圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（一）圓的有關(guān)性質(zhì)知識(shí)歸納1. 圓的有關(guān)概念：圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓；弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的 外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。2. 圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸; 圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。3. 圓的確定不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。4. 垂直于弦的直徑垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；推論1（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦

2、，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 垂徑定理及推論1可理解為一個(gè)圓和一條直線具備下面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出另外三個(gè)：過圓心；垂直于弦；平分弦（不 是直徑）；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦所對(duì)的劣弧。推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等。5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；所對(duì) 的弦的弦心距相等。推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

3、此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè) 就能推出另外三個(gè)：兩個(gè)圓心角相等；兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；兩 個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦相等；兩條弦的弦心距相等。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。6. 圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；推論 1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì) 的弧也相等；角形推論 2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角； 90的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。7. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)

4、，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。探8.軌跡軌跡 符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。1）平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2）平面內(nèi)，和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；3）平面內(nèi)，到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。例題分析例1.已知：如圖1,在。O中，半徑OML弦AB于點(diǎn)N。圖1 若A吐，ON= 1,求MN的長(zhǎng)； 若半徑OMk R,Z AO* 120,求 MN的長(zhǎng)。解： A吐，半徑 OMLAB,二AN= BN=v ON= 1,由勾股定理得OA* 2 MN* OM- ON=

5、OA- ON* 1 v 半徑 OML AB,且/ AO* 120/-Z AO* 60v ON= OA cos Z AO* OM cos60 *,OMLAB于 N, AO= R, ON*h,則 AB*說明：如圖1, 一般地，若Z AO*2n2Rsin n * 2htan n *例2.已知：如圖2,在厶ABC中，/ ACB= 90,/ B= 25，以點(diǎn)C為圓心、AC為 半徑作。C,交AB于點(diǎn)D,求的度數(shù)。圖2分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之 間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考。解法一：（用垂徑定理求）如圖 21,過點(diǎn)C作

6、CELAB于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F。圖2 1又/ ACB= 90,/ B= 25,a / FCA= 25 的度數(shù)為25,二的度數(shù)為50。解法二：（用圓周角求）如圖 2 2,延長(zhǎng)AC交。C于點(diǎn)E,連結(jié)ED圖2 2v AE是直徑，/ ADE= 90 / ACB= 90,/ B= 25, / E=/ B= 25的度數(shù)為50。 解法三：（用圓心角求）如圖 2 3,連結(jié)CD圖2 3v/ ACB= 90,/ B= 25, / A= 65v CA= CD / ADC=/ A= 65 / ACD= 50,二的度數(shù)為 50。例3.已知：如圖3, ABC內(nèi)接于。O且A吐AC, O O的半徑等于6cm, O點(diǎn)到BC的距 離

7、OD等于2cm 求AB的長(zhǎng)。析：因?yàn)椴恢? A是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形 外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。略解：（1）假若/ A是銳角， ABC是銳角三角形。如圖3,由A吐AC,可知點(diǎn)A是優(yōu) 弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺DL BC且 A吐AC,根據(jù)垂徑定理推論可知，DO勺延長(zhǎng)線必過點(diǎn)A,連結(jié)BOv BO= 6, OD= 2在 Rt ADB中, AD= DO AO= 6+ 2= 8 AB =十石=船 十（召爲(wèi)）-4衙住咗）圖3圖3 1（2）若/ A是鈍角，則 ABC是鈍角三角形，如圖3 1添加輔助線及求出，在 Rt ADB 中，AD= AO- DO= 6 2 = 4 AB綜

8、上所述AB=小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解例4.已知：如圖4, AB是。O的直徑，弦CD1 AB, F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF交。O 于 E。求證：AE- EF= EC- ED圖4分析：求證的等積式 AE- EF= EC- ED中，有兩條線段EF、。在厶EDF中，另兩條線段 AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC設(shè)法證明厶FE3 CEA即可。證明：連結(jié) AC四邊形DEAC內(nèi)接于圓/ FDE=Z CAE / FEB / DCA直徑AB丄CD二/ DCAf/ CEA 二/ FED=Z CEA

