《拋物線》典型例題12例

1、拋物線典型例題12例典型例題一例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.2 2（1） x 4y（2） x ay （a 0）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出P,再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì) a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求 p及 焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.解：（1） p 2，二焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：y 1211（2）原拋物線方程為：yx，2pa同 當(dāng)a 0時(shí)，衛(wèi)，拋物線開(kāi)口向右，2 4a11焦點(diǎn)坐標(biāo)是（丄,0）,準(zhǔn)線方程是：x .4a4a 當(dāng)a 0時(shí)，衛(wèi)，拋物線開(kāi)口向左，2 4a一 11I焦點(diǎn)坐標(biāo)是（,0），準(zhǔn)線方程是：x4a4a斜率及弦

2、中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法”求 k.解法一:設(shè) A(xi,yi)、B(X2, y2)，則由:y kx 22小y 8x可得：k2x2(4k 8)x 40.直線與拋物線相交, AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為:為 x2 4k 82 k2解得：k 2或k i(舍去).故所求直線方程為：y 2x 2 .解法二：設(shè) A(Xi,yJ、B(X2,y2)，則有 yi28Xi2y2兩式作差解：(yiy2)(yi y2)8( xi X2)，即%y2X-!X28yiy2XiX24 yiy2 kxi 2 kx22 k(xi X2)44k 4，2或k i (舍去).則所求直線方程為：y 2x 2 .典型例題三例3求證：以拋物線的

3、焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：可設(shè)拋物線方程為y2 2px(p 0).如圖所示，只須證明罟MMi，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切.Iy證明：作AAA l于Ai,BBi l于Bi . M為AB中點(diǎn)，作pMMi l于Mi，則由拋物線的定義可知：Vk y *AAi |AF|, BBi| |BF1在直角梯形BBiAiA中：MM11 12(AA| |BBi)-(AFBF)1MM-AB，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切.2說(shuō)明：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交.典型例題四例4（ 1）設(shè)拋物線y2 4x被直線y 2x k

4、截得的弦長(zhǎng)為3、.5，求k值.（2）以（1）中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo).分析：（1）題可利用弦長(zhǎng)公式求k，（2）題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo).2解：（1）由yy4x2x得：4x2k2(4k 4)x k 0設(shè)直線與拋物線交于A(X1,yJ與 B(X2,y2)兩點(diǎn).則有:k2 x1x2 1k, x-i x24AB(122)(X1X2)2. 5(% x2)2 4x1x2. 5(1 k)2 k2.5(1 2 k)AB3 5,5(1 2 k)(2)Xo例5已知定直線I及定點(diǎn)A （A不在I上），n為過(guò)A且垂直于I的直線，設(shè)N 為I上任一點(diǎn)，

5、AN的垂直平分線交n于B,點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P,求證P 的軌跡為拋物線.分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個(gè)途徑，一個(gè)證明P點(diǎn)的軌跡符合拋物線的 定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點(diǎn)， I為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明 PA PN且PN I即可. 證明：如圖所示，連結(jié)PA PN NB由已知條件可知：PB垂直平分NA且B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P. AN也垂直平分PB.則四邊形PABN為菱形.即有PA PN .AB I. PN I.則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn) A的距離與到定直線的距離相等，所以 P 點(diǎn)的軌跡為拋物線.典型例題六焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的

6、焦點(diǎn)，求證:_1_ _1_ 2RF|P2F7例6若線段P1P2為拋物線C: y2 2px（p 0）的一條分析：此題證的是距離問(wèn)題，如果把它們用兩點(diǎn)間 的距離表示出來(lái)，其計(jì)算量是很大的.我們可以用 拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識(shí)，把結(jié)論證明出來(lái).證法一：FJO），若過(guò)F的直線即線段PR所在直線斜率不存在時(shí),則有 PiF IP2Fp,_1_丄丄 Z屈萌孑3 ?若線段PlP?所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則此直線為:y k(x 護(hù) 0)，且設(shè) RX, yj, P2(X2, y2).k(x p2 得: k(x p2k2x2p(k22)xk2p24Xi2p(k 2)X

7、x2根據(jù)拋物線定義有:RFXiXix1x2pP2F|PF| |P2F|PF|P2Fx1x2(Xi*)(X2寸)X1X1X2 |(X1 X2)X2P2 p41請(qǐng)將代入并化簡(jiǎn)得：1PF| 時(shí) p證法二：如圖所示，設(shè)R、P2、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線I上的射影分別是P、P2、F ,且不妨設(shè)P2P2 n m PR，又設(shè)P2點(diǎn)在FFPP上的射影分別是 A、B點(diǎn),由拋物線定義知,P2F n, RF| m, FF| p|AF朗p(m n) 2mn112m n p故原命題成立.典型例題七,求證:例7設(shè)拋物線方程為 寸2px(p 0)，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為AB2p .sin分析：此題做法跟上題類似，也可

8、采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問(wèn)題.證法一：拋物線y2 2px( p 0)的焦點(diǎn)為(*,0),過(guò)焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：y tan (x *)由方程組y tan(X自消去y 得: y2 2px2 2 2 2 24x tan4p(tan) p tanx1 x2設(shè) Ag yi), B(X2, y2)，則XiX2p(ta n22)ta n224p(12 cot2 )又 yy tan (為 X2)AB(1 tan2 )(x1 x2)2.(1 tan2 ) (x-! x2)2 4x1x2(1 tan2 ) p2(1 cot2 ) 4 4.sec4 p2 cot2 (1 cot2 )14 sin2p2

