高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全套知識點(diǎn)

1、集合一 定義集合是高中數(shù)學(xué)中最原始的不定義的概念，只給出描述性的說明。某些確定的且不同的對象集在一起就成為集合。組成集合的對象叫做元素。二 集合的抽象表示形式用大寫字母a，b，c表示集合；用小寫字母a，b，c表示元素。三 元素與集合的關(guān)系有屬于，不屬于關(guān)系兩種。元素a屬于集合a，記作；元素a不屬于集合a，記作。四 幾種集合的命名有限集：含有有限個元素的集合；無限集：含有無限個元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然數(shù)集：n；正整數(shù)集：n*或n+；整數(shù)集：z；有理數(shù)集：q；實(shí)數(shù)集：r。五 集合的表示方法(一) 列舉法：把元素一一列舉在大括號內(nèi)的表示方法，例如：a,b,c。注

2、意：凡是以列舉法形式出現(xiàn)的集合，往往考察元素的互異性。(二) 描述法：有以下兩種描述方式1代號描述：【例】方程的所有解組成的集合，可表示為x|x2-3x+2=0。x是集合中元素的代號，豎線也可以寫成冒號或者分號，豎線后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。2文字描述：將說明元素性質(zhì)的一句話寫在大括號內(nèi)。【例】大于2小于5的整數(shù)；描述法表示的集合一旦出現(xiàn)，首先需要分析元素的意義，也就說要判斷元素到底是什么。(三) 韋恩圖法：用圖形表示集合定義了兩個集合之間的所有關(guān)系。1子集：如果屬于a的所有元素都屬于b，那么a就叫做b的子集，記作：，如圖1-1所示。 圖1-1子集有兩種極限情況：(1)當(dāng)a

3、成為空集時，a仍為b的子集； (2)當(dāng)a和b相等時，a仍為b的子集。真子集：如果所有屬于a的元素都屬于b，而且中至少有一個元素不屬于a，那么a叫做b的真子集，記作或。真子集也是子集，和子集的區(qū)別之處在于。對于同一個集合，其真子集的個數(shù)比子集少一個。(1)求子集或真子集的個數(shù)，由n各元素組成的集合，有2n個子集，有2n -1個真子集；(2)空集的考查：凡是提到一個集合是另一個集合的子集，作為子集的集合首先可以是空集，的等價形式主要有：。2交集：由兩個集合的公共元素組成的集合，叫做這兩個集合的交集，記作，讀作a交b，如圖1-2所示。 圖1-2 圖1-3 圖1-43并集：由兩個集合所有元素組成的集合

4、，叫做這兩個集合的并集，記作，讀作a并b，如圖1-3所示。4補(bǔ)集：由所有不屬于的元素組成的集合，叫做在全集中的補(bǔ)集，記作，讀作a補(bǔ)，如圖1-4所示。德摩根公式 ：.(四) 區(qū)間表示法：數(shù)軸上的一段數(shù)組成的集合可以用區(qū)間表示，區(qū)間分為開區(qū)間和閉區(qū)間，開區(qū)間用小括號表示，是大于或小于的意思；閉區(qū)間用中括號表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，2,3，(2,3，2，3第二章 函數(shù)一 映射與函數(shù)的基本概念(一) 映 射a集合中的每個元素按照某種對應(yīng)法則在b集合中都能找到唯一的元素和它對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系叫做從a集合到b集合的映射。a中的元素叫做原象，b中的相應(yīng)元素叫做象。在a到b的映射中，

5、從a中元素到b中元素的對應(yīng)，可以多對一，不可以一對多。 圖2-1是映射 圖2-2是一一映射 圖2-3不是映射()求映射(或一一映射)的個數(shù)，m個元素的集合到n個元素的集合的映射的個數(shù)是nm。()判斷是映射或不是映射：可以多對一，不可以一對多。(二) 函數(shù)的概念定義域到值域的映射叫做函數(shù)。如圖2-4。高中階段，函數(shù)用f(x)來表示：即x按照對應(yīng)法則f對應(yīng)的函數(shù)值為f(x)函數(shù)有解析式和圖像兩種具體的表示形式。偶爾也用表格表示函數(shù)。函數(shù)三要素：定義域a：x取值范圍組成的集合。值域b：y取值范圍組成的集合。對應(yīng)法則f：y與x的對應(yīng)關(guān)系。有解析式和圖像和映射三種表示形式 函數(shù)與普通映射的區(qū)別在于：(1

