大一高數(shù)期末考試題(精doc

1、1. (A) 設(shè) f ( x) cos x(x f (0) 2(B)f (0)1( C) f (0) 0 1 x (x),(x)3 3Vx，則當(dāng) x 1時(shí)( 1 x (x)與(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小; sin x ),則在x0處有( (D) ). f (x)不可導(dǎo). 設(shè) 2. (A) 是等價(jià)無(wú)窮?。?(B)(x)與(x) (C)(x)是比(x)高階的無(wú)窮小; 無(wú)窮小. (D) (X)是比(x)高階的 3.若 f (x) (A) (B) (C) x 0 (2t x)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(1,1) 二階可導(dǎo)且 0，則(). 函數(shù)F (x)必在x 0處取得極大值； 函數(shù)F(

2、x)必在x 0處取得極小值； 函數(shù)F(x)在x 0處沒(méi)有極值，但點(diǎn)(0，F(xiàn)(0)為曲線y F(x)的拐點(diǎn)； (x) (D)函數(shù)F(x)在x 0處沒(méi)有極值，點(diǎn)(0，F(xiàn)(0)也不是曲線y F(x)的拐點(diǎn)。 4 設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 .x2x2 2 (A)2( B)2(C) x 1 二、填空題(本大題有4小題，每小題 2 lim (13x)齊 x 0 f (x) x 1 2 0 f(t)dt ,則 f (x)( (D) x 4 分, 2. 共16分) 5. 6. 已知co空是f(x)的一個(gè)原函數(shù) x f (x) cdx x 7. lim n (cos2 n n cos2? 2 x arcsin

3、 x 丄 X 1 2 二、解答題 設(shè)函數(shù)y 求丄 x(1 1 dx 2 x 8. 9. 10. 設(shè) f (x) (本大題有 y(x)由方程 x7 廠dx. x7) x xe , v 2x x 2, 5小題，每小題8分，共40 分) e sin( xy) 1確定, 求y (x)以及y (). 1 3 f(x)dx. 11. g(x) f(xt)dt 血丄兇 A 12. 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，0，且x 0 x, A為常數(shù).求 g(x)并討論g(x)在x 0處的連續(xù)性. y(1)1 13. 求微分方程xy 2y xlnx滿足9的解. q1 f(x)d x q f(x)dx 00 f ( x) d x

4、0f (x)cos x dx 0 14. 設(shè)函數(shù)f(x)在，上連續(xù)，且0 證明：在0，內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)1，2，使f( 1) f ( 2) 0. (提 x F(x) f(x)dx 示：設(shè)0 、單項(xiàng)選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1 /COSX、2 6-() C 5. e. 6. 2 x.7.2.8.3 三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 9.解：方程兩邊求導(dǎo) 1 2 ln | x71 ln |1x71 7 i i 7 ii 10 f (x)dx xe xdx 33 11.解:

5、0.2X x2dx ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0 y(x) ex yycos(xy) ex cos(xy) x 0, y 0 y (0)1 10.解： u x7 -x6dx du 原式 1 (1 u) i 1 J 2 du()du 7u(1 u)7 u u 1 1 (ln |u | 2ln |u 1|) c 7 C :xd( e x)(x 1)2dx 3 2 x xe x 1 0 cos2 d sin ) 1 -2e3 4 12.解：由 f() g(x) 1 f (xt )dt 0 0，知 g(0)0。 x f (u)du xt u 0 x (x 0) g(x) g(

6、0) x xf (x) f (u)du 0 2 x x f(u)du 0 (x 0) lim x f(x) 0 xf(x) 00 g (x) lim x 0 lim x 0 2x x f (u)du 0 2 x A 2，g(x)在x 0處連續(xù)。 dy 13.解:dx 2 y x 2dx y e x ( 1 xln x 3 1 y(1)訐 In x -dx e x I n xdx C) 四、解答題(本大題 14解：由已知且y 將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得 2 特征方程：r r 2 其通解為 y C1e 1 2 x Cx 9 y 1 xln 3 10分) x yd x 0 y 2y 代入初始條件y(0)