9、FEDA CEA,二 AE- EF= EC- ED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形 之中，在分析已知條件時(shí)，千萬不要忽略這一重要條件。例5.已知：如圖5，AM是O 0的直徑，過。O上一點(diǎn)B作BN!AM，垂足為N,其延長(zhǎng)線 交。O于點(diǎn)C,弦CD交AM于點(diǎn)E。圖5(1) 如果 CD!AB 求證：EN= NM(2) 如果弦CD交AB于點(diǎn)F,且CD= AB求證CE= EF ED(3) 如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,且CD= AB那么(2)的結(jié) 論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。證明：(1)連結(jié)BM(如圖5- 1)圖 5

10、1v AM是直徑，/ ABMk 90v CDL AB 二 BM/ CD/ ECN=Z MBN 又 AML BC, / CN= BN Rt CE華Rt BMN 二 EN= NM(2)連結(jié) BD, BE, AC(如圖 5- 2) 圖 5- 2v點(diǎn)E是BC垂直平分線 AM上一點(diǎn)，二BE= ECv CD= AB/ Ad BDC 又 A吐 AC, AE= AE ABEA ACEABE=Z Ad BDC v/ BED是公共角, BEBA FEB BSEF- ED,二 CE= EF - ED( 3)結(jié)論成立。如圖 5- 3圖5-3證明：仿（2）可證 ABEAACE BE= CE 且/ ABE=Z ACE又

11、AB= CD 二/ Ad DBC 二 BD/ AC/ BDEZ ACE= 180而/ FBEZ ABE= 180Z BDE=Z FBE 而Z BED是公共角 BEDA FEB bS EF- ED CE= EF- ED（二）直線與圓的關(guān)系1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交占八、直線名稱無切線割線圓心到直線的 距離d與半徑r的 關(guān)系2. 切線的判定經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。3. 切線的性質(zhì)（1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；（2）推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；（3）推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓

12、心。此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：垂直于切線；經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過圓心。4. 切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線 的夾角。5. 弦切角定理（1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角；（2）推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等；（3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。6. 和圓有關(guān)的比例線段（1） 相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；（2）推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 例中項(xiàng)；（3） 切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割

13、線與圓交點(diǎn)的 兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；(4) 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段 長(zhǎng)的積相等。7. 三角形的內(nèi)切圓(1) 有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、 圓的外切多邊形；(2) 作圖：作一個(gè)圓，使它和已知三角形的各邊都相切。例題分析例6.已知：如圖6, AB是的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CG切O O于D, DEL AB于 E。圖6求證：/ CD* / EDB(1) 直徑上的圓周角是直角。若連結(jié) AD則得Rt ABD(2) 垂徑定理。如圖6-2，若延長(zhǎng)DE交O0于F,則可得DE= EF,;(3) 過直徑外端的切線與直徑垂

14、直。如圖 6- 3,若過B點(diǎn)作O0的切線BM則AB丄BM由CD是O0的切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì)：(1) 過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖 6- 1,若連結(jié)0D則ODL CD(2) 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。若連結(jié) AD則/ CD*/ A;(3) 切割線定理。如圖 6, CD*CB- CA由DEL AB于E,聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：(1) Rt DEB中兩銳角互余，即/ ED聊/EBD= 90;(2) 垂徑定理。如圖6-2,只要延長(zhǎng)DE交O0于F,則可得到相等的線段，相等的??；(3) 構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié) AD,則可得到厶ADB是直角三角形，DE 是斜邊上的高，又可得到兩對(duì)相等的

15、銳角，三個(gè)相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。證明：連結(jié) AD,如圖6,v AB是直徑，二/ AD* 90。 DEI AB 二/ ED*/ Av CD 是O 0 的切線，二/ CD* / A,：/ CD* / EDB此例題還有許多證法，比如連結(jié) 0D如圖6- 1,利用切線的定義；又比如延長(zhǎng) DE交O 0 于F,連結(jié)BF,如圖6- 2,利用垂徑定理；還可以過點(diǎn) B作O0的切線交CD于點(diǎn)M,如圖6 -3,利用切線長(zhǎng)定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明/ CD*/ EDB即證明BD是/ CDE勺平分線，由此證明可以聯(lián)想到 AD 也是/ GDE的平分線。另外，通過

16、對(duì)此例題的分析和證明可知，圖 6-4中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳 角、相等的線段、相等的弧及相似三角形等等，為此可將圖 6- 4分解成三個(gè)基本圖形。如圖 6-5,以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。圖6-4AC BC=CEOS 反胡 dE圖6-5例7.已知：如圖7,點(diǎn)P是半圓0的直徑BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CDLAB 于 D點(diǎn)，若 PA PO 1: 2，D吐4,求 tan / PCA及 PC的長(zhǎng)。圖7證明：連結(jié)CB PC切半圓 0于 C 點(diǎn),/ PCA=Z BvZ P=Z P,.PA3A PCB AC: BO PA PCv AB是半圓0的直徑，.Z ACB= 90 又 v C

