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文檔簡介
1、基本不等式應用1 11.若x0,則x+K2 (當且僅當x =1時取“=”);若x cO,則x + J 2 (當且僅當x = 1時取“=”)xX若 XH0,貝y X+1x2即x+:2或x +丄-2 (當且僅當a = b時取“=”XX2.若ab .0,則a . b 2 (當且僅當a =b時取“=”) b a若ab = 0,則a bab_2即2或-2baba當且僅當a = b時取“=”)3.若a,b R,則(9 P)2空? (當且僅當a = b時取“=”)2 2注:( 1)當兩個正數(shù)的積為定植時,可以求它們的和的最小值,當兩個正數(shù)的和為定植時,可以求它們的積的最小值,正所謂“積定和最小,和定積最大”
2、(2) 求最值的條件“一正,二定,三取等”(3) 均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用. 應用一:求最值例1 :求下列函數(shù)的值域2 1C1) y= 3x 2+ 應(2) y=x+ x22T - 6值域為6 , + R)(2)當 x 0 時,1當 XV 0 時,y= X+1=2;=2值域為(一a, 2 U 2 , +8)解題技巧: 技巧一:湊項5彳例1 :已知x,求函數(shù)y =4x2 1 的最大值。44x -5解:湊項,因4x-5:0,所以首先要“調(diào)整”符號,又(4x_2) 1 不是常數(shù),所以對4X-2要進行拆、4x -5151(1 x,i:x5
3、-4x 0, . y =4x-2-5-4x-3 -2 3 h44x5I54x 丿ymax 二 1。當且僅當5-4x 1 ,即x =1時,上式等號成立,故當5 4x評注:本題需要調(diào)整項的符號,又要配湊項的系數(shù),使其積為定值。技巧二:湊系數(shù)例1.當一-:匚:.時,求y二x(8 -2x)的最大值。解析:由L 二-知,二:,利用基本不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為兩個式子 積的形式,但其和不是定值。 注意到2x (8 -2x) =8為定值,故只需將y =x(8 -2x)湊上一個系數(shù)即可。 廠進2工)=扣i (8七鷗(生導與 =8當;= -,即x= 2時取等號 當x= 2時,y=x(8-2x
4、)的最大值為8。評注:本題無法直接運用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值。3變式:設0 : x,求函數(shù)y = 4x(3 -2x)的最大值。2x3解:t 0 : x /. 3 - 2x 02“4唇22唇2心221|0,3 j時等號成立。 2丿3當且僅當2x =3-2x,即x =4技巧三:分離2例3.求y=x 7x 10& . _1)的值域。X十1x+ 1)的項,再將其分離。解析一:本題看似無法運用基本不等式,不妨將分子配方湊出含有(葉1)+5A + 1_+7x + 10 _ (x + 1)2 +5(x + l)+4一 4不十1當二:- 1 ,即一:時,y _2
5、 (x 1) 4一5=9 (當且僅當 x= 1 時取“=”號)。Vx+1t=x+ 1,化簡原式在分離求最值。技巧四:換元解析二:本題看似無法運用基本不等式,可先換元,令2 2(t -1)7(t -1)+10 t 5t 4 丄 4y= = t _ 5t當 -),即 t= + .、I 時,討 _25=9 (當 t=2 即 x= 1 時取“=”號)。評注:分式函數(shù)求最值,通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最A值。即化為y = mg(x)B(A 0, B 0) , g(x)恒正或恒負的形式,然后運用基本不等式來求最值。g(x)技巧五:注意:在應用最值定理求最值時,若遇
6、等號取不到的情況,應結(jié)合函數(shù)f (xHx -的單調(diào)性。x例:求函數(shù)y =-x 5二的值域。Ux2 +4解:令 .X2二t(t 一2),則 y = X二57x7、X2 4J =t .t2)J x2 + 4 t11因t 0,t1,但t 解得t - -1不在區(qū)間tt1(2, 二,故等號不成立,考慮單調(diào)性。因為y二t -在區(qū)間1,匸:單調(diào)遞增,所以在其子區(qū)間(2,為單調(diào)遞增函數(shù),故所以,所求函數(shù)的值域為5:2練習求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時,x的值.2x +3x+1(1) y =A (叮)1,(x 0)(2)y = 2x , x 3 (3) y = 2sinxx 3變式:技巧七、分析:因條件和