7、故所求曲線方程為： 五、解答題(本大題10分) 0 解出特征根: A 1, 2. 小2x C 2e ，(0) 1 2 x y e 3 ，得 1 e 3 C1 2x 15解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點(diǎn)為 (Xo,ln X。) 由于切線過(guò)原點(diǎn)，解出X。 e y In x ,從而切線方程為: ，切線方程： 1 y x e 1 (x x) X。 A 則平面圖形面積 y (e ey)dy o 1 -e 1 2 (2)三角形繞直線x = e 一周所得圓錐體體積記為 Vi，則Vl 曲線y ln x與x軸及直線x = e所圍成的圖形繞直線x = e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 為V2 1 V2(e ey)2dy V V1

8、 V2 e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 2 嚴(yán) 12e 3) 0 D繞直線x = 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12 分) 16.證明：0 q (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q，1 q(1 q1 f (x) d x q f (x)dx 0 1 q f(x)dx q q) f( 1) q(1 q f (x) d x q( f (x) d x 0 q) f( 2) 1) f ( 2) 0 1 f (x)dx) q 故有： q f (x) d x 0 f(x)dx 證畢。 17. F(x) f(t)dt ,0 證：構(gòu)造輔助函數(shù): 上可導(dǎo)。F (x) 。其滿足在【，上連續(xù)，

9、在(，) 0 f (x) cos xdxcosxdF (x) F (x)cosx|0 sin x F(x)dx 由題設(shè)，有0 0 0 F (x)sin xdx 0 (0,) ，使F( )si n0 即 有0 ，由積分中值定理，存在 f(x)，且 F(0) F() 0 F ( )0 綜上可知F(0) F( ) F( )0,(0,).在區(qū)間,上分別應(yīng)用羅 爾定理，知存在 1(0,)和 2(,)，使 F ( 1)0 及 F ( 2)0，即 f ( 1) f ( 2)0 高等數(shù)學(xué)I解答 一、單項(xiàng)選擇題（在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的 括號(hào)中） （本大題有4小題，每小題4分，共16

10、分） 1.當(dāng)x x時(shí)， x ,x都是無(wú)窮小，則當(dāng)x &時(shí)（D ）不一定是 無(wú)窮小 . (A) x x (B) 2 x2 x 2(x) (C) in 1 (x) 1 (x)(D) (x) sin x x a iim x a 2.極限x a sin a 的值是 (C ). cot a tan a (a ) 1 (B) e (C) e (D) e 2ax sin x e1 f(x) x x 0 3. a x 0在x 0處連續(xù)，則a =(D) B) 0(C) e(D) (A)1 4.設(shè)f(X)在點(diǎn)x (A)3f (a) (C) f (a) a處可導(dǎo)，那么 a 叫 Hh B (D) 嚴(yán)） 5. 、填空題

11、（本大題有4小題, in（x a） in a lim 極限x 0 xy (a 6. yin x cos2x 7. 每小題 4 分, 0） 的值是 共16分) 1 定函數(shù) y(x), yyexy ye x xe in x 直線I過(guò)點(diǎn)M (1,2,3)且與兩平面x 2y z 1 2sin 2x xy 0,2x 3y 5z 6都平行，則直 線i的方程為 2 8. 求函數(shù)y 2x in（4x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分） 1 （1 x）x e iim 9. 計(jì)算極限x 0 elim ln(1 x) x x 0 x2 1 limE e 解：x 0 x I V| 1

12、0.已知：|a| 1 ln(1 x) 1 ex1 elim x 0 |b | 26 30，求 I a cos sin 2 cos 12 解: 72 11.設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), F(x) x (x a a,b ，試求出F (x) o F(x) 解： F (x) f (t)dt xf(x) xf (x) f(t)dt x x f (t)dt tf (t)dt a F (x) 12.求 解: cosx , x dx sin x 1 -xsin 2 1 2 1 2 xd sin 2 x sin 2 xdx 1 -xsin 2 1 cot x 2 a f (x) cosx , x3dx. sin

