到海

33、水的阻力,阻力Dv,其中C為常數(shù)。工程師們 做了大量實(shí)驗(yàn),測(cè)得C0.08。現(xiàn)在,取一個(gè)垂直向下 的坐標(biāo),并以海平面為坐標(biāo)原點(diǎn)(0)。于是,根據(jù) 牛頓第二定律建立圓桶下沉?xí)r應(yīng)滿足方程 質(zhì)量質(zhì)量加速度加速度= =重力重力- -浮力浮力- -摩擦阻力摩擦阻力 71優(yōu)選課堂 模型及其解 t c Bmg e c mBgm y t c Bmg eccy yy dt dy cBmg dt yd m mct mct )1 ( 0)0( , 0)0( , / 2 2 / 21 2 2 o y mg B D 72優(yōu)選課堂 困難：無(wú)法知道下沉到海底的時(shí)間 dydv cvBmg cBmg c m dy cvBmg m

34、vdv vcvBmg dy dv mv dy dv v dt dy dy dv dt dv dt yd v dt dy / )( , , 0)0(, , 2 2 73優(yōu)選課堂 積分和代入初始條件得： y Bmg cvBmg c Bmg v c m Bmg c Bmg ycvBmg c Bmg v c m CycvBmg c Bmg v c m ln )ln()ln( )ln( 2 22 3 2 最后再用數(shù)值計(jì)算可以得到水深300時(shí)的速度 大小。 74優(yōu)選課堂 借助數(shù)值方法求出v(300)的近似值。計(jì)算結(jié)果 表明, v(300)45.1英尺秒40英尺秒。 工程師們的猜測(cè)是正確的,他們打贏了這場(chǎng)官

35、 司?，F(xiàn)在,美國(guó)原子能委員會(huì)已改變了他們處理放 射性廢物的方法,并明確規(guī)定禁止將放射性廢物拋 入海中。 75優(yōu)選課堂 一橫截面積為常數(shù)A,高為H的水池內(nèi)盛 滿了水,由池底一橫截面積為B的小孔放 水. 求在任意時(shí)刻的水面高度和將水放 空所需的時(shí)間 . 76優(yōu)選課堂 ： 有高為1米的半球形容器, 水從它的底部 小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過(guò)程中 容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離) 隨時(shí)間t的變化規(guī)律. 例例 解：解： 由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口 流出的流量為 ,262. 0ghS dt dV Q 流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度 值得進(jìn)

36、一步探討的問(wèn)題: 不同的形狀 77優(yōu)選課堂 cm100 h o r h dhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔,ttt 水面的高度由h 降至 ,hh , 2dh rdV 則則 ,200)100(100 222 hhhr )2(,)200( 2 dhhhdV 比較(1)和(2)得:dhhh)200( 2 ,262. 0dtgh 1 S,cm 2 78優(yōu)選課堂 dhhh)200( 2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程. 可分離變量 ,)200( 262. 0 3 dhhh g dt ,) 5 2 3 400 ( 262. 0 53 Chh g t ,100| 0

37、 t h,10 15 14 262. 0 5 g C ).310107( 265. 4 5335 hh g t 所求規(guī)律為 79優(yōu)選課堂 值得進(jìn)一步探討的問(wèn)題: 漏斗型的容器 由于水的張力的原因， 每次水都無(wú)法全部留盡，總會(huì) 剩一小部分在容器中。如何才 能讓水盡可能少的留在容器 中？我們知道，水與容器接觸 的面積越大，留在容器中的水 就越多先討論一下漏斗的模 型。 y 80優(yōu)選課堂 容器的位置容器的位置 可否將容器傾斜，使 上部的面積大于下部的 面積，使水流的速度更 快？ 傾斜角度？ 81優(yōu)選課堂 容器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)容器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 容器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)流水的速度是肯定會(huì) 造成影響的，考慮極限的狀態(tài)，如

38、果容器以大于 等于當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊募铀俣蓉Q直向下運(yùn)動(dòng)，那 么，容器里的水就不會(huì)流出。容器以不同的方式 運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)水的流出時(shí)間有多少影響？有沒有一種 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能加快水流的速度呢？ 82優(yōu)選課堂 渦流的影響渦流的影響 渦流對(duì)水流的速度是有一定影響的。拿一 個(gè)水桶反復(fù)做這樣的試驗(yàn)：首先將桶裝滿水，記 錄水面的高度，然后拔出塞住孔口的塞子，讓水 自然從桶破了的孔中流出，測(cè)量流出的時(shí)間，然 后反復(fù)從同一高度作相同的試驗(yàn)，最后求出水自 然流盡所需時(shí)間的平均值；然后從同一高度作相 同的試驗(yàn)，不同的是用一根棍子繞同一方向在水 中攪動(dòng)，使其產(chǎn)生渦流，然后重復(fù)上面的步驟。 最后發(fā)現(xiàn)通過(guò)兩種方法測(cè)得的水流盡所需時(shí)間的

39、 平均值有較大的差距，于是猜想有無(wú)渦流或許對(duì) 水流的速度也是有一定影響的。 83優(yōu)選課堂 五、五、 高階常系數(shù)齊次線性方程高階常系數(shù)齊次線性方程 1 11 1 0 nn nn nn d xdxdx aaa x dtdtdt （3.3.53.3.5） (其中 為常數(shù))為n階常系數(shù)齊次線性方程. 12 , n a aa 84優(yōu)選課堂 的根。方程（3.3.7）稱為方程（3.3.5）的特征 方程，它的根稱為方程（3.3.5）的特征根. 0)( 1 2 2 1 1 nn nnn aaaaF（3.3.7） 1.1.特征根為單根特征根為單根 設(shè) 是（3.3.7）的n個(gè)不相同根， 12 , n 則對(duì)應(yīng)方程（3

40、.3.5）有n個(gè)解 12 , nt tt eee （3.3.8） 85優(yōu)選課堂 求方程（3.3.5）的通解的一般步驟： 第一步 求方程的特征方程及特征根 1, , n 第二步 計(jì)算方程相應(yīng)的解 a) 對(duì)每一個(gè)單實(shí)根 k kt e 有解 b) 對(duì)每一個(gè)m1重實(shí)根 k 方程有m個(gè)解 1 , kkk tttm etete 86優(yōu)選課堂 c) 對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù)為1的共軛復(fù)根 cos,sin tt et et i 方程有兩個(gè)如下形式的解： 方程有2m個(gè)如下形式的解： d)對(duì)每一個(gè)重?cái)?shù) m1的共軛復(fù)根 i ,cos,cos,cos,cos 12 1 tettetttete tkttt .sin,sin,sin,sin 12 1 tettetttete tkttt 第三步 根據(jù)第二步寫出基本解組和通解 87優(yōu)選課堂 解解：特征方程 32 340 故特征根為 1 1 2,3 2 例例：求 32 32 340 d xd x x dtdt 的通解. 其中 1 1 2,3 2是單根，是二重根， 因此有解 ., 22ttt teee 方程通解為： .)( 2 3 2 21 ttt tececectx 其中 123 ,c c c 為任意常數(shù). 88優(yōu)選課堂 上述兩實(shí)根和兩復(fù)根均是單根，方程通解為： .sincos)( 4321 tctcecectx tt 例例：求的通解.0 4 4 x dt xd