6、)兩個集合必須是數(shù)集； (2)不能有剩余的象，即每個函數(shù)值y都能找到相應(yīng)的自變量x與其對應(yīng)。 圖2-4 二 定義域題型 (一) 具體函數(shù)：即有明確解析式的函數(shù)，定義域的考查有兩種形式直接考查：主要考解不等式。利用：在中；在中，；在中，；在中，；在中， ；在 與中且，列不等式求解。(二)抽象函數(shù)：只要對應(yīng)法則相同，括號里整體的取值范圍就完全相同。三 值域題型(一) 常規(guī)函數(shù)求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段。常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù)。(二) 非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域。解題步驟：(1)換元變形；(2)求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值

7、范圍；(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數(shù)求值域 ：四種題型(1) ：則且。(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍。(3)： ，則且。(4)求的值域，當(dāng)時，用判別式法求值域。， 值域(四) 不可變形的雜函數(shù)求值域： 利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段。判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解。(五) 原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域。(六) 已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知

8、值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?。?函數(shù)運(yùn)算法則（一） 指數(shù)運(yùn)算法則 運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算法則，一般從右往左變形。（二） 對數(shù)運(yùn)算法則同底公式： 運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則，同底的情況，一般從右往左變形。不同底公式： 運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則，不同底的情況，先變成同底。五 函數(shù)解析式(一) 換元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求f(3-7x)，(設(shè)2x + 3=3-7t)。(二) 構(gòu)造法：如，求f(x)。(三) 待定系數(shù)法：通過圖像求出y=asin(x +) + c中系數(shù)(四) 遞推：需利用奇偶性、對稱性、周期性的定義式或運(yùn)算式遞推。(五) 求原函數(shù)的反函數(shù)：先反表示，再x、y互換。六 常規(guī)函數(shù)的圖像常規(guī)函

9、數(shù)圖像主要有： 指數(shù)函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)， 對數(shù)函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，底數(shù)越來越大 底數(shù)越來越小冪函數(shù)：逆時針旋轉(zhuǎn)，指數(shù)越來越大。其他象限圖象看函數(shù)奇偶性確定。七 函數(shù)的單調(diào)性(一) 定義：在給定區(qū)間范圍內(nèi)，如果x越大y越大，那么原函數(shù)為增函數(shù)；如果x越大y越小，那么原函數(shù)為減函數(shù)。(二) 單調(diào)性題型：1.求單調(diào)性區(qū)間：先找到最基本函數(shù)單元的單調(diào)區(qū)間，用復(fù)合函數(shù)法判斷函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，從而確定單調(diào)區(qū)間。復(fù)合函數(shù)法： ：當(dāng)0 x 1時，x，x2，- x2，2.判斷單調(diào)性 (1).求導(dǎo)函數(shù)：為增函數(shù)，為減函數(shù)(2).利用定義：設(shè)x1x 0時，有.或.無理不等式：(1) .(2).(3)(三)指數(shù)不等

10、式 對數(shù)不等式不等號兩邊同時取指數(shù)或同時取對數(shù)，變成相同的形式后，再換元成有理不等式求解。(1)當(dāng)時,; .(2)當(dāng)時,;三 線性規(guī)劃線性規(guī)劃，出題現(xiàn)象如下： 設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ )a.4 b.11 c.12 d.14解題步驟：（1）把不等式組中的一次式看成直線，在平面直角坐標(biāo)系中畫直線，標(biāo)明直線序號（2）依據(jù)以下結(jié)論確定平面區(qū)域：是點(diǎn)在直線上方（包括直線） 是點(diǎn)在直線下方（包括直線）；是點(diǎn)在直線上方（不包括直線）是點(diǎn)在直線下方（不包括直線）（3）確定目標(biāo)函數(shù)函數(shù)值的幾何意義 （4）若目標(biāo)函數(shù)值z表示截距，在已知區(qū)域內(nèi)平移目標(biāo)函數(shù)直線，找出使截距取最大值和最小值的端點(diǎn)，求

