空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用

1、空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用第25卷第2期2005年6月測繪科學(xué)與工程geomaticscienceandengineeringvo1.25.no.2jun.2005空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用陳廣學(xué)劉愛龍張德楊學(xué)偉【摘要】地理信息系統(tǒng)中的空間分析功能是靠建立大量的分析模型來實現(xiàn)的,數(shù)學(xué)建模方法在其中占有重要地位.本文舉例介紹了微積分在空間分析與建模中的應(yīng)用,包括最優(yōu)化分析,城市人口推算及個體群的成長和衰退規(guī)律等,這些方法和模型對利用gis技術(shù)解決同類問題時可起到一定的參考作用.【關(guān)鍵詞】空間分析;數(shù)學(xué)建模;微積分;個體群模型【分類號1p228themethodandapplicati

2、onofcalculousmodelinginspatialanalysischenguangxueliuailongzhangdeyangxueweiabstracttherealizationofspatialanalysisingisreliesontheestablishmentofconsiderablenumbersofanalysismodels.themathematicalmodelingplaysanimportantroleinthemodelingmethods.thispaperintroducestheapplicationsofcalculusinspatiala

3、nalysisandmodeling,includingoptimizationanalysis,citypopulationcalculation,thelawofpopulationboomanddeclineandsoon.thesemethodsandmodelscanbeusedforreferencewhensolvingsimilarproblemsbygistechniques.keywordsspatialanalysis;mathematicalmodeling;calculus;populationmodel1前言2最優(yōu)化分析微分在空問分析地理空間信息學(xué)的研究對象是由點,

4、線,面這類幾何形狀構(gòu)成的地理要素(或現(xiàn)象),并通過這些幾何形狀及相關(guān)的屬性數(shù)據(jù)分析現(xiàn)象間的空間關(guān).地理信息系統(tǒng)(gis)的發(fā)展和應(yīng)用,為解決與地理空間信息相關(guān)的社會和經(jīng)濟問題提供了強有力的手段.地理信息系統(tǒng)的突出優(yōu)勢在于它具有很強的空間數(shù)據(jù)分析和處理功能,但這些分析功能的實現(xiàn),是建立在大量的分析模型基礎(chǔ)之上.其中,數(shù)學(xué)建模經(jīng)常應(yīng)用的建模方法,有概率論,圖論,微積分,線性代數(shù),小波理論等數(shù)學(xué)方法.本文通過一些具體事例介紹了微積分在空間信息分析建模中的應(yīng)用,對利用gis技術(shù)解決相關(guān)問題可以起到一定的參考作用.西安測繪研究所研究員中的應(yīng)用微分在空間數(shù)據(jù)分析中最重要的應(yīng)用,是求函數(shù)的最大和最小值,即所

5、謂的最優(yōu)化分析.這里有企業(yè)效益的最大化和費用的最小化問題,也有決策者尋求適于自己的最佳值的問題l3.下面,以經(jīng)濟地理學(xué)中經(jīng)常遇到的最優(yōu)化問題為例進行討論.我們考察一個能夠用長度l表示的線性市場(1inearmarket).假定購買力均勻分布,且不同地區(qū)的生產(chǎn)費用相同,分析這個企業(yè)的生產(chǎn)效益.通常認(rèn)為消費者的需求量隨著遠(yuǎn)離企業(yè)而降低,所以在離企業(yè)距離為r的地點,消費者的需求量q可以用下面的需求曲線表示:第2期陳廣學(xué),劉愛龍,張德,楊學(xué)偉:空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用5qnb(p+tr)(2.1)3其中,p是每件制品的工廠價格,t是一個往返的運輸費,n和b是正的常數(shù).那么,在市場半徑為r的范圍

6、內(nèi)企業(yè)的產(chǎn)出量q可用如下方程求得:rrq一2lnb(p+tr)drj02(一rbtr/b)(2.2)這里,問題的關(guān)鍵在于如何確定對企業(yè)來說效益最大的價格,并進而求出欲得到最大效益所需的生產(chǎn)量.我們可以先用如下的效益方程分析一下企業(yè)的效益y:yq(pf)一f(2.3)其中,c為基本費用(制造一個單位制品需要的費用),f為固定費用.將(2.2)式代入(2.3)式,可得(2.4)式.這樣,效益可用市場半徑r的函數(shù)來表示:y一2(一rbtr/2)(pf)一f(2.4)將上式對r進行偏微分,為達到效益最大化,則3y/or一2(nbpbtr)(pf)一0由此得到效益最大化的市場半徑為:r一(nbp)/bt

