斐波那契數(shù)列的魅力研究性論文1

1、斐波那契數(shù)列的魅力【摘要】斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。它的通項(xiàng)公式為：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根號(hào)5】 很有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式居然是用無(wú)理數(shù)來(lái)表達(dá)的【關(guān)鍵詞】斐波那契數(shù)列（數(shù)學(xué)）【正文】背景目的：生活中到處存在著迷惑和困境，但卻又到處充滿(mǎn)了新鮮與樂(lè)趣，讓人類(lèi)對(duì)未知的事物，對(duì)新奇的東西產(chǎn)生了興趣，讓人們不斷地摸索，探求，這就是事物的魅力，也是人類(lèi)的本性而當(dāng)萊奧納爾多（“斐波那契數(shù)列”的發(fā)明者）在算經(jīng)中提出了著名的“斐波那契數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，

2、13，21，34，55，.，其中每項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和。這是歐洲最早出現(xiàn)的遞歸數(shù)列。一個(gè)了不起的成就出現(xiàn)了。而具有諷刺意味的是：斐波那契在今天的著名，是緣于一個(gè)數(shù)列而這個(gè)數(shù)列則來(lái)自他的算盤(pán)書(shū)中一道并不出名的問(wèn)題他當(dāng)時(shí)寫(xiě)這道題只是考慮作為一個(gè)智力練習(xí)然而，到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家e盧卡斯出版了一部四卷本的有關(guān)娛樂(lè)數(shù)學(xué)方面的著作時(shí)，才把斐波那契的名字，加到該問(wèn)題的解答和所出現(xiàn)的數(shù)列上去 這也引起了我對(duì)它的好奇和向往，究竟是什么能夠使原來(lái)希臘人和羅馬人使用的那一套陳舊的數(shù)字記號(hào)致受打擊呢？這一定不只是一個(gè)簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的數(shù)列。它其中又包含有什么魅力在其中呢？方法過(guò)程： 我們先從算盤(pán)書(shū)中引致斐波那契數(shù)列的問(wèn)題來(lái)

3、探討吧：1）假定一個(gè)月大小的一對(duì)兔子（雄和雌的），對(duì)于繁殖還太年輕，但兩個(gè)月大小的兔子便足夠成熟又假定從第二個(gè)月開(kāi)始，每一個(gè)月它們都繁殖一對(duì)新的兔子（雄和雌的）2）如果每一對(duì)兔子的繁殖都按上面說(shuō)的同樣的方式試問(wèn)，從開(kāi)始起每個(gè)月有多少對(duì)兔子呢？免子的對(duì)數(shù)斐波那契數(shù)列的每一項(xiàng)，都等于它前兩項(xiàng)的和用公式表示為：fn=fn-1+fn-2（例子摘自百度百科）那時(shí)，斐波那契并沒(méi)有去研究這種數(shù)列的結(jié)果，從而他沒(méi)有給出任何真正有意義的東西一直到19世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家們開(kāi)始對(duì)這個(gè)數(shù)列感興趣時(shí)，它的性質(zhì)和它所觸及的領(lǐng)域，才開(kāi)始顯現(xiàn)出來(lái)（斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”

4、。）然而，在這其中一定還有其他值得我們?cè)偃ヌ剿鞯?，我們從中還可以觀(guān)察到相鄰兩個(gè)菲波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比的，那么菲波那契數(shù)列與黃金分割會(huì)不回有什么關(guān)系呢？于是我經(jīng)網(wǎng)上查找得知，有關(guān)研究報(bào)告中發(fā)現(xiàn)，由于菲波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個(gè)整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個(gè)無(wú)理數(shù)。即f(n)/f(n-1)-0.618。但是當(dāng)我們繼續(xù)計(jì)算出后面更大的菲波那契數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實(shí)是非常接近黃金分割比的。 那就讓我來(lái)舉一個(gè)很能說(shuō)明問(wèn)題的例子吧。例如五角星或說(shuō)是正五邊形。五角星是非常美麗的，我們的國(guó)旗上就有五顆，還有不少?lài)?guó)家的國(guó)旗也用五角星，這是為什么？因?yàn)樵谖褰切?/p>

5、中可以找到的所有線(xiàn)段之間的長(zhǎng)度關(guān)系都是符合黃金分割比的。正五邊形對(duì)角線(xiàn)連滿(mǎn)后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。 由于五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18度。 黃金分割點(diǎn)約等于0618：1 是指把一線(xiàn)段分為兩部分，使得原來(lái)線(xiàn)段的長(zhǎng)跟較長(zhǎng)的那部分的比為黃金分割的點(diǎn)。線(xiàn)段上有兩個(gè)這樣的點(diǎn)。 利用線(xiàn)段上的兩黃金分割點(diǎn)，可作出正五角星，正五邊形。 而就在2000多年前,古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割。所謂黃金分割，指的是把長(zhǎng)為l的線(xiàn)段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比。而計(jì)算黃金分割最簡(jiǎn)單的方法，是計(jì)算斐波那契數(shù)列1，

