第六節(jié)ARIMAX模型

1、第六章ARIMAX模型 一、ARIMAX模型的概念 有時(shí)考慮其它序列對(duì)一個(gè)時(shí)間序列的影響，如太陽黑子對(duì)某地區(qū)降雨量的影響，石油 價(jià)格對(duì)股價(jià)的影響。帶有輸入序列的一般ARIMA模型也稱為ARIMAX模型。Box和刁錦寰提 出 ARIMAX模型。 例子 1) 9.11 事件對(duì)道瓊斯指數(shù)的影響 2) 廣告對(duì)銷售量的效應(yīng) 3) 美國(guó)月批發(fā)物價(jià)指數(shù)對(duì)零售價(jià)指數(shù)的影響 4) 1960年前后時(shí)間XI、冬季X2、夏季X3對(duì)臭氧數(shù)據(jù) Yt 5) 固有股減少X1、道瓊斯指數(shù)X2、石油價(jià)格X3對(duì)上證指數(shù) 數(shù)學(xué)模型 - v(jk)Bjxt(k) j =0 設(shè)xt,y是時(shí)間序列，(i=1,k ) yt 八 v(1)B%

2、、v(2)Bjx；2) j =0j =0 Xt( at 其中 H(B) =1 _dB 8qBq,申(B)=1 窗B 二一 -%BP 稱為傳遞函數(shù)模型， Xt稱為輸入因子(干預(yù)因子)，yt稱為輸出因子。 Xt(1 yt xt(k). 注：為減少參數(shù)個(gè)數(shù)，通?？紤]簡(jiǎn)化為: yt 亠 s Wat 1(B) 甘出弓(B) _ 叩)_*)B _-計(jì)Bqi, 1(B)二訐)_ ：T)B 其中ii (i=1,k )= 稱上述模型為 ARIMAX模型，又稱為帶有干預(yù)序列的ARIMA模型或動(dòng)態(tài)回歸模型。這個(gè) 模型把相應(yīng)序列表示為隨機(jī)波動(dòng)的過去值和其它序列(稱為輸入序列)的過去值的結(jié)合。響 應(yīng)序列也稱為相依序列或

3、輸出序列，輸入序列也稱為獨(dú)立序列或預(yù)測(cè)因子序列。 二、兩個(gè)獨(dú)立滑動(dòng)平均過程之和 Wt它是階數(shù)分別為 q,q2的兩個(gè)獨(dú)立平均過程之和 即 Wt - t(B)at S(B)bt at,bt均是均值為零的白噪聲且相互獨(dú)立 記 q =maxq,q2 可得wt的自相關(guān)函數(shù) j當(dāng)j . q時(shí)為零 故W可表示成q階的單一滑動(dòng)平均過程wUt為零均值白噪聲(證明可參考 Hamit on時(shí)間序列分析) 三、附加噪聲對(duì)一般模型的影響 考慮 ARIM(p,d,q)(B)i - r(B)at 設(shè)zt本身不可觀測(cè)，只能觀測(cè)到乙=zt btb表示有關(guān)的附加的噪聲，則對(duì)乙有 (B)idZt -珥B)q(B) % 若對(duì) bt

4、有 bt滿足 ARMA (P1,0,q) 即l(B)bttt與a獨(dú)立白噪聲 則有 1(B) (B) id Zt = 1(B戸(B)at(B)t(B” d： t P = p P1,Q =maxg q, p q d 2(B)l 七 72(B)utARIMA(P,d,Q) 四、帶有回歸項(xiàng)和時(shí)間序列誤差的模型 Wt = 2梯対2Xt2Xtk Nt (t =1,2,., n) Xt1.Xtk為解釋變量，而誤差 Nt是一個(gè)ARMA(p,q)，*(B)Nt=9(B)at生成。該式可 以寫為： WV,V = cov( N)。在傳統(tǒng)模型中我們有 V =：；21，:的最小二乘估計(jì)為 ？ = (XX)XW，并具有性

5、質(zhì)cov(?)=：；2(XX)。 但在自相關(guān)誤差的情形下，這種性質(zhì)不再成立。此時(shí)最小二乘估計(jì)的協(xié)方差陣為 cov(?) =-2(XX)JXVX(XX)。因此一般的樣本性質(zhì)和統(tǒng)計(jì)推斷的方=1法，如關(guān)于 估計(jì)的通常標(biāo)準(zhǔn)差公式，t-統(tǒng)計(jì)量及置信區(qū)間等就不再有效。 例:Wt=：1Xt-Nt,Nt= (1B)at，Nt 的子協(xié)方差為0 = (1 爭(zhēng)；，1 一 。打的 nn 最小二乘估計(jì)為=送xtwt/為xt2，它的方差為： t =1t =i nn o O .二.Xt 2!二.xt xt j t丄 n 22 (Xt ) t 4 n_ v 2X2 ( Xt) t 4 y n 012 沐(X) V2X2 (

