離散數(shù)學(xué)-代數(shù)系統(tǒng)

1、1 第三部分第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)結(jié)構(gòu)又名近世代數(shù)或抽象代數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)又名近世代數(shù)或抽象代數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué) 中最重要的、基礎(chǔ)的分支之一，是在初等代數(shù)學(xué)的中最重要的、基礎(chǔ)的分支之一，是在初等代數(shù)學(xué)的 基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的?；A(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。 它起始于十九世紀初，形成于它起始于十九世紀初，形成于20世紀世紀30年代。年代。 在這期間，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾在這期間，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(N.H. Abel)、法國數(shù)、法國數(shù) 學(xué)家伽羅瓦學(xué)家伽羅瓦(E. Galois)、英國數(shù)學(xué)家德、英國數(shù)學(xué)家德摩根摩根(A. De Morgan)和布爾和布爾(G. Boole)等人都做出了杰出貢獻，等人

2、都做出了杰出貢獻， 荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登荷蘭數(shù)學(xué)家范德瓦爾登(B.L. Van Der Waerden)根據(jù)根據(jù) 德國數(shù)學(xué)家諾特德國數(shù)學(xué)家諾特(A.E. Noether)和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷和奧地利數(shù)學(xué)家阿廷 (E. Artin)的講稿，于的講稿，于1930年和年和1931年分別出版了年分別出版了 近世代數(shù)學(xué)近世代數(shù)學(xué)一卷和二卷，標志著抽象代數(shù)的成一卷和二卷，標志著抽象代數(shù)的成 熟。熟。 2 第三部分第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu) 代數(shù)結(jié)構(gòu)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運代數(shù)結(jié)構(gòu)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運 算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各種數(shù)算的規(guī)律和由這些運算適合的公理而定義的各

3、種數(shù) 學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問題。它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)如撲拓學(xué)、學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問題。它對現(xiàn)代數(shù)學(xué)如撲拓學(xué)、 泛函分析等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域，如計算機科學(xué)、泛函分析等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域，如計算機科學(xué)、 編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應(yīng)用。編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應(yīng)用。 3 第三部分第三部分 代數(shù)結(jié)構(gòu)代數(shù)結(jié)構(gòu) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容: l 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)-二元運算及其性質(zhì)、代數(shù)系統(tǒng)和子代二元運算及其性質(zhì)、代數(shù)系統(tǒng)和子代 數(shù)數(shù) l 半群與群半群與群-半群、獨異點、群半群、獨異點、群 l 環(huán)與域環(huán)與域-環(huán)、整環(huán)、域環(huán)、整環(huán)、域 l 格與布爾代數(shù)格與布爾代數(shù)-格、布爾代數(shù)格、布爾代數(shù) 4 第九章第九章

4、代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) 主要內(nèi)容主要內(nèi)容: (1)二元運算及其性質(zhì)二元運算及其性質(zhì) l 一元和二元運算定義及其實例一元和二元運算定義及其實例 l 二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì) (2)代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) l 代數(shù)系統(tǒng)定義及其實例代數(shù)系統(tǒng)定義及其實例 l 子代數(shù)子代數(shù) l 積代數(shù)積代數(shù) (3)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu) 5 9.1 二元運算及其性質(zhì)二元運算及其性質(zhì) 定義定義9.1 設(shè)設(shè)S為集合，函數(shù)為集合，函數(shù)f：S SS 稱為稱為S上的上的二元二元 運算運算，簡稱為二元運算，簡稱為二元運算 l S中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結(jié)果中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結(jié)果 惟一惟一

5、 l S中任何兩個元素的運算結(jié)果都屬于中任何兩個元素的運算結(jié)果都屬于S，即，即S對該運對該運 算封閉算封閉 例例1 (1) 自然數(shù)集合自然數(shù)集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元運上的二元運 算，但減法和除法不是算，但減法和除法不是 (2) 整數(shù)集合整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是上的加法、減法和乘法都是Z上的二元上的二元 運算，而除法不是運算，而除法不是 (3) 非零實數(shù)集非零實數(shù)集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元運上的二元運 算，而加法和減法不是算，而加法和減法不是 6 實例實例 (4) 設(shè)設(shè)Mn(R)表示所有表示所有n 階階(n2)實矩陣的集合，即實矩陣的

