《自動控制原理》習(xí)題及解答02e.

1、第二章習(xí)題及答案2-1 試建立題2-1圖所示各系統(tǒng)的微分方程其中外力F(t)，位移x(t)和電壓ur(t)為輸入量；位移y(t)和電壓uc(t)為輸出量；k (彈性系數(shù))，f (阻尼系數(shù))，R (電阻 ),C (電容)和m (質(zhì)量)均為常數(shù)b)(7譏)題2-1圖系統(tǒng)原理圖解(a)以平衡狀態(tài)為基點，對質(zhì)塊 m進行受力分析(不再考慮重力影響)，如圖解2-1(a)所示。根據(jù)牛頓定理可寫出=md2ydt2F f J1r弘)整理得2d y(t) . f dy(t)k1-y(t) F(t) mm(b )如圖解2-1(b)所示，取A,B兩點分別進行受力分析。對A點有對B點有dxki(X-Xi) =f(亍dt

2、(1)(2)聯(lián)立式(1)、( 2)可得:dy.dtk1 k2k1dxf (匕 k2)y 一k2 dt(c)應(yīng)用復(fù)數(shù)阻抗概念可寫出R丄Ur(S)= l(S)U/S) R丄csI（S）二Uc(s)R2(4)聯(lián)立式（3）微分方程為（4），可解得:Uc(s)R2(1 RiCs)U r (s)R1R2 R1 R2Csduc R1 R2dur1UcUrdtCRR2dtCR1(5)(6)(7)(d)由圖解2-1 (d )可寫出1(Ur(s)=RlR(s)“R(s)+Ic(s)乙Cs1 Ic(s)=RIr(s)RIJs)CsIUc(s)=Ic(s)R+r(s) + Ic(s)】一Cs聯(lián)立式（5）、（ 6）、（

3、 7），消去中間變量lC（S）和Ir(S)，可得：Uc(s)U7(sR 2 2R2C2s2 3RCs 1C2s2 2RCs 1微分方程為2du。 3 duc dt2 CR dtdu：dt22 dur 1CR dt C2R2 Ur2-2試證明題2-2圖中所示的力學(xué)系統(tǒng)和電路系統(tǒng)（b）是相似系統(tǒng)（即有相同形式的數(shù)學(xué)模型）。LrL-齊妬k2(1)LLJ| 弋 lssla b 杓 X &解（a）取A、B兩點分別進行受力分析，如圖解2-2（a）所示。對A點有k2（x - y） f2（x - y）二 f,y - 如） 對B點有f,y 一 yjy1對式(1 )、( 2 )分別取拉氏變換，消去中間變量y1，整

4、理后得Y(s)X(s)-s2 -k1k2(k；護1f1 f 22sk1k22)s 1(1k1k2k2(b)由圖可寫出Uc(s)r21C2sUr(s)1R 1 j r2C1s丄GsCiS整理得Uc(s)2R1R2C1C2s(R1C1 R2C2)s 1R1R2C1C2s2 (R1C1 R2C2 R1C2)s 12-3假設(shè)某容器的液位高度dh a /1h與液體流入量 Qr滿足方程hQr，dtSS式中S為液位容器的橫截面積，:為常數(shù)。若h與Qr在其工作點(Qr0, h0)附近做微量變化，試導(dǎo)出 h關(guān)于 Qr的線性化方程。解 將-h在ho處展開為泰勒級數(shù)并取一次近似d h1.,h = . ho|h ：

5、h 二.hohdt2h 0代入原方程可得嚀S點2二呵丘皿Q)在平衡工作點處系統(tǒng)滿足討ho 7r0(1)(2)(3)式(2)，( 3 )相減可得h的線性化方程d h -h - Qdt2, h02-4 試求題2-3圖所示各信號x(t)的象函數(shù)X(s)。0心為心(b) 題2七圖信號圖o I2(C)解(a)(b)X(t) = 1te (sintcost) 2 (t to)X (s)=-丄 es s丁 x(t) = a + (b a)(t ti) (b c)(t t2)c(t t3)X(s)= la (ba)e，is(bc)e2Sce3Ss44T4T4(c) x(t)=-右(t 一一)一右(t 一一)

6、=(tT)T2T22T22T24TsX(s)卩(1-2e2eJs)T s2-5求下列各拉氏變換式的原函數(shù)。(1)X(s)_s eS -1X(s)13X(s)s(s 2) (s 3) s +12s(s 2s 2)(1)x(t)原式-12(s 2)34(s 2)28(s 2)24s3( s 3)-2t3e丄24原式2s s2 2s 2 2s 2+ 1 (s 1)212 (s 1)21x(t) =2-6 已知在零初始條件下,系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t) =1 - 2et e，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。解單位階躍輸入時，有1R(s)，依題意s13s 21 - _ -C (s)：s s+2 s+1(