6、Xt ) t 4 var(l?)= 如果模型中誤差 Nt為不相關(guān)的，我們會(huì)取 =0，而這會(huì)引起明顯的錯(cuò)誤推斷。 當(dāng)對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)擬合回歸模型時(shí)，總是需要考慮誤差項(xiàng)存在自相關(guān)的可能性的。通常, 對(duì)于誤差Nt識(shí)別一個(gè)恰當(dāng)模型的可行方法是首先得出最小二乘估計(jì)？，然后再得到相應(yīng)的 回歸模型的殘差 這個(gè)殘差序列可以用通常的時(shí)間序列方法來考察，這樣可以對(duì)誤差項(xiàng)建立一個(gè)實(shí)驗(yàn)性的模 型。？ = (XX)XW是漸近最優(yōu)的，由此計(jì)算的自相關(guān)、偏相關(guān)等也是漸近最優(yōu)的。而 般最優(yōu)的線性估計(jì)，也稱為廣義最小二乘估計(jì)為=(X VX)x vw。 在實(shí)際中，根據(jù)噪聲項(xiàng) Nt確定具體的ARMA模型，可以確定 N協(xié)方差V的具體形

7、式，并 可找到一個(gè)下三角陣 P，使得PVP =二；1 ,V = PP7；2。令W = PW,X = PX得到廣 義最小二乘估計(jì)為 ?G =(X*/X*)X*W*。因?yàn)镹t的時(shí)間序列模型中的參數(shù) ,千是未知 的，所以必須在計(jì)算和極大似然估計(jì)以及模型中的參數(shù),弓之間迭代。 (BOX JENKINSP415-420) 三、附加噪聲的傳遞函數(shù)模型 干擾或噪聲Nt和Xt的水平獨(dú)立，且添加到有關(guān)X的影響上，它們可以寫成干預(yù)序列 Yt (B) (B)BbXt Nt 如果噪聲模型可以用 ARIMA(p,d,q)過程表示 Nt 二：4(Bp(B)at 這里at是白噪聲，則模型最終可以寫成： Yt =、(B) (

8、B)BbXt ，(B戶(B)q (Xt),t =1,2,.,N 互協(xié)方差和互相關(guān)系數(shù) （焉，yj是平穩(wěn) 般地，一個(gè)雙變量隨機(jī)過程無須是平穩(wěn)的，但適當(dāng)進(jìn)行差分后的過程 的，這里 xt 二 idXt,ytDX。 xx(k) = E(xt 一x)(Xt k - 燈 yy(k) - EK%y)(yt .k - ) xy(k)=E(Xtx)(yt ky) yx(k)= E(yt)(Xt k - ) 般 xy(k)= yx(k)，但 xy(k) = yx(-k) 稱之為互協(xié)方差，和互相關(guān)系數(shù) :?xy(k) xy(k) 一般xy（k） = .（-k），它關(guān)于k =0不是對(duì)稱的。（P470） 互協(xié)方差和互相

9、關(guān)的估計(jì) 假設(shè)對(duì)原始的輸入輸出序列作了d次差分后有n=N-d對(duì)數(shù)值（Xt,yt），那么滯后k互協(xié) 方差系數(shù)的估計(jì)值為： 1 n Jk 遲（人一乂）（議一y）,k =0,1,2, n t: cxy（k）= n k - （yt - y）（xt k 一 x）,k = 0,1, 一2,. n t: Rk） = 廻,k =0,_1,_2， SxSy 傳遞函數(shù)模型的識(shí)別 對(duì)預(yù)白噪化輸入的傳遞函數(shù)模型的識(shí)別 如果系統(tǒng)的輸入是白噪聲，則識(shí)別過程將很大程度被簡(jiǎn)化。假設(shè)適當(dāng)差分后的輸入過 程是平穩(wěn)的，并且可由ARMA模型來描述，那么可以對(duì) 人用通常的識(shí)別和估計(jì)方法得到 一個(gè)模型： 廠（B） x（B）X 二:t 該

10、式把相關(guān)的輸入序列轉(zhuǎn)化為非常接近不相關(guān)的白噪聲。同時(shí)我們可以由?t的平方和得 到二2的估計(jì)S。如果我們對(duì)yt使用同樣的變換得到： *(B) x(B)yt 則原模型可以寫為： t 二 v(B)_：n * 其中轉(zhuǎn)換后的噪聲序列有- ；J(B) x(B)nt 將上式兩邊同時(shí)乘以:t并取數(shù)學(xué)期望，我們得到： . 2 ,.|：(k) = vk；：匕 于是列)=嗨(叫 匚;-: 因此，將輸入白燥化后，在白燥化輸入和經(jīng)相應(yīng)變換的輸出之間的互相關(guān)函數(shù)直接與脈沖相 應(yīng)函數(shù)成正比。在實(shí)際中我們并不知道理論互相關(guān)函數(shù)；?.-.(k)，故我們可以用其估計(jì)量替 代： ?=上巡莊 ksa 噪聲模型的識(shí)別 假設(shè)模型可以寫成