11、出端點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得出z的最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示距離或者距離的平方，精確作圖，在圖像中直接觀察距離的最大值與最小值相當(dāng)于是點(diǎn)與點(diǎn)的距離還是點(diǎn)與直線的距離，用距離公式直接求最值。若目標(biāo)函數(shù)z表示斜率，精確畫圖，利用求斜率取值范圍結(jié)論，求最值。導(dǎo)數(shù)一 導(dǎo)數(shù)的概念（一）導(dǎo)數(shù)的定義1.導(dǎo)數(shù)的原始定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，如果時，與的比(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即2導(dǎo)函數(shù)的定義：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù), 稱這個函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。 （

12、二）導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點(diǎn)()處的切線的斜率因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)()處的切線方程為2.導(dǎo)數(shù)的物理意義：導(dǎo)數(shù)是物體變速直線運(yùn)動的瞬時速度，也叫做瞬時變化率。（三）概念部分題型：1.利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 主要有三個步驟：(1)求函數(shù)的改變量(2)求平均變化率(3)取極限，得導(dǎo)數(shù) 2.利用導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義解題主要有兩種：求切線方程和瞬時速度，考試重點(diǎn)為求切線方程。二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（一）常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 2 3 4 5 6 7 8（二）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 1和差：2積： 3商： （三）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則為：2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)的方法和步驟：求復(fù)合函數(shù)

13、的導(dǎo)數(shù)一定要抓住“中間變量”這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，然后應(yīng)用法則，由外向里一層層求導(dǎo)，注意不要漏層。 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法步驟：(1)分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，選好中間變量(2)運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，注意分清每次是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)數(shù)(3)根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量換成自變量的函數(shù) 三 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求解單調(diào)區(qū)間。1.導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系： (1)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，(x)0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(2)若(x)0在(a，b)上恒成立，則f(x)在(a，

14、b)上是減函數(shù)，(x)0，則f(x)在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；(x)0時,和s總是趨向于一個定值,則該定值便稱為函數(shù)在上的定積分,記為，即 其中, 稱為函數(shù)在區(qū)間的積分和.2、定積分的幾何意義定積分在幾何上,當(dāng)時,表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)時，表示由曲線、直線、直線與軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般情況下，表示介于曲線、兩條直線、與軸之間的個部分面積的代數(shù)和（二）微積分基本定理1、基本定理若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)，即，則在上可積，且 這稱為牛頓一萊布尼茨公式，它也常寫成 二、常用的不定積分公式： 1. 2. ()3. 4. (，)5. 6. 7.

15、 8. 9. 10.12.13.14.本節(jié)主要考察利用積分的公式熟練的計(jì)算。復(fù)數(shù)一 復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位：(1)它的平方等于-1，即；(2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立2. 與1的關(guān)系: 就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14. 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母c表示*5. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成a+bi的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式6.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)

16、及0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi(a、br)是實(shí)數(shù)a；當(dāng)b0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實(shí)數(shù)07. 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：nzqrc二 復(fù)數(shù)與復(fù)平面1. 兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等即：如果a，b，c，dr，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小也只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時才能比較大小2.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、br)可用

17、點(diǎn)z(a，b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 對于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù)故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)這是因?yàn)椋恳粋€復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)

18、i2. 復(fù)數(shù)z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z14. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)5乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dr)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其實(shí)就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把i2換成1，并且把實(shí)部與虛部分別合并兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)6. 乘法運(yùn)算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ；(2)z1(z2+z3)=z1z2