9、sin即AB2p sin2證法二：如圖所示，分別作AAi、BBi垂直于準(zhǔn)線I 由拋物線定義有:于是可得出：|AFp1 cosBFp1 cosABAF BFPp1 cos1 cos2p1 cos2p2 sin故原命題成立.AFAA,|AFcos pBF|BB1PBFcos典型例題八例8已知圓錐曲線C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3,2a/3)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F (1, 0)，對(duì)應(yīng)于該 焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為x 1，過(guò)焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB,若弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)8, 且直線AB與橢圓3x2 2y22相交于不同的兩點(diǎn)，求(1) AB的傾斜角的取值范圍.(2) 設(shè)直線AB與橢圓相交于C D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：

10、由已知條件可確定出圓錐曲線 C為拋物線，AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其 斜率為k，弦AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可求出k的取值范圍，從而可得 的 取值范圍，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程時(shí)，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即 可.解：（1）由已知得|PF|4 故P到x 1的距離d 4，從而|PF| d曲線C是拋物線，其方程為 屮4x.2y22無(wú)交點(diǎn).設(shè)直線AB的斜率為k,若k不存在，則直線AB與 3x2二k存在.設(shè)AB的方程為y k（x 1）4x-可得：ky 4y 4k 0k(x 1)設(shè)A、B坐標(biāo)分別為（捲，比）、（X2, y2）,則：y1y2yiy24AB: 1 2-(1k2)(y1y2)k4(1 k2

11、)4y2k2弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)8,24(1 k )8即k2由 y2k(x 21)得：(2F3x2 2y223)x2 4k2x2(k21) AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),k2由k21和k23可得：1 ktan 一 3 或.3 tan，二所求的取值范圍是:(2)設(shè) CD中點(diǎn) M(x, y)、C(x3, ya)、D(X4,y4)由 y 2k(x 21)得：(2k2 3)x2 4k2x3x 2y 22(k21)0X34k55, X3 Xi5k 32 x3 x45k5 5k531 ；k5 3k5325k 3 9X45(k5 1)5k5 35k55k5 32J(X 1)52J(X 1)化簡(jiǎn)得：3x55y5

12、3x所求軌跡方程為：3x55y53x 0(5 X 5)53典型例題九例9定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y5 x上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)到 y軸的距離的最小值，并求出此時(shí) AB中點(diǎn)的坐標(biāo).分析：線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值.這是中點(diǎn)坐 標(biāo)問(wèn)題，因此只要研究 A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可.解：如圖，設(shè)F是y5 x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是 AC、BD，又M到準(zhǔn)線的垂線為MN , C、D和N是垂足，則MN11 12(ac |BD) -(afBF)2ab13 1設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y , MN x ,則x -42 4等式成立的條件是AB過(guò)點(diǎn)F 當(dāng)

13、x 4時(shí)，賂p2.222小_1_(y- y2)y- y? 2yy 2x 2，yiy22，y5 J25所以M（5，?。?，此時(shí)M到y(tǒng)軸的距離的最小值為4 .說(shuō)明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡(jiǎn).典型例題十例10過(guò)拋物線y 2px的焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn), 求AB的最小值.分析：本題可分2和2兩種情況討論當(dāng)2時(shí)，先寫出AB的表達(dá)式,再求范圍.解：若-，此時(shí)AB 2p .若-，因有兩交點(diǎn)，所以AB: y tan (x 號(hào))，即x 諄代入拋物線方程，有p20.故(y2 yi)24p2tan24p24 p2 esc(X2 Xi)2M %)2tan2

14、22 esc4p 2 tan故AB2 24p esc(1=)4p2cs tan所以AB2p 2 sin2p .因-，所以這里不能取“=”綜合(1)(2)，當(dāng)2時(shí)，AB最小值2P .說(shuō)明:(1)此題須對(duì)分2和 評(píng)種情況進(jìn)行討論;(2)從解題過(guò)程可知，拋物線點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為I上卜;sin 當(dāng) -時(shí)，AB叫做拋物線的通徑.通徑是最短的焦點(diǎn)弦.典型例題十一例11過(guò)拋物線y2 2px (p 0)的焦點(diǎn)F作弦AB，I為準(zhǔn)線，過(guò)A、B作I的.IIIII垂線，垂足分別為A、B，則AFB為( )，AF B為( ).A.大于等于90 B.小于等于90C.等于90 D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系

15、等方面的知識(shí)， 關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切.解：點(diǎn)A在拋物線上，由拋物線定義，則 AA AF|12，又 AA / x 軸13 . 23，同理 46 ,而 2364180，二 36 90 , AFB90 .選 C.過(guò)AB中點(diǎn)M作MM I，垂中為M ,則MM1(AA BB)213(af bf)!|ab2以AB為直徑的圓與直線I相切，切點(diǎn)為M .又F在圓的外部， AFB 90 .特別地，當(dāng)AB x軸時(shí)，M與F重合，AFB 90 .即 AFB 90，選 B.典型例題十二例12已知點(diǎn)M(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2 2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng), 當(dāng)PM| |PF取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.分析：本題若建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)求 PM PF的最小值是困難的，若巧妙地利用拋物線定義，結(jié)合圖形則問(wèn)題不難解決.1由定義知 PF PE，故 PM PF PF PM ME MN 3-.取等號(hào)時(shí)，M、P、E三點(diǎn)共線，二P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,代入方程，求出其橫坐標(biāo)為2，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）.2