2019-2020學(xué)年度九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

1、 2019-2020學(xué)年度九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識解決一些簡單的實(shí)際問題（如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的應(yīng)用1.測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標(biāo)桿測量法2.測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。1如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段 dc、bd、ce的距離（長度）

2、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出 ab的長.2如乙圖所示，可先測 ac、dc 及 de 的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算 ab的長.要點(diǎn)詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺= 圖第 1 頁 共 11 頁 上距離/ 實(shí)際距離;2太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比;3視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角要點(diǎn)二、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線

3、的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.3. 相似三角形周長的比等于相似比.，則由比例性質(zhì)可得：4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.，則分別作出與的1212bc adk bck ads高 和，則=k2abc11sabc b c a d b c a d22第 2 頁 共 11 頁 要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【典型例題】類型一、相似三角形的應(yīng)用1. 在斜坡的頂部有一鐵塔 ab，b是 cd的中點(diǎn)，cd是水平的，在陽光的照射下，塔影 de留在坡面上。已知鐵塔底座寬 cd=12m，塔影長 de=18m，小明和小華的身高都是

4、 1.6m，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn) e處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為 2m和 1m，那么塔高 ab為（）.a.24mb.22mc.20md.18m【答案】 a.dn 6.1=【解析】過點(diǎn)d做 dncd交光線ae于點(diǎn)n，則=8.0 ,dn=14.4，de 2第 3 頁 共 11 頁 又am:mn=1.6:1，am=1.6mn=1.6bd=1.66=9.6(m).塔高 ab=am+dn=14.4+9.6=24(m)，所以選 a.【總結(jié)升華】解決本題的難點(diǎn)是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的部分塔高的長度舉一反三：

5、【變式】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下 1.5m寬的亮區(qū)de.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離ce=1.2m，窗口高ab=1.8m，求窗口底邊離地面的高度 bc.第 4 頁 共 11 頁 【答案】作 efdc交 ad于 f.adbe，又，.abef， adbe，四邊形 abef是平行四邊形，ef=ab=1.8m.m.2. （2015 春 江津區(qū)校級月考）如圖，直立在 b 處的標(biāo)桿ab=2.4m，直立在 f 處的觀測者從 e 處看到標(biāo)桿頂 a、樹頂 c 在同一條直線上（點(diǎn) f，b，d 也在同一條直線上）已知 bd=8m，fb=2.5m，人高 ef=1.5m，求樹高 cd【答案與解析】解

6、：過e 作 ehcd 交 cd 于 h 點(diǎn)，交 ab 于點(diǎn) g，如下圖所示：由已知得，effd，abfd，cdfd，第 5 頁 共 11 頁 ehcd，ehab，四邊形 efdh 為矩形，ef=gb=dh=1.5 米，eg=fb=2.5 米，gh=bd=8 米，ag=abgb=2.41.5=0.9 米，ehcd，ehab，agch，aegceh， = ， =，解得：ch=3.78 米，dc=ch+dh=3.78+1.5=5.28 米答：故樹高 dc 為 5.2 米【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形類型二、相似三角形的性質(zhì)3.如圖，直角三角

7、形紙片的兩直角邊長分別為 6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn) a與點(diǎn) b重合，折痕為 de，則 s ：s 等于（ ）.bcebdea. 2：5b14:25c16:25d. 4:21第 6 頁 共 11 頁 【思路點(diǎn)撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個(gè)三角形是否相似.【答案】b.【解析】由已知可得 ab=10，ad=bd=5，設(shè) ae=be=x, 則 ce=8-x,在 rtbce 中，x -(8-x) =6 ,x= ,222由adeacb 得，s ：s =（64-25-25）：25=14:25，所以選 b.bcebde【總結(jié)升華】關(guān)鍵是要確定哪兩個(gè)是相似三角形.舉一反三【變式】在

8、銳角abc 中，ad,ce 分別為 bc,ab 邊上的高，abc 和bde 的面積分別等于 18 和 2，de=2,求 ac 邊上的高.【答案】過點(diǎn) b 做 bfac,垂足為點(diǎn) f，ad,ce 分別為 bc,ab 邊上的高，adb=ceb=90，又b=b，第 7 頁 共 11 頁 rtadbrtceb,bd ab=be cbbd be=ab cb,即且b=b，ebdcba,s2de2 1,bed = = =s18 9 ac bcade 1,=ac 3又de=2，ac=6，1= ac bf =18，bf=6.s2abc4.（2015齊齊哈爾）如圖，正方形 abcb 中，ab=1ab 與直1線 l

9、 的夾角為 30，延長 cb 交直線 l 于點(diǎn) a ，作正方形 a b c b ，111 1 1 2延長 c b 交直線 l 于點(diǎn) a ，作正方形 a b c b ，延長 c b 交直線 l1 222 2 2 32 3于點(diǎn) a ，作正方形 a b c b ，依此規(guī)律，則 a a =33 3 3 42014 2015第 8 頁 共 11 頁 【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到 a b = ，aa =2，同理：a a = 2（ ） ，a a =221 112 33 4（ ） ，從而找出規(guī)律答案即可求出3【答案與解析】2（ ）2014解：四邊形 abcb 是正方形，1ab=ab ，abcb ，11aba c，1ca a=30，1a b = ，aa =2，1 11a b =a b = ，1 21 1a a =2 ，1 2同理：a a =2（ ） ，22 3a a =2（ ） ，33 4a a =2（ ） ，nn n+1a a =2（ ） ，20142014 2015故答案為：2（ ） 2014【總結(jié)升華】本題是相似性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.第 9 頁