7、結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式F面將x,2+ ;分別看成兩個因式:2 呼2已知0 :x .1,求函數(shù)y二.x(1-x)的最大值.;3 0 :. x 2 3a 3b =23b =6當3a =3b時等號成立,由a,b=2及3a =3b得a=b=1即當a=b=1時,3a - 3b的最小值是6.1 1變式:若log4 x log4 y = 2,求的最小值 并求x,y的值x y技巧六:整體代換:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性,否則就會出錯。192:已知x 0, y 0 ,且1,求x y的最小值。x y錯解:* x 0, y a0,且+ =1,二 x + y = 11 十? l(x
8、+y )色2_9 2jxy =12 故(x+y )min =12 x yx y xy 1錯因:解法中兩次連用基本不等式,在x 2 xy等號成立條件是x = y,在丄._9_2 &等號成立x y Y xy19條件是即y=9x,取等號的條件的不一致,產(chǎn)生錯誤。因此,在利用基本不等式處理問題時,列出x y等號成立條件是解題的必要步驟,而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解:Tx0,y0,19=1,. x y Ex y 19 =y9x10 _6 10=16xylxy 丿 xyy 9x1 9當且僅當時,上式等號成立,又1,可得x=4,y=12時,x,ymin=16 xyx y(1)若x, y R且2x,
9、y=1,求1 .1的最小值x y已知a,b,x, y R 且a - 1,求x y的最小值x y2 已知x, y為正實數(shù),且x 2 + ; = 1求X 1 + y2的最大值.2 2 a + b abw 同時還應化簡,1 + y 2中y2前面的系數(shù)為 1 , X.1 + y 2 = x(諺丐)2 x 2+今+12 = 2 24 即 xj1 + y 2 = 2 x 2 + 專技巧八:已知 a, b為正實數(shù),2b+ ab+ a= 30,求函數(shù)分析:這是一個二元函數(shù)的最值問題,通常有兩個途徑, 性或基本不等式求解,對本題來說,這種途徑是可行的; 件中既有和的形式,又有積的形式,不能一步到位求出最值, 的
10、途徑進行。1y= ab的最小值.一是通過消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用基本 不等式,對本題來說, 考慮用基本不等式放縮后,再通過解不等式,再用單調(diào)因已知條存30 2b法一:a =b+1由 a 0得,0v bv 152t 2+ 34t 311 vtv 16, ab =30 2bab=ZT b=2 b2+ 30bb+ 1令 t= b+1,2 (t+ )+ 34 V t + 2 : t = 8/ ab 18當且僅當t= 4,即b = 3, a= 6時,等號成立。法二:由已知得:令 u= abab w 3 2,30 ab = a + 2b - U2 + 2 2 u 30 18a + 2b 2 2
11、ab30 ab 2 2 ab5 2 w u0, b0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2.若直角三角形周長為 1,求它的面積最大值。技巧九、取平方的最值.a 2+ b 22,本題很簡單5、已知x, y為正實數(shù),3x+ 2y= 10,求函數(shù) W= 3x + , 2y解法一:若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,a + b2 W.3x + ,2y w 2( . 3x ) 2+( ,2y ) 2 = ,2 , 3x+ 2y = 2.5解法二:條件與結(jié)論均為和的形式,設法直接用基本不等式,應通過平方化函數(shù)式為積的形式,再向“和 為定值”條件靠攏。W0, W2= 3x+ 2y+ 2
12、 3x ,2y = 10 + 2 3x 一2y w 10+ ( 3x )2 ( 2y )2 = 10+ (3x+ 2y)= 20 Ww 20 = 2 5變式:求函數(shù)y = 2x T * 5 -2x(1 : x : 5)的最大值。2 2解析:注意到2x -1與5 - 2x的和為定值。y2 = ( . 2x -V .5 - 2x)2 =4 2 (2x _ 1)(5 _2x)乞 4 (2x-1)(5 - 2x) = 8又y0,所以0 : y乞2、2當且僅當2x T=5 - 2x,即x = 3時取等號。故ymax二2 2。評注:本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用基本不等式創(chuàng)造了條件??傊?,我們利用基本不等式求最值時,一定要注意“一正二定三相等”,同時還要注意一些變形技巧,積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應用三:基本不等式與恒成立問題19例:已知x 0, y 0且1,求使不等式xy_m恒成立的實數(shù) m的取值范圍。x y19, x y9x9y,10y9x,解:令 x y =k,x 0, y . 0,1,1.1x ykx kyk kx ky10312。 k
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