13、 x 四、解答題 共32分) 本大題有4小題，每小題8分, dx r2_7 x x 1 13.求 令1 x 原式 丄 2 3 1 1 1 r, t2 1 一 (1r)dt 1 t dt arcsi nt _2 2 1 勺6 14.求函數(shù) 解：函數(shù)的定義域(一 2(1x)(1 x) y (1) 極大值 的極值與拐點(diǎn). + ) 4x(3 x2) 2 2 (1 x ) 0 得 x 1 = 1, 0 x 1 = 1是極大值點(diǎn)， y(1)1，極小值 y( 1) x 2 = -1 (1 23 x ) (1)X 2 = -1是極小值點(diǎn) 1 X （-,-応） (-朽,0) (0,) (*3+ ) y + +

14、令 y 得 x 3 = 0, x 4 =3 , x 5 = -3 _l基 -2 ), (0, 0)( 3， 2) 故拐點(diǎn)（-3 , 3 x 15.求由曲線7 3 解: 4 x(x 0 2 3x x , 4與y 3x x2所圍成的平面圖形的面積. 12x 4x2 0, 6)(x2) 3 X S ( 3x 6 4 x43 2： (x - 16 2 1 45 2 3 16.設(shè)拋物線y P(x,y)使ABP的面積最大. 解： AB連線方程：y 2x 10 2x y 1 0, x2)dx x3 3) 471 3 4 點(diǎn)P到AB的距離 ABP的面積 S(x) S (x) S (x) X1 2 (3x 0

15、(3 2 (2x 2 x上有兩點(diǎn) 1 4 5 2 4x 4 40 6, A( X20,X32. 3 )dx 4 x4 押 1,3) B（3，5），在弧A B上，求一點(diǎn) AB 2 x 2x 3 5 x2 5 當(dāng)x 1 2x 3 2( 1 x 3) 2x 3) S (x)0 當(dāng)x 1時(shí)S（ x）取得極大值也是最大值 此時(shí)y 3 所求點(diǎn)為（1，3） 另解：由于 ABC的底AB定，故只要高最大而過(guò)C點(diǎn)的拋物線 的切線與AB平行時(shí)，高可達(dá)到最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)為求C（x0，4 xf） 解得Xo 1,所求C點(diǎn)為（1,3） ,使f (Xo)2Xo 2, 本大題4分) 試證X(1 證明：設(shè)f(x) EM f (x)

16、 e2x(12x)1， f (x) 六、證明題（ 17.設(shè)x 0， x) x) (1 x), x 0 4xe2x X o, f (x)0，因此 f (x)在(o, +)內(nèi)遞減。 在(0, + )內(nèi)，f (x) f (0)0，f(x)在(o, + )內(nèi)遞減, 在(0, +)內(nèi),f (x)f(0),即 e2x(1 x) (1 x) 0 亦即當(dāng)x0時(shí)，e (1 x) 1 X 。 高等數(shù)學(xué)I A 填在題末的括號(hào)中) 一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案, (本大題有4小題，每小題4分，共16分) 18. 函數(shù) ln(x 1) x 1 f(x) tan x, 2 sin x, 的全體

17、連續(xù)點(diǎn)的集合是 那么m,n, p的值各為) (A) (- (B) (-,1) (1，+ (C) (- ,0) (0, (D) (-,0) (0,1) (1，+ 19. lim 設(shè)x x 1 ax b) 則常數(shù)a,b的值所組成的數(shù)組 (a,b)為 20. (A)( 1， 設(shè)在0， (A)f (0) (C) f (1) 0)( B) 1上f(x)二階可導(dǎo)且 f(0) f(0) (C) f (x) f (1) f (1) f (0) f (1) (1，1)( D) 0，則( (B) f (0) (D) f(1) (1, -1) 4 sin xcos x 21. 則( (A) (C) 1 x ) M

18、N P P M N dx, 2 (s in3 cos4 x)dx P 二填空題(本大題有 2 1 設(shè) x 1 d(x arctan 5 f (x)dx sin x 2.設(shè) (B) (D) 4小題，每小題4分, x 1)( f (n)(x)dx ( P N M N M 0及x0 F(1)= f(1)-1=0-12),并求n 。 證： 設(shè) f(x) xn xn1 x2 x 1其在0,1上連續(xù)。 f(0) 1, f (1) n 1由n2知函數(shù)在端點(diǎn)異號(hào) 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理知至少有一點(diǎn)(0,1)使f( ) 0. 又fnxn 1 2x 1 0知函數(shù)f (x)單調(diào)增加，故在(0,1)上有唯一實(shí)根。 n