立體幾何中二面角的求法(教師版)

1、3la圖 4l231a f高二文科數學培優(yōu)： 立體幾何中二面角的求法編寫：林洪兵 2016-1-6一、定義法：例 1:如圖 1，設正方形 abcd-a b c d 中，e 為 cc 中點，求截面 a bd 和 ebd1 1 1 ！ 1 1所成二面角的度數。分析與解 ：本題可用定義法直接作出兩截面 a bd、ebd 所成二面角的平面1角，設 ac、bd 交于 o，連 eo，a o，由 eb=ed，a b=a d 即知 eobd，a obd，1 1 1 1故eoa 為所求二面角的平面角。1例 2 如圖 3，設三棱錐 v-abc 中，va底面 abc，abbc，de 垂直平分 vc，且分別 交 ac

2、、vc 于 d、e，又 va=ab，vb=bc，求二面角 e-bd-c 的度數。分析與解 本題應用垂線法作出二面角的平面角，因vbc 為等腰 三角形，e 為 vc 中點，故 bevc，又因 devc，故 vc平面 bed，所 以 bdvc，又 va平面 abc，故 vabd，從而 bd平面 vac。變式 1：正方體 abcd-a b c d 中，求二面角 a-bd-c 的正切值為1 1 1 1 1分析與略解：“小題”不必“大做”，由圖 1 知所求二面角為.二面角 c-bd-c 的“補角”.教材中根本就沒有“二面角的補角”1這個概念，但通過幾何直觀又很容易理解其意義，這就叫做直覺例 3(2006

3、 年陜西試題)如圖 4，平面 a平面 b， a b=l，a a，b b ，點 a 在直線 l 上思維，在立體幾何中必須發(fā)展這種重要的思維能力.易知coc1是二面角 c-bd-c 的平面角，且 tancoc = 2 。1 1將題目略作變化，二面角 a -bd-c 的余弦值為 .1 1在圖 1 中，a oc 是二面角 a -bd-c 的平面角，設出正方體的棱長，用余弦定理易求得1 1 1 11cosa oc =1 1二、三垂線法這是最典型也是最常用的方法，當然此法仍扎“根”于二面角平面角的定義.a的射影為 a ，點 b 在 l 的射影為 b ，已知 ab=2，aa =1，bb = 2，求： 1 1

4、 1 1 ef()略；()二面角 a abb 的正弦值.1 1分析與略解：所求二面角的棱為 ab，不像圖 3 的那樣一看就明白 1b的狀態(tài)，但本質卻是一樣的，對本質的觀察能力反映的是思維的深刻性. 作 a eab 于 ab 于 e，則可證 a e平面 ab b.過 e 作 efa1 1 1 1 1b 交 ab 于 f，連接 a f，則得 a fab，a fe 就是所求二面角的1 1 1平面角.bab1此法最基本的一個模型為：如圖 3，設銳二面角 a-l -b，過面 a內一點 p 作 pa a于 a，作 abl 于 b，連接 pb，由三垂線定理得 pbbl，則pba 為二面角 a-l -b的平面

5、角，故稱此法為三垂線法.paab2依次可求得 ab =b b= 2，a b= 3 ，a e= ，a f=1 1 1 1 16= .32a e，則在 rta ef 中，sina fe=1 11最重要的是在“變形(形狀改變)”和“變位(位置變化)”中能迅速作 圖 3出所求二面角的平面角，再在該角所在的三角形(最好是直角三角形，如圖 3 中的 rtpab)中求解. 對于鈍二面角也完全可以用這種方法，銳角的補角不就是鈍角嗎？三、垂面法：例 3 如圖 6，設正方體 abcd-a b c d 中，e、f 分別是 ab、c d 的中點。1 1 1 1 1 12 2 22 2oo（1）求證：a 、e、c、f

6、四點共面；1（2）求二面角 a -ec-d 的正切值的大小。1分析與證明 （1）要證 a 、e、c、f 四點共面，可證：a、f/ec，取 dc1中點 h，連 ah、fh，則 ah ec，又 fh a a。故 a f/ah，即 a f/ec，1 1 1從而 a、e、c、f 四點共面。（2）要求二面角 a -ec-d 的大小，先要作出二面角的平面角，本題可1用三垂線法，因 fh底面 abcd 于 h，過 h 作 hmec 于 m，連 fm，則由 三垂線定理知 fmec。例 4. 如圖 10，設正三棱柱 abc-abc各棱長均為 ，d 為 cc 中點，求平面 abd1與平面 abc 所成二面角的度數

7、。分析與解 由圖，平面 abd 與平面 abc 只出現一個交點，故延長 ad 交 ac 延長線于 f 點，連 bf，則 bf 為所求二面角的棱。因 cd=cd，則 ac=cf=bc=ac，所以abf=90，取 bf 中點 e，連 de，則 cebf， 又 dc平面 abf，即 debf，從而dec 為所求二面角的平面角。所以hmf 為所求二面角 a -ec-d 的平面角。1說明本題也可用射影法求二面角的度數。五、射影法例 5 如圖 12，設正方體 abcd-a b c d 中，m 為 aa 上點，a m:ma=3:1,求截面 b d m 與底面1 1 1 1 1 1 1 1abcd 所成二面角

8、的余弦值。例 4 空間的點 p 到二面角 a-l -b的面 a 、 b 及棱 l 的距離分別為 4、3、2 393，求二面角 a-l -b的大小.分析與略解：如圖 5，分別作 pa a 于 a，pb b 于 b，則易知l平面 pab，設 l平面 pab=c，連接 pc，則 lpc.2 39 2 3 5 3分別在 rtpac、rtpbc 中，pc= ，pa=4，pb=3，則 ac= ，bc= .3 3 3分析與解 ：本題應用“射影法”求截面 b d m 與底面1 1abcd 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。因為 p、a、c、b 四點共圓，且 pc 為直徑，設 pc=2r，二面角 a-l -b的大小為 q 分別在pab、abc 中，由余弦定理得.因是正方體，所以 b