19、+z1z3；(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37. 除法運(yùn)算規(guī)則：8.共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi和=abi(a、br)互為共軛復(fù)數(shù)四 復(fù)數(shù)的幾何意義1. 復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)z1，z2分別對應(yīng)于向量、，那么，以op1、op2為兩邊作平行四邊形op1sp2，對角線os表示的向量就是z1+z2的和所對應(yīng)的向量 2. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)3復(fù)數(shù)的模：第六章 概率一 事件（一）、在一定條件下，事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種

20、結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做確定性現(xiàn)象（二）、在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象叫做隨機(jī)現(xiàn)象（三）、必然會發(fā)生的事件叫做必然事件；肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件二 概率在相同條件下，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，而將頻率作為其近似值。1.概率： 一般地，如果隨機(jī)事件在次試驗(yàn)中發(fā)生了次，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很大時，我們可以將發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生的概率的近似值，即2概率的性質(zhì)： 隨機(jī)事件的概率為，必然事件和不可能事件看

21、作隨機(jī)事件的兩個特例，分別用和表示，必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即，;3.（1）頻率的穩(wěn)定性 即大量重復(fù)試驗(yàn)時，任何結(jié)果（事件）出現(xiàn)的頻率盡管是隨機(jī)的，卻“穩(wěn)定”在某一個常數(shù)附近，試驗(yàn)的次數(shù)越多，頻率與這個常數(shù)的偏差大的可能性越小，這一常數(shù)就成為該事件的概率;（2）“頻率”和“概率”這兩個概念的區(qū)別是：頻率具有隨機(jī)性，它反映的是某一隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，它反映的是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性；概率是一個客觀常數(shù)，它反映了隨機(jī)事件的屬性.1.隨機(jī)事件的概率：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)用概率表示一個事件在一次試驗(yàn)或觀測中發(fā)生的可能性的大小，它是在之間的一個數(shù)，將這個事件記為，用表示事件發(fā)生的概率.三 古典概

22、型1、基本事件： 一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件2、等可能基本事件：若在一次試驗(yàn)中，每個基本事件發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件。3、如果一個隨機(jī)試驗(yàn)滿足：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件的發(fā)生都是等可能的； 那么，我們稱這個隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型4、古典概型的概率：如果一次試驗(yàn)的等可能事件有個，那么，每個等可能基本事件發(fā)生的概率都是；如果某個事件包含了其中個等可能基本事件，那么事件發(fā)生的概率為5、古典概型解題步驟：閱讀題目，搜集信息；判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；用

23、公式求出概率并下結(jié)論.四 幾何概型幾何概型的概念：對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣；而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點(diǎn)這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型幾何概型的基本特點(diǎn)：（）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；（）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率說明：（）的測度不為；（）其中測度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相

24、應(yīng)的測度分別是長度，面積和體積（）區(qū)域?yàn)殚_區(qū)域；（）區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān)第十八章 計(jì)數(shù)原理(理科)一 分類、分步原理（一）分類原理：.分類原理題型比較雜亂，須累積現(xiàn)象。幾種常見的現(xiàn)象有：1開關(guān)現(xiàn)象:要根據(jù)開啟或閉合開關(guān)的個數(shù)分類2數(shù)圖形個數(shù):根據(jù)圖形是由幾個單一圖形組合而成進(jìn)行分類求情況數(shù)3球賽得分：根據(jù)勝或負(fù)場次進(jìn)行分類（二）分步原理：.兩種典型現(xiàn)象：1涂顏色(1)平面圖涂顏色:先涂接觸區(qū)域最多的一塊(2)立體圖涂顏色：先涂具有同一頂點(diǎn)的幾個平面，其他平面每步涂法分類列舉2映射按步驟用a集合的

25、每一個元素到b集合里選一個元素，可以重復(fù)選。二 排列組合（一）常規(guī)題型求情況數(shù)1.直接法：先排(選)特殊元素，再排(選)一般元素。捆綁法，插空法。2.間接法：先算總情況數(shù)，再排除不符合條件的情況數(shù)。（二）七種常考非常規(guī)現(xiàn)象1小數(shù)量事件需要分類列舉：凡不可使用公式且估計(jì)情況數(shù)較少，要分類一一列舉(例1，例2)2相同元素的排列：用組合數(shù)公式選出位置把相同元素放進(jìn)去，不用排順序(例3例4)3有序元素的排列: 用組合數(shù)公式選出位置把有序元素放進(jìn)去，不用排順序(例5例6)4剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配時，用隔板法。(例7例8)5邁步與網(wǎng)格現(xiàn)象: (例9例10)要看一共走幾步，把特殊的幾步選