7、(2.5)在效益函數(shù)中對工廠價格p進行偏微分,求效益最大化的價格,則有:oy/op一2ar一4bprbtr2bcr一0將(2.5)式代入上式,對p進行整理,得效益最大化的價格p*為:p一a/3b+2c/3(2.6)要得到這樣的價格,企業(yè)的產(chǎn)出量可將(2.5)和(2.6)式代入(2.2)式經(jīng)整理后求出:q一(nbp)/bt(2.7)那么,這種情況下的總收益tr可由(2.8)求得.(mulligan,1984):trpq(2.8)面積求解與城市人口推算積分的應(yīng)用在地理信息分析中,積分多用于求某一函數(shù)表達式的面積.特別是在經(jīng)濟地理和城市模型論中,通常認(rèn)為以城市為中心的商業(yè)圈和都市圈呈現(xiàn)圓形,當(dāng)求其面

8、積時常常應(yīng)用積分方法.這里,作為積分應(yīng)用的例子,介紹一個圓形城市中總?cè)丝诘耐扑惴?如圖1所示,我們考察一個以市中心為圓心,半徑為r的圓形城市.在這個城市中,位于距市中心距離為r的地方人口密度可以用(3.1)式所示的負(fù)指數(shù)函數(shù)來表示:d(r)一de(3.1)圖1圓形城市其中,d.代表市中心的人口密度,n表示隨著離開市中心的距離的增加人口密度降低的系數(shù).于是,我們便可以求出在該城市中,內(nèi)徑為r,外徑為r包圍出的環(huán)形區(qū)內(nèi)的人口p(r,rz).對于內(nèi)徑r,假設(shè)外徑為r+,則由r和r+包圍出的微小環(huán)形的面積,近似地可用2給出.并且,由于距離為r的地點人口密度為d(r),則該環(huán)形區(qū)域內(nèi)的人口為:p(r,r

9、+)一2a-rr?d(r)(3.2)由于非常微小,r和r間的環(huán)形人口可用定積分(3.3)式表示.6陳廣學(xué),劉愛龍,張德,楊學(xué)偉:空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用第2期p(r1,r2)一l2丌r?d(r)drjr14微分方程和個體群模型的應(yīng)用在生態(tài)學(xué)中,通常將人類或者細(xì)菌等這類同種生物組成的團體稱為個體群(population),并用微分方程表現(xiàn)其成長和衰退的規(guī)律.現(xiàn)在,個體群模型在地理學(xué)開始得到應(yīng)用.下面以兩個地理學(xué)中常用的個體群模型為例,介紹微分方程的應(yīng)用方法.4.1指數(shù)函數(shù)模型我們用函數(shù)(f)表示t時刻的個體數(shù)(個體群成員的總數(shù))比如人口數(shù),t的一個單位內(nèi)個體數(shù)增加率用y()/y(t)表示

10、,并假定該增加率僅依賴于同時間點的個體數(shù).則可考察/yf(),或者y一f(y)y(4.1)的情況.其中,f()表示與y相關(guān)的函數(shù),這一函數(shù)可用如下的冪級數(shù)展開:f()一r+r1y+2y+(4.2)那么,最簡單的情況是f()一r,即y一ry(4.3)其中,r為比例常數(shù).若設(shè)出生率為b,死亡率為d,則,可寫成r=:bd.因此,r>0說明出生率大于死亡率.r<0則相反.(4.3)式在人口學(xué)中被稱為馬爾薩斯人口法則.下面,我們具體解算(4.3)式.這個方程的右邊是t的函數(shù)(這里為1)和y的函數(shù)之積形成的變量分離型.我們將含有y的項移到左邊,對兩邊進行積分,則有專d=上式又可表示為lnyf1

