常微分方程丁同仁李承志第二版答案

1、習(xí) 題 1-1證明：xy x( e dx c),xxxeey dx c x ,x xy yxx ee x dx c x xxx( e dx c)xx xe（）y2xc1ec2e2xy4y0.證明：yc21 e 2xc2e 2x ,則2c2x2c2e2xy=1ey2x4c1e4c2e2xy4y01. 驗證下列函數(shù)是右側(cè)相應(yīng)微分方程的解或通解sin x) y , x y y cos x x證明： ysin x則x cos x sin xxy2xx cosxsin x sin xxyycos xxxx) y x( e dx c), xy y xex x）證明2y= (x c1)2(x c1)4c1

2、x2(x c2)0,c 2,c2x c 1,x,y| y|.x c1時，x c12= |y|.其他情況類似 .求下列初值問題的解：) y x, y(0) a0,解： y x, yy (0) a1,y (0) a2 c1,y (0) a2 ， c1 a2 ，13 y x a2x c2,6 y (0)a1, c2a1 ，1 4 1 2 y xa2x a1x c ， y(0) a0,24 211滿足初值問題的解為： yx4a2x2 a1x a0 24 2dy() f (x), y(0) 0, (這里 f(x) 是一個已知的連續(xù)函數(shù)) dx解 ： dy f (x), 即 dy f (x)dx,dxxx

3、dy f (t)dt c,00x y(x) y(0) f (t)dt c, y(0) 0, c 0 0x 滿足初值問題的解為： y(x)f (t )dt .0dR() aR, R(0) 1,dt解： 若 R 0, 則dR adt ， 兩邊積分得： lnR at c RR(0) 1 c 1dy 2() 1 y2，y(x0) y0 ，dx解： dy 1 y2 ， dy2 dx ，兩邊積分得： dx 1 y2arctgy x c. y(x0 ) y0 ， c arctg y0 x0 .滿足初值問題的解為： y tg(x arctg y0 x0) .假設(shè)() 函數(shù) y ( x, c1, c2, ,cn

4、) 是微分方程 F(x,y,y , ,y(n) 0 的通解，其中c1,c2 ,c n是獨立的任意常數(shù)，() 存 在 一 組 常 數(shù) (c1,c2, ,c n) Rn 和 空 間 中 的 點(n 1)M0(x0,y0,y0, , y0 )() 滿足滿足初值問題的解為： R ey0 (x0,c1, ,cn)y0(x0,c1, ,cn )x(n 1)y0(n 1)n 1 (x0,c1, ,cn)滿足：y0 (x0,c1 , ,cn )n1 x試 證 明 ： 存 在 點 M0 的 某 一 鄰 域 U ， 使 得 對 任 意 一 點M0(x0,y0,y0, ,y(n 1)0),y0(x0,c1 , ,c

5、n )x(n 1)(x0,c1 , ,cn )，（*）(n 1) y0xn 1如何確定 (c1 ,c2 , ,cn ) 呢？可 確 定 一 組 數(shù) ci ci(M0), i 1,2, ,n ， 使 得的解應(yīng)具有形式 y (x,c1 ,c2 , ,cn ) ，其中(c1 ,c2 , ,cn )應(yīng)由條件（）及隱函數(shù)定理知，存在點M 0 的某一鄰域 U，使得對任意一點y ( x, c1(M 0 ), c2 (M 0 ), ,cn(M 0)是初值問題(n 1)M0(x0,y0, y0, ,y0 ) 可 確 定 一 組 數(shù)y(x0) y0,y(x0) y0, ,y(n 1)(x0) y0(n 1)F(x

6、,y,y, ,y(n 1) 0的解cici (M 0), i1,2, ,n ，使得* ）成立得證證明：因為 y (x,c1,c2, ,cn) 是微分方程 F(x,y,y, ,y(n) 0的4.求出：通解，） 曲線族 y cx x2 所滿足的微分方程；所以初值問題y(x0) y0,y(x0) y0, ,y(n 1)(x0) y0(n 1)F(x,y,y , ,y(n 1) 0解： y cx x2， y c 2x ， xy cx 2x2，則有： xy x2 y .習(xí) 題 1-2) 曲線族 y c1ex c2xex 所滿足的微分方程； 作出如下方程的線素場：解：由 y c1ex c2xexx x x

7、 yc1ec2 ec1xex x x yc1e2c2ec1xe) y xy聯(lián)立消去 c1,c2 得： y 2y y 0.(3) 平面上以原點為中心的一切圓所滿足的微分方程； 解：平面上以原點為中心的圓的方程為 x2 y 2 r 2 (r 0)將視 y 為 x 的函數(shù)，對 x 求導(dǎo)得： 2x 2yy 0 平面上以原點為中心的一切圓所滿足的微分方程為 x yy 0 (4) 平面上一切圓所滿足的微分方程解：平面上圓的方程為： (x a)2 (y b) 2 r 2 (r 0),將 y 視為 x 的函數(shù)，對 x 求導(dǎo)得：2(x a) 2(y b)y 022 2(y b)y 2 y 0 聯(lián) 立 消 去 a,b 得 ，