17、D! ABAD * ABBD* AB AD =羋 BD = 2x4 = 1BD4 AB= AD DB= 5例8.已知：如圖8,在Rt ABC中, Z B= 90,Z A的平分線交BC于點(diǎn)D, E為AB 上的一點(diǎn)，DE= DC以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作。D圖8求證：（1） AC是。D的切線；(2) AB+ E吐 AC分析：(1)欲證AC與。D相切，只要證圓心 D到AC的距離等于。D的半徑BD因此 要作DF丄AC于 F(2)只要證AO AF+ FC= AB+ EB,證明的關(guān)鍵是證 BE= FC,這又轉(zhuǎn)化為證 EBDA CFD 證明：(1)如圖8,過D作DF丄AC, F為垂足 AD是/BAC的平分線

18、，DBL AB,二 D吐 DF點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑 AC是。D的切線(2AB丄BD, O D的半徑等于 BD, AB是O D的切線， A吐AF在 Rt BED和 Rt FCD中 , ED= CD BD= FD BEDA FCD - BE= FC AB+ BE= AF+ FC= AC小結(jié)：有關(guān)切線的判定 主要有兩個(gè)類型 若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn) 可采 用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出 可采用“過圓心 作垂線 證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類例9.已知：如圖9 , AB為O O的弦,P為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PE與O O相切于點(diǎn)E, C 為中點(diǎn)

19、，連CE交AB于點(diǎn)F。圖9求證：分析：由已知可得 pU= PA - PB因此要證pF = PAPB,只要證PE= PF。即證/ PFE =/ PER證明一：如圖9，作直徑CD交AB于點(diǎn)G,連結(jié)ED Z CED= 90點(diǎn) C為的中點(diǎn)，二 CD!ABCFG=Z D PE為O O切線,E為切點(diǎn) Z PEF=Z D,PEF=Z CFGvZ CFG=Z PFE Z PFE=Z PEF, PE= PF pSpa- pb pF= pa- pb證明二：如圖 91 連結(jié) AC、AE圖 9 1v點(diǎn)C是的中點(diǎn)，/ CAB=Z AECv PE切O O于點(diǎn) E , Z PEA=Z CvZ PFE=Z CA+Z C, Z

20、 PEF=Z PEA+Z AEC Z PFE=Z PEF, PE= PFv pj PA- PB pF= pa- pb例10.(1)如圖10 ,已知直線AB過圓心O,交O O于A、B,直線AF交O O于F (不與B重合)，直線I交OO于C D,交BA延長(zhǎng)線于E ,且與AF垂直,垂足為G,連結(jié)AC AD圖 10圖 10 1求證：/ BAB/ CAGAC- AD= AE- AF(2)在問題(1)中，當(dāng)直線I向上平行移動(dòng)，與。O相切時(shí)，其它條件不變。 請(qǐng)你在圖 101 中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D 1 0標(biāo)記字母； 問題(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng) 說明理由。證明：

21、(1)連結(jié)BD AB是O O 的直徑，/ ADB= 90 / AGG/ ADB= 90又 ACDB是O O內(nèi)接四邊形/ AC / B，A/ BA亠/ CAG連結(jié) CF/ BAB / CAG / EAG=/ FAB/ DAG / FAC又/ AD(G/ F,.AD0A AFCAC- ADGAE- AF(2)見圖10- 1兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下： 連結(jié) BC，v AB 是直徑，./ ACB= 90./ ACBG/ AGCG 90v GC切O O于 C,./ GCG/ ABC/ BACG/ CAG(即/ BAD=/ CAG 連結(jié) CFv/ CAGG/ BAC，/ GCFG/ GAC，./ GCFG

22、/ CAE，/ ACFG/ ACG-/ GFC，/ EG/ ACG-/ CAE./ ACG/ E,.ACFA AEC 二 .AcgAE- AF (即 AC- ADG AE- AF) 說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)手畫圖的能力，并通過探究式的提問 加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。例11.如圖11, AB是OO的直徑，O O過AC的中點(diǎn)D, DELBC,垂足為E。圖 11(1) 由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論？(要求，不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程 中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出 4 個(gè)結(jié)論即可)。(2) 若/ ABC為直角，其他條