11、+那么,ye=ee.若設(shè)c=e,可得現(xiàn)在,作為初始條件,我們設(shè)t一0時初始值為a.,則滿足(0)一n.時,ca.,求出的解為ya0e(4.4)(4.4)式的解因r的不同而有很大差異.r一0時,個體數(shù)不變化;r>0時,個體數(shù)按指數(shù)函數(shù)增加;r<0時,個體數(shù)的增加衰減為0.4.2羅杰斯特曲線(1ogisticcurve)模型根據(jù)方程(4.4)式,r>0時個體數(shù)將隨時間無限增加,這顯然是不正常的,比較現(xiàn)實的情況應(yīng)該是會接近于某個有限的值.即出生率b和死亡率d并非總是保持不變的,可以認(rèn)為個體數(shù)增加時b將降低,d將上升,b和d都為個體數(shù)y的函數(shù).現(xiàn)在假定隨個體數(shù)的增加,出生率直線減少,

12、于是b可表示為:bbokby(4.5)其中,b.為個體數(shù)非常小時b所趨近的值,走為出生率的減少斜率,它們都是正的常數(shù).另外,我們再假定死亡率隨個體數(shù)的增加而直線增加,如(4.6)式所示:dd+kjy(4.6)其中,d.為個體數(shù)非常小時d所趨近的值,走為死亡率的增加斜率,它們也都是正的常數(shù).我們再設(shè)定兩個常數(shù)a和k分別為:n=走+走k一魯c4.7則r一(6一)可根據(jù)(4.5),(4.6)和(4.7)式表示為:r=a(k)(4.8)這樣,一個改良的個體群力學(xué)模型便可表示為:y=&(ky)y,(0)=no>0(4.9)這相當(dāng)于將(4.2)式的一部分f()一r+ry代入(4.1)式得到的

13、結(jié)果,即y一(r+ry)y.這一模型稱為羅杰斯特方程,除用于空間分析之外,在第2期陳廣學(xué),劉愛龍,張德,楊學(xué)偉:空間分析中的微積分建模方法和應(yīng)用7社會學(xué)和心理學(xué)中也被廣泛應(yīng)用.從羅杰斯特方程可以看出,(4.9)式等于0時(即出生率等于死亡率時),處于平衡狀態(tài),個體數(shù)維持穩(wěn)定的數(shù)量.由于這時即是.yk的情況,所以k被稱為環(huán)境容納力,意味著個體數(shù)的上限.k>.y時個體數(shù)增加,k<.y時個體數(shù)減少.下面我們求(4.9)式的微分方程的一般解.該羅杰斯特方程含有.y.項,是二次非線性方程的一種.同時,它又是37的函數(shù)和.y的函數(shù)之積,也可以當(dāng)作變量分離型的特殊情況來考慮.因此,可在方程兩邊都

14、除以(k)y,然后再對其進行積分.推導(dǎo)過程為:d.y一口dfk(一.y)y因為一c南一對其解算,則有一cj南j=njdf一1n(k一.y)一in(y)一+qlnf孚f=一kat+f.因此二一cekat.y對該方程求.y的解,可得k.yt將t一0時的初始值n.考慮進去的話,由于有fk/.一1,所以可以得到羅杰斯特方程的特解為:t干面(4.1o)一丁f.圖2顯示了n>0,k>0時(4.10)式的解的情況.k/2<00<圖2羅杰斯特曲線當(dāng)取初始值口.為0<<k/2時,在k/2處有一個轉(zhuǎn)折點,表示趨近于yk時的羅杰斯特曲線.當(dāng)k/2<n.<k時,曲線以上升趨勢接近于yk;當(dāng).>k時,曲線以下降趨勢接近于yk.該羅杰斯特曲線作為具有上限k的成長曲線,可在許多領(lǐng)域得到應(yīng)用.5結(jié)束語利用微積分原理進行數(shù)學(xué)建模,可以解決空間分析中的許多問題,如最優(yōu)化分析問題(包括邊界值求解和尋求企業(yè)效益最大化等),面積量算與城市人口推算問題以及個體群的成長和衰退規(guī)律等問題.本文介紹的方法和模型,是針對空間分析建模中常見的典型問題,實際應(yīng)用中根據(jù)研究對象的特點不同,需要建立與之相適應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.參考文獻1高阪宏行.計量地理學(xué)方法榆的諸同題空同,夕一/力,空同的7o口電滅/,j.地理學(xué)評輸,1975,48.5315