7、s+1)(s + 2)G 少3R(s) (s+1)(s+2)k(t) G(s) I- L二14 o -4-+ I_s -1 s 22-7已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)C二一2，且初始條件為C(O) = -1，c(0) =0，2R(s) s 3s 2 試求系統(tǒng)在輸入r(t)=1(t)作用下的輸出c(t)。解系統(tǒng)的微分方程為d 2c(t)dc(t)232c(t)=2r(t)dt2 dt考慮初始條件，對式(1)進行拉氏變換，得(1)2-82sS2 3s - 21422s C(s) s 3sC(s) 3 2C(s)C(s)(s2 3s 2廠? c(t) =1 _4e 2et求題2-8圖所示各有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)衛(wèi))C

8、|題2氣圖有源朗絡(luò)Uc(s)。Ur(s) 隔c必)衛(wèi))從)根據(jù)運算放大器“虛地”概念，可寫出Uc(s) _R2Ur(S)R1(b)Uc(s) R21C2S(1 + 尺。)(1 + R2C2S)Ur(s)R111 C1sR1C1C2s2(c)Uc(s)R1丄1 C1sR2 2Csr21CsR2Ur(s) _R1一R1 (1 R2Cs)2-9 某位置隨動系統(tǒng)原理框圖如題2-9圖所示，已知電位器最大工作角度Qm = 330 0，功率放大器放大系數(shù)為k3。(1) 分別求出電位器的傳遞函數(shù)ko，第一級和第二級放大器的放大系數(shù)&，k2 ；(2) 畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖；(3) 求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) Qc(s)

9、Qr(s)。題圖系統(tǒng)原理柜圖解(1)電位器的傳遞函數(shù)E301800KK oQo 応11兀Qm33001800根據(jù)運算放大器的特性，可分別寫出兩級放大器的放大系數(shù)為K1330 1010 103K232010210103(2)可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖解 2-9所示:電動機圖解9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖仆1仆3心Qc(S)_ S(TmS 1)芮K2KmKtKoKiKzKsKmTmS+1S(TmS+1)_ 1=Tm2 + 1 + K2&KmKt + 彳SS 1KoOQKsKmKoQQKsKm2-10飛機俯仰角控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題2-10圖所示，試求閉環(huán)傳遞函數(shù)題2-10圖飛機俯仰甬揑制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Qc(s) Qr(s)。解經(jīng)

10、結(jié)構(gòu)圖等效變換可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s) _0.7(s 0.6)32Qr(S) S (0.9 0.7K)s(1.180.42K)s0.68c(s)R(S)2-11已知系統(tǒng)方程組如下，試?yán)L制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)X(s) =G(s)R(s) -G (s)Gy(s)-G8(s)C(s)*X2(S)=G2(S)X1(S)G6(S)X3(S)X3(s)二X2(s) -C(s)G5(s)G3(s)C(s)二 G4(s)X3(s)解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖解2-11所示。利用結(jié)構(gòu)圖等效化簡或梅遜增益公式可求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為C(s)G1G2G3G4R(s) 1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G

11、3G4G7 - G1G2G3G4G82-12試用結(jié)構(gòu)圖等效化簡求題2-12圖所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)鵲。原圖=%)1 + GG2 + c?3t?4 十 G2G3 + G&0貝圈解 2-12 (a所以：(b)C(s)G1G2G3G4R(s) 1 GiG2 G3G4 G2G3 G1G2G3G4圈解 2-12 (b)C(s)Gi -G2R(s)1 -G2H(c)區(qū)圖=圖解2-12 3所以：C(s)G1G2G3R(s) 1 G1G2 G2G3 G1 G2G3(d)標(biāo)圖=*- Gj *就+%1 + G1Gl + GiGtHi + Gfj + G； JVa圖解2T2 Cd)C(s)G1G2G3 G1G4R(s

12、) 1 G1G2 H 1 G2G3H 2 G1G2G3 G1G4 G4H2(e)原圖=圖解 2-12(e)所以:C(s)G1G2G3G4R(s)1 G1G2H1 G2H1 G2G3H22-13已知控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如題2-13圖所示，求輸入r (t) = 3 1(t)時系統(tǒng)的輸出c(t)。解由圖可得又有C(s)二s2 2s 1R(s)22s 1(s 1)2(s 1)(S 3)趣213囲C(s)=(s 1)(S 3) sc(t)4 J丄丄|l_ss 1 s 32-14試?yán)L制題2- 14圖所示系統(tǒng)的信號流圖。2-L4-%)圖解2-142-15試?yán)L制題2-15圖所示信號流圖對應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖?？?5圖解2

