矩陣1-概念計算

1、1 矩陣的概念及運(yùn)算矩陣的概念及運(yùn)算 2 矩陣的概念矩陣的概念 ,(1,2,;1,2, ), ij Pm naim jn mn 數(shù)數(shù)域域 中中個個數(shù)數(shù) 按按照照一一定定的的順順序序排排成成 行行 列列的的數(shù)數(shù)表表 ,(),(1,2,; 1,2, ) m nijm n P m nA AAaim jn 稱稱為為數(shù)數(shù)域域 上上 的的矩矩陣陣 記記作作 、或或 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa 3 n n階方陣：階方陣： ,mnAnn 當(dāng)當(dāng)時時 稱稱 為為 階階矩矩陣陣或或 階階方方陣陣 主對角線上的元素：主對角線上的元素： 11 22 121 212 12 n

2、n nnnn aa aa a a aaa L L LLL L L 行矩陣：行矩陣： 只只有有一一列列的的矩矩陣陣 只只有有一一行行的的矩矩陣陣 列矩陣：列矩陣： 1 2 m b b b M 12 (,) n aaaL 4 零矩陣：零矩陣： m n mnOO 所所有有元元素素為為零零的的矩矩陣陣稱稱為為零零矩矩陣陣, , 零零矩矩陣陣記記作作或或 11 22 00 00 00 nn a a a L L L L L LL 對角方陣：對角方陣：單位矩陣：單位矩陣： 00 00 00 1 1 1 E L L L LLL L 下三角矩陣：下三角矩陣：上三角矩陣：上三角矩陣： 11 2122 12 M M

3、M MO O L L nnnn a aa A aaa 11121 222 n n nn aaa aa A a L L L L OMOM 5 (),(), , (1,2,;1,2, ) ,. ijij ijij AaBbmn ab im jn ABAB 如如果果都都是是矩矩陣陣 并并且且它它們們對對應(yīng)應(yīng)的的元元素素都都相相等等, ,即即 ，則則稱稱為為矩矩陣陣 和和矩矩陣陣 相相等等 記記為為 矩陣相等矩陣相等 6 矩陣的加法矩陣的加法 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 11121 21222 12 n n mmmn bbb bbb B bbb , 11

4、11121211 2121222222 1122 nn nn mmmmmnmn ababab ababab CAB ababab 7 性質(zhì)：性質(zhì)：1ABBA ） 2 ()()ABCABC ） 3AOOAA ） 負(fù)矩陣：負(fù)矩陣： 11121 21222 12 n n mmmn bbb bbb B bbb ； 11121 21222 12 n n mmmn bbb bbb bbb B 1111121211 2121222222 1122 () nn nn mmmmmnmn ababab ababab ABAB ababab 矩陣的減法矩陣的減法 8 數(shù)與矩陣的乘法數(shù)與矩陣的乘法 11121 212

5、22 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 11121 21222 12 n n mmmn kkaaa aaa aa k kkk kkka kA 1()k ABkAkB ） 性質(zhì)：性質(zhì)： 2 ()kh AkAhA ） 3 ()()kh Ak hA ） 4 1,( 1)AAAA ） 9 例例1 13251 1 ,(A+B);AB4524 2 6732 AB 求求 325121 452429 673239 AB 10 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 ,.ABAB只只有有當(dāng)當(dāng) 的的列列數(shù)數(shù)等等于于 的的行行數(shù)數(shù)時時才才有有意意義義 (),(), ,() ijij ij AaBb AB

6、C mn mc s C s n 設(shè)設(shè)為為矩矩陣陣為為矩矩陣陣 它它們們的的乘乘積積是是一一個個矩矩陣陣, , 其其中中 1122 1 , (1,2,;1,2, ) iiii s sskk k jjjjij ca ba ba ba b im jn L LL 相關(guān)結(jié)論：相關(guān)結(jié)論： 1.1.一般而言，矩陣的乘法不滿足交換律一般而言，矩陣的乘法不滿足交換律 3.3.一般情況下，矩陣的乘法不滿足消去律一般情況下，矩陣的乘法不滿足消去律 2.2.兩個非零矩陣的乘積也可能是零矩陣兩個非零矩陣的乘積也可能是零矩陣 1111 , 1111 AB 00 00 A B 11 性質(zhì)：性質(zhì)： 1)()()AB CA B

7、C 2)();()A BCABACBC ABACA 4) ()()()ABA BAB 3)E,E m nnm nmm nm n AAAA 線性方程組線性方程組 的矩陣表示的矩陣表示 11112211 21122222 1122 nn nn mmm nnm axaxaxb axaxaxb axaxaxb L L LL L 11121 21222 12 ; n n mmmn aaa aaa A aaa L L LLLL L 1 2 ; n x x X x M 1 2 m b b B b M BAX 12 增廣矩陣：增廣矩陣： 111211 212222 12 n n mmm nm aaab aaa

8、b A aaab L L % LLLLL L 線性方程組線性方程組 矩陣表示矩陣表示 ABC ABC為同階為同階 對角矩陣對角矩陣 11 22 nn a a A a O O 11 22 nn b b B b 11 22 nn c c C c 11 11 11 222222 nnnnnn a b c a b c ABC a b c 1 1）有限個對角矩陣的乘積還是對角矩陣，其主對角元是各個對角矩）有限個對角矩陣的乘積還是對角矩陣，其主對角元是各個對角矩 陣對應(yīng)的主對角元相乘積陣對應(yīng)的主對角元相乘積. . 2 2）同階上（下）三角陣之積還是上（下）三角陣）同階上（下）三角陣之積還是上（下）三角陣.

9、 . 13 方陣的冪方陣的冪 012 1 , ,(2,3, ). kk AE AA AAA AAA kn L L 性質(zhì)：性質(zhì)： 1) kpkp A AA 2)() kpkp AA3)() kkk ABA B 1 110 4) ( )L kk kk f x cx c xcx c 1 110 ( ) kk kk f Ac Ac AcAc E L 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置 21 22 11 1 2 2 1 1 2 m m nnmn a a a a a a a aa L L LLLL L T A A 1112 2 22 1 22 1 1n m n mmn a A a aaa a a a a L L LLL

10、L L 14 性性 質(zhì)：質(zhì)： (1)(); TT AA(2)() TTT ABAB (3)(); TT AA(4)()T TT ABB A 對稱矩陣：對稱矩陣： 若矩陣若矩陣A A與其轉(zhuǎn)置矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣A AT T相等，即相等，即A AT T=A=A，則稱，則稱 A A為對稱矩陣為對稱矩陣 反對稱矩陣：反對稱矩陣：若矩陣 若矩陣A AT T = -A = -A 相等，則稱相等，則稱A A為反對稱矩陣為反對稱矩陣 方陣的行列式方陣的行列式 , () ,| d e t. nAA AA A 設(shè)設(shè) 有有階階 方方 陣陣則則的的 元元 素素 行行 列列 次次 序序 不不 變變所所 構(gòu)構(gòu) 成成 的的 行行 列列 式式 叫叫 作作的的 行行 列列 式式記記 作作或或 者者