26、出來，有幾種選法就有幾種情況6立體幾何與解析幾何現(xiàn)象：多數(shù)用排除法求情況數(shù)(例11)7平均分組現(xiàn)象: (例12例13)先用分步原理選出每一組的元素，再除以因?yàn)槠骄纸M算重復(fù)的倍數(shù)，平均分n組，就除以，有幾套平均分組就除幾個（三）排列數(shù)，組合數(shù)公式運(yùn)算的考察1.排列數(shù)公式 =.(，n*，且)注:規(guī)定.2. 排列恒等式 (1);(2);(3); (4);(5).(6) .3. 組合數(shù)公式 =(n*，且).4. 組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)= ;(2) +=.注:規(guī)定.5. 組合恒等式(1);(2);(3); (4)=;(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系 .三 二

27、項(xiàng)式定理（一） 公式1二項(xiàng)式定理：.展開式具有以下特點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)； 系數(shù)：依次為組合數(shù) 每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為次，展開式依的降冪排列，的升冪排列展開.2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).展開式中的第項(xiàng)為：解三角形一 正弦定理（一）知識與工具：正弦定理：在abc中，。在這個式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180 (2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)面積公式：s=absinc=2r2sinasinbsinc (4)三角函數(shù)的恒等變形。sin(a+b)=si

28、nc，cos(a+b)=-cosc ，sin=cos，cos=sin（二）題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1 利用正弦定理公式原型解三角形題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。例如：題型3 三角形解的個數(shù)的討論方法一：畫圖看方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，從而確定解的個數(shù)。二 余弦定理（一）知識與工具：a2=b2+c22bccosa cosa=b2=a2+c22accosb cosb=c2=a2+b22abcosc cosc=注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)

29、題中含有二次項(xiàng)時，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180；(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：s=absinc=2r2sinasinbsinc(4)三角函數(shù)的恒等變形。（二）題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式。題型3 判斷三角形的形狀結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一個關(guān)系式成立時，該三角形為鈍角三角

30、形，而當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2b2中有一種關(guān)系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時要注意使用a+b+c=這個結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用求距離兩點(diǎn)間不可通又不可視兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)兩點(diǎn)都不可達(dá)求高度底部可達(dá)底部不可達(dá)題型1 計(jì)算高度 題型2 計(jì)算距

31、離 題型3 計(jì)算角度 題型4 測量方案的設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用題型的本質(zhì)就是解三角形，無論是什么樣的現(xiàn)象，都要首先畫出三角形的模型，再通過正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解。（三）其他常見結(jié)論1三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，2三角學(xué)中的射影定理：在abc 中，3兩內(nèi)角與其正弦值：在abc 中，第十七章 空間向量（理科）一 空間向量的線性運(yùn)算知識點(diǎn)1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如

32、下(如下圖)。 ;運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：二 空間向量的基本定理知識點(diǎn)1. 共線向量(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線(或/)時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量、()，/存在實(shí)數(shù)，使。深化：(1)對于空間中的任意兩個向量來說都是共面的，但三個向量不一定共面(2)當(dāng)p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實(shí)際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另外兩直線確定的平面內(nèi)2.