6、1，2，3，5，8，13，21，.后二數(shù)之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,.近似值的。還有蘇格蘭人robert simson也證明了，當(dāng)項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比趨近黃金分割，也就是1.61803398875。這也許說(shuō)明了斐波那契數(shù)列與黃金分割有天然的聯(lián)系。如斐波那契螺旋就是最直接的例子。如果順逆時(shí)針螺旋的數(shù)目是斐波那契數(shù)列中相鄰的2項(xiàng)，可稱(chēng)其為斐波那契螺旋，也被稱(chēng)作黃金螺旋。這樣的螺旋能最佳利用圓周，疏密最為均勻。它的構(gòu)造方法也不難，只需先用同樣是與斐波那契數(shù)列有關(guān)的數(shù)構(gòu)造黃金矩型（長(zhǎng)寬之比為黃金分割），再在每個(gè)矩形中各描繪出一條1/4圓弧，讓各段弧彼此連接

7、。這樣的黃金矩形也往往能一些藝術(shù)名作中找到，如達(dá)芬奇著名的作品蒙娜麗莎。（摘自bzhang.lamost） 因此，這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫(huà)、雕塑、音樂(lè)、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用。那么對(duì)于斐波那挈數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)我也產(chǎn)生了濃厚的興趣。查閱了一些書(shū)籍，可以推出：設(shè)常數(shù)r,s使得f(n)-r*f(n-1)=s*f(n-1)-r*f(n-2)則r+s=1, -rs=1n3時(shí)，有f(n)-r*f(n-1)=s*f(n-1)-r*f(n-2)f(n-1)-r*f(n-2)=s*f(n-2)-r*f(n-3)f(n-2)-r*f(n-3)=s*f(n-3)-

8、r*f(n-4)f(3)-r*f(2)=s*f(2)-r*f(1)將以上n-2個(gè)式子相乘，得：f(n)-r*f(n-1)=s(n-2)*f(2)-r*f(1)s=1-r，f(1)=f(2)=1上式可化簡(jiǎn)得：f(n)=s(n-1)+r*f(n-1) 那么：f(n)=s(n-1)+r*f(n-1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*f(n-2)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*f(n-3)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*f(1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r

9、2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)（這是一個(gè)以s(n-1)為首項(xiàng)、以r(n-1)為末項(xiàng)、r/s為公差的等比數(shù)列的各項(xiàng)的和）=s(n-1)-r(n-1)*r/s/(1-r/s)=(sn - rn)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+5)/2, r=(1-5)/2則f(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n （詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程摘自百度百科） 其實(shí)，該數(shù)列還有一項(xiàng)性質(zhì)，從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1，每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少1 如果你看到有這樣一個(gè)題目：某人把一個(gè)8*8的方格切成四塊，拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形，故作

10、驚訝地問(wèn)你：為什么6465？其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過(guò)后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到 。這一切是不是都很有趣呢？ 還有如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項(xiàng)之比也越來(lái)越逼近黃金分割，且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值。只要耐心發(fā)現(xiàn)，在自然界中的斐波那契數(shù)列也有最典型的例子，就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或樹(shù)葉。薊、菊花、向日葵、松果、菠蘿都是按這

11、種方式生長(zhǎng)的。如此的原因很簡(jiǎn)單：這樣的布局能使植物的生長(zhǎng)疏密得當(dāng)、最充分地利用陽(yáng)光和空氣，所以很多植物都在億萬(wàn)年的進(jìn)化過(guò)程中演變成了如今的模樣。當(dāng)然受氣候或病蟲(chóng)害的影響，真實(shí)的植物往往沒(méi)有完美的斐波那契螺旋。每層樹(shù)枝的數(shù)目也往往構(gòu)成斐波那契數(shù)列。另外，晶體的結(jié)構(gòu)也往往與斐波那契數(shù)列有關(guān)。結(jié)論：斐波那契亞數(shù)列給人們的思維帶來(lái)了新的突破，引起了人們對(duì)生活更多的思考，由于斐波那契數(shù)列還出現(xiàn)在：1）帕斯卡三角形，二項(xiàng)展開(kāi)式和概率2）黃金比值和黃金矩形3）自然和植物4）使人感興趣的數(shù)學(xué)戲法5）數(shù)學(xué)恒等式也使得學(xué)術(shù)的綜合融解,使人們的思維創(chuàng)新，在生活中的巧妙運(yùn)用，這些都是斐波那契亞數(shù)列的魅力之處。這次研究性活動(dòng)也使我在思維上得到了新的突破，在知識(shí)上得到了更多的認(rèn)識(shí)，每一樣看上去似乎不相關(guān)的東西，往往它們卻存在著緊密的聯(lián)系。使我