23、件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些新的正確結(jié)論？ 并畫出圖形。分析：(1)若連結(jié)DO可證得DE是OO的切線。若連結(jié)DB由直徑AB和點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可得AB= BC, / A=/ C等。而且DELBC于 點(diǎn)E,又由雙垂圖形，可得，等。(2)連結(jié)DO OB方法同上。 答：下列結(jié)論可供選擇，如圖 11-1圖 11 1(1)DE是O O的切線A吐BC / A=Z C DE= BE - CECD= CE- CB/ C+Z CD呂 90(2)CE= BE DE= BE DE= CE DE/ AB CB是O O的切線B Z A=Z CDE= 45Z C=Z CDE= 45CB = CD- CA (11)

24、(12)說明：本題是結(jié)論開放的探索性問題，答案不唯一。尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的條件 及其特點(diǎn)(尤其是利用特殊幾何圖形的判定和性質(zhì))，在幾何中諸如：相等關(guān)系、特殊圖形、 兩圖形的關(guān)系等。(三)圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)歸納1. 基本概念(1 )兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義。(2) 兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線、公切線長(zhǎng)的定義。(3) 兩圓的連心線、圓心距、公共弦。2. 圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置圓心距d與兩圓的 半徑R、r的關(guān)系外公切 線條數(shù)內(nèi)公 切線 條數(shù)公切線條數(shù)外離224外切213相交2 :02 :內(nèi)切1 101 1內(nèi)含0003. 相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公

25、共弦4. 相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上例題分析例12.已知兩圓外切時(shí)，圓心距為10cm兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為4cm,求兩圓半徑的長(zhǎng)。 解：設(shè)兩圓的半徑分別為 Rem和r cm。依題意，得答：大圓的半徑為7cm,小圓的半徑為3cm。例13.已知：如圖12,兩圓相交于A B,過點(diǎn)A的直線交兩圓于C、D,過點(diǎn)B的直線 交兩圓于E、F。圖12求證：CE/ FD分析：要證CE/ FD,可通過角的關(guān)系證平行，即只要證/ E=Z BFD或證/ ECDbZ D =180,若證/ E=Z BFD只需將/ BFD轉(zhuǎn)化成與。O有關(guān)的圓周角，或圓內(nèi)接四邊形的外 角，只要連結(jié) AB即可；若要證/

26、ECDkZ D= 180,也需連結(jié) AB,得/ EBAZ D,Z EB刖 / ECD= 180,則也可得證。證明一：（用同位角證）連結(jié) AB四邊形 EBAC內(nèi)接于O O ,/ BABZ E 又 TZ BFD=Z BAD / BFD=Z E CE/ FD證明二：（用同旁內(nèi)角證）連結(jié) AB四邊形EBAC內(nèi)接于。O,Z C+Z B= 180,又/ B=Z D, Z C+Z D- 180,二 EC/ FD 小結(jié)：兩圓相交時(shí)，常添的輔助線是作兩圓的公共弦。（四）正多邊形和圓知識(shí)歸納1. 基本概念 正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角 以及平面鑲嵌等。2. 正多邊形

27、的判定與性質(zhì)（1）把圓分成等份：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正 n 邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正 n 邊形。（2）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。如圖16所示，設(shè)正n邊形的中心角為，半徑為 R,邊長(zhǎng)為，邊心距為rn，周長(zhǎng)為Pn, 面積為S,則由有關(guān)圖形的性質(zhì)可以推得：圖 16（1 ）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；4. 與圓有關(guān)的計(jì)算（1 ）圓的周長(zhǎng)；（2）弧長(zhǎng)；（3）圓的面積；（4）扇形面積；（5）弓形面積（如圖 16）5. 與圓有關(guān)的作圖（1）過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓；（2）作三角形的內(nèi)切圓；（3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分）,作正三角形、正四邊形、正六邊6. 圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖（1）圓柱的側(cè)面積：（r :底面半徑，h：圓柱高）（2）圓錐的側(cè)面積：（L = 2n R, R是圓錐母線長(zhǎng)，r是底面半徑）。（n為側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)，R為母線長(zhǎng)）。例題分析例14.已知：如圖17,在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦 AB與小圓相切于點(diǎn)C, AB的長(zhǎng)為 12cm求兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形面積。圖17解：連結(jié)OC OB設(shè)大圓半徑OB= R,小圓半徑OC