11、(如果必要，做適當(dāng)?shù)牟罘种? yt 二 v(B)Xt nt qd Nt 用前面所述方法給出傳遞函數(shù)的初步估計(jì)后，噪聲序列的估計(jì)由下式得到： ? = yt -/(B)Xt V( B)還可以用初步識(shí)別所確定的試用傳遞函數(shù)模型來替代。于是 鳳的計(jì)算： 先通過、?(B)yt = ?(B)Xz寫為 ?=呂？斗十+聲？# 坳人丄一嘆人3遞推計(jì)算出 ? = ?(B) ?(B)x，然后由n? =yt -?t計(jì)算噪聲序列。 噪聲的識(shí)別還可以利用經(jīng)過白燥化后的輸入和輸出的相關(guān)函數(shù)來進(jìn)行，即按照下列方 法進(jìn)行。假如輸入可以被完全白燥化， ；tx(B) x(B)m 如果；t可以找到一個(gè)隨機(jī)模型，那么由上式可以對(duì)nt

12、，從而對(duì)Nt導(dǎo)出模型。記 5 =v(B)t，便有1 ；t，同時(shí)由于給出了 人n獨(dú)立性的假設(shè)，從而 q,；t也獨(dú)立。 1(k)二加；(k) 由此計(jì)算得到典化)，(k) w 模型識(shí)別后可以用條件平方和法進(jìn)行參數(shù)的計(jì)算。 F預(yù)模型 Yt W(B)Bb 、(B) Nt 其中yt $2(B)W(B)Bb t代表干預(yù)事件的影響 Nt是噪聲 它表示在沒有干預(yù)影響時(shí)序列Yt的變化 般可設(shè) Nt 是一個(gè) ARIMA( p,d,q) 即(B)Nt 仝(B)at 干預(yù)序列分為脈沖式干預(yù)序列和持續(xù)式干預(yù)序。列。 脈沖式干預(yù)序列： 持續(xù)式干預(yù)序列： t一般有兩種通用的形式 S0 t T t -T 它表示在時(shí)刻T之后干預(yù)

13、的影響仍保留下去的情形 它可表示暫時(shí)或瞬間干預(yù)的影響 干預(yù)分析模型可表示為 讐喘a 持續(xù)式干預(yù)序列需預(yù)白噪聲化，即先將干預(yù)序列擬合ARIMA模型。 預(yù)白噪聲： 用途：對(duì)非脈沖干預(yù)因子，有可能計(jì)算機(jī)不好計(jì)算 估計(jì)干預(yù)因子對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)的推移算子 有關(guān)附加異常值與新息異常值模型 1 設(shè) Zt ARIMA( p,d,q ) (B)Zt “(B)at 若在時(shí)刻T附加異常值，則有 Yt 二WR(T) Zt =WR(T) 左爲(wèi) (B) 稱之為附加異常值模型(AO Model ) 2 .新息異常值(10)模型 Yt =二-回(WR(T) at)統(tǒng)計(jì)診斷引論韋博成東南大學(xué)出版社 (B) 第三節(jié)SAS實(shí)現(xiàn)計(jì)算

14、一、差分 輸入序列的差分由 CROSSCOF選頊來指定，并且如同相應(yīng)序列的差分那樣工作。例如 Ide ntify=var=y(1) crosscorr=(x1(1) x2(1) 表示對(duì)Y作一階差分，對(duì) X1,X2作一階差分，在隨后的ESTIMATE語句中，任何在INPUTS 項(xiàng)中用到X1和X2時(shí)，這些名字指差分序列。 二、使用輸入序列 為了使用輸入序列的過去值和過去誤差，你也可以使用被稱為輸入序列的其它序列的當(dāng)前和 過去值來對(duì)響應(yīng)序列建模。此時(shí)要在identify語句中。的crosscorr=選項(xiàng)中列出輸入序列， 并在隨后的ESTIMATE語句中用INPUTS項(xiàng)說明它們是如何進(jìn)入模型的。 Proc arima data=a; Ide ntify var=sales crosscorr=price; Estimate in put=price; 本例使用一個(gè)稱作 price的序列來幫組對(duì)sales建模。執(zhí)行了一個(gè)sales關(guān)于pr