33、共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的條件是存在實(shí)數(shù)使。3. 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使。深化：(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zr這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把a(bǔ)，b

34、，c叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量由上述定理可知，空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底(2)推論中，若xyz，則根據(jù)共面向量定理得：p、a、b、c四點(diǎn)共面故可看成平面abc的一個向量參數(shù)方程，其中x, y，z為參數(shù).三 向量的數(shù)量積(一)平面向量(二) 空間向量(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。(2)向量的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。(3)向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：；。(5)空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

35、；(交換律)；(分配律)。四 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1.空間直角坐標(biāo)系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；(2)在空間選定一點(diǎn)和一個單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面；(3)作空間直角坐標(biāo)系時，一般使(或)，；(4)在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系規(guī)定立幾中建立的坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2空間直

36、角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量，設(shè)為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)如上圖3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：(1)如右圖：若，則， ，(2)若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)如下圖。立體幾何一 平行關(guān)系（一） 線線平行(圖3-1) 1如果兩條線都平行于第三條線，那么這兩條線 相互平行.2如果一條線平行于另一個平面，那么這條線就 平行于過這條線的

37、平面與已知平面的交線. 圖3-13如果兩個平面平行，那么另一個平面與這兩個平面的交線互相平行.4如果兩條直線都和另一個平面垂直，那 么這兩條直線平行.5在同一平面內(nèi)，如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.（二） 線面平行(圖3-2)1如果平面外一條直線平行于平面內(nèi)的一條 圖3-2直線，那么直線與平面平行. 2如果兩個平面平行，一個平面內(nèi)的任何一條直 線平行于另一個平面 3如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一條直線，那么線面平行4如果平面與平面外一條直線同時垂直于另一個平面，那么線面平行（三） 面面平行(圖3-3)1.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面，那么面面平行 2.

38、如果兩個平面都平行于第三個平面，那么 這兩個平面平行 圖3-33.如果兩個平面同時垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行二 垂直關(guān)系大部分都是通過垂直證垂直；不能證明的時候，平移到另一個位置證垂直。 （一） 線線垂直 如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線。 （二） 線面垂直1如果一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交的直線，那么這條直線就垂直于兩條相交直線所在的平面2如果兩個平面垂直，在其中一個平面內(nèi)，垂直于公共棱的直線垂直于另一個平面（三） 面面垂直 (如圖3-4)1過一個平面垂線的平面垂直于已知平面 2二面角為直角的兩個平面垂直 圖3-4（四） 不能直接證垂直的情況

39、1把已知線或面平移到容易證明垂直的位置2找和已知線或面平行的線或面證垂直三 距離問題1能做出垂線段的直接求距離，垂足一定是特殊點(diǎn)(頂點(diǎn)，中點(diǎn)，內(nèi)心，外心)或在特殊直線(棱或?qū)蔷€)上2不能做出垂線段的，轉(zhuǎn)移后求距離：點(diǎn)到面 線到面 面到面3等體積性：，找到三個量就可以求出另一個量。四 多面體概念辨析與邊長、面積、體積（一） 題型分類總描述概念辨析：主要考查的是四棱柱，平行六面體，直平行六面體，長方體，正四棱柱，正方體系列概念的對比，或正四面體，正四棱錐系列。邊長：將邊長放于三角形中解三角形。正弦定理，余弦定理，勾股定理。面積：找底和高體積：一般底面積好求，高看成是距離用上文“求距離”的方法求。

40、（二）棱柱1概念棱柱的概念：有兩個面互相平行，其余每相鄰兩個面的交線互相平行，這樣的多面體叫棱柱。兩個互相平行的面叫棱柱的底面(簡稱底)；其余各面叫棱柱的側(cè)面；兩側(cè)面的公共邊叫棱柱的側(cè)棱；兩底面所在平面的公垂線段叫棱柱的高(公垂線段長也簡稱高)2棱柱的分類：(1)總體分類：a.棱柱：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形這樣的棱柱分別叫三棱柱、四棱柱、五棱柱b.直棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱。c.正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。例： 正四棱柱(2)四棱柱分類：a.普通四棱柱：上下底面是四邊形的棱柱。如圖3-5 b.平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。如圖3-6c.直平行六面體：側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫直平行六面體。如圖3-7 d.長方體：底面是矩形的直平行六面體是長方體。如圖3-8e.正四棱柱：底面是正方形的直四棱柱f.正方體：棱長都相等的長方體叫正方體。如圖3-9 圖3-5 圖3-6 圖3-7 圖3-8 圖3-9 (3