13、T52-16試用梅遜增益公式求2-12題中各結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解(a)圖中有1條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路P- =G1G2G3G4， -1 =1, Lr - -G1G2，L2 = - G3G4，L3 = -GqGb，；： = 1 - (L1 L2 L3 ) L1L2，C(s)P1 二 1G1G2G3G4R(s) -1 G1G2 G3G4 G2G3 G1G2G3G4(b )圖中有2條前向通路，1個回路P =G1,也產(chǎn)1, P2 = -G2, 2=h L1=G2H， = 1 - L|C( s)P1 -1P - 2G1 -G2R(s)：G2H(c)圖中有1條前向通路，3個回路R

14、= G1G2G3， =1， L| = -G1G2，L2 = -G2G3， L3 = -G1G2G3， 2 二1(L1 L2 L3)，C(s) P 厶 1G1G2G3R(s) -1 G1G2 G2G3 G1G2G3(d )圖中有2條前向通路，5個回路R =G1G2G3，1 =1， P2 = G1G4，： 2 = 1，L1 = -G1G2 H 1，L2 = -G2G3H2，L3= -G1G2G3，L4= -G1G4，L5 = -G4 H 2，- =_ (L1L2L3 L4 L5)，C(s)P-1 巳=2G1G2G3 G1G4R(s)：1 G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3 G1G4 G4H2

15、(e)圖中有2條前向通路，3個回路R =G1G2G3， 匚1 =1， 卩2 二 G4， 匚 2 二 ，L1 二 -G1G2H1， L - -G2 H1， L3 二 -G2G3H 2，= 1 - (L1 L2 L3)，C(s)P/P2D 十 Pd Q 十GG2G3P2G4R(s)1 G1G2H G2H1 G2G3H22-17試用梅遜增益公式求題 2-17圖中各系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。則有*伍恥)%)H】T t%r0)2-17 圖解(a)圖中有1條前向通路,R = G1G2G3G4,L1 = G2G3 H1 L4 二-G3G4 H 2,C(s) _ RdR(s)-:L2A4個回路=1=-G1G2G3

16、H 3,十館 L2L3L4)L3 二 G1G2G3G4 H 4,G1G2G3G41 G2G3H1G1G2G3H G1G2G3G4H 4 G3G4 H 2(b )圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路R =G1G2G3，匚 1=1,卩2-G3G4,- 2 =1Lt - 1 G1H 1 ,L -G1 Hq L2 = G3H 3,L3 二-G1G2G3H1H2H3,則有R(s)=1 -(LL2 L3) - L1L2,G1G2G3G3G4(1G1 h 1)1 G1H1 -G3H3G1G2G3H1 H2HG1H 1G3H3(c)圖中有4條前向通路,5個回路R - -G1，P2 = G1G2,R

17、j = G2,P4 = G2G1 ,則有則有L1 =G1， L2 - -G1G2,丄 1 = ： 2 = ： 3 = ： 4 = 1，L3 - -G2，:=1-( L1C(s)R 也1 + P2 也 2 + F3 也3 + P4也 4R(s)G1 G1G2 G2 G2G1L4 - -G2G1,L5 - -G1G2，L2L3L4),1 1 G1G2 G2 G2G1 G1G2(d )圖中有2條前向通路，5個回路P= G1G2,:-1 = 1,P2=G3,匚 2 =1,L1 = G2 H 1， L2 = _G1G 2 H，1 -(L1 L2 L3 L4 L5),C(S)_ R 1P2 ：2R(s)

18、一2G1G G1 G21 1 G2 3G1G22，L3 = -G1G2，L4 = -G3, L = G3H 1G2H 2 ,G1G2 G31 G2H1G1G2h 2 G1G2 G -G3H1G2 h2(e)圖中有2條前向通路，3個回路，有1對互不接觸回路R 二 G1G2G3，匚 1=1，P2 二G4G3，： 2 = 1 - L1，L1 - -G1G2H1，L2 - -G3H 2，L3 - -G2H3，L2 L3)L1L2,則有2-18已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如題G1G2G3 G4G3(1 G1G2H1)1 g1g2h1 g3h 2 g2h3 g1g2g3h1h22-18圖所示，圖中R(s)為輸入信號，

19、N(s)為干擾信號, 試求傳遞函數(shù)少，。R(s) N(s)3)題2-18圖C19。圖中有2條前向通路,3個回路，有1對互不接觸回路R(s)解(a)令 N(s) =0，求P1= G1G2,.冷=1,P2= G1G3,.:2 = 1 -Lj= 1 G2H ,Li- -G2 H , L2 - -G1G2, L3 -G1G3,館 L2 L3) L1L 3,則有 C(s) R 1 P2 2G1G2 G1G3U G2H)R(s)也1 + G2 H + G1G2 + G1G3 + G1G2G3 H令R(s) =0,求 C廻。有3條前向通路，回路不變。N(s)P = -1， 1 = 1 - L1， P2 = G4G1G2，二 2 = 1，p