6、集合，即 則矩陣加法和乘法都是則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算上的二元運算. (5) S為任意集合，則為任意集合，則、 為為P(S)上二元上二元 運算運算. (6) SS為為S上的所有函數(shù)的集合，則合成運算上的所有函數(shù)的集合，則合成運算 為為SS上上 二元運算二元運算. njiRa aaa aaa aaa RM ij nnnn n n n ,.,2 , 1,)( 21 22221 11211 7 一元運算的定義與實例一元運算的定義與實例 定義定義9.2 設(shè)設(shè)S為集合，函數(shù)為集合，函數(shù) f:SS 稱為稱為S上的上的一元運一元運 算算，簡稱一元運算，簡稱一元運算. 例例2 (1) 求相反

7、數(shù)是整數(shù)集合求相反數(shù)是整數(shù)集合Z,有理數(shù)集合有理數(shù)集合Q和實數(shù)和實數(shù) 集集 合合R上的一元運算上的一元運算. (2) 在冪集在冪集P(S)上規(guī)定全集為上規(guī)定全集為S，則求絕對補運算，則求絕對補運算是是 P(S)上的一元運算上的一元運算. (3) 設(shè)設(shè)S為集合，令為集合，令A(yù)為為S上所有雙射函數(shù)的集合，上所有雙射函數(shù)的集合， A SS，求一個雙射函數(shù)的反函數(shù)為，求一個雙射函數(shù)的反函數(shù)為A上的一元運算上的一元運算. (4) 在在n(n2)階實矩陣的集合階實矩陣的集合Mn(R)上，求轉(zhuǎn)置矩陣上，求轉(zhuǎn)置矩陣 是是Mn(R)上的一元運算上的一元運算. 8 二元與一元運算的表示二元與一元運算的表示 1算符

8、算符 可以用可以用 , , , , , 等符號表示二元或一元運算，等符號表示二元或一元運算， 稱為算符稱為算符. 對二元運算對二元運算 ，如果，如果 x 與與 y 運算得到運算得到 z，記做，記做 x y = z 對一元運算對一元運算 , x的運算結(jié)果記作的運算結(jié)果記作 x. 2表示二元或一元運算的方法表示二元或一元運算的方法: 解析公式和運算解析公式和運算 表公式表示表公式表示 例例 設(shè)設(shè)R為實數(shù)集合，如下定義為實數(shù)集合，如下定義R上的二元運算上的二元運算 ： x, yR, x y = x. 那么那么 3 4 = 3， 0.5 ( 3) = 0.5 9 運算表：表示有窮集上的一元和二元運算運

9、算表：表示有窮集上的一元和二元運算 運算表運算表 二元運算的運算表二元運算的運算表 一元運算的運算一元運算的運算 表表 10 例例3 設(shè)設(shè) S=P(a,b)，S上的上的 和和 運算運算的運算的運算 表如下表如下: 運算表的實例運算表的實例 11 二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì) 定義定義9.3 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算上的二元運算, (1) 若對任意若對任意x,yS 有有 x y=y x, 則稱運算在則稱運算在S上滿上滿 足足 交換律交換律. (2) 若對任意若對任意x,y,zS有有 (x y) z=x (y z), 則稱運則稱運 算在算在S 上滿足上滿足結(jié)合律結(jié)合律. (3) 若對任意若對任意x

10、S 有有 x x=x, 則稱運算在則稱運算在S上滿足上滿足冪冪 等等 律律. 12 二元運算的性質(zhì)二元運算的性質(zhì) 定義定義9.4 設(shè)設(shè) 和和 為為S上兩個不同的二元運算上兩個不同的二元運算, (1) 若對任意若對任意x,y,zS有有 (x y) z=(x z) (y z)， z (x y)=(z x) (z y), 則稱則稱 運算對運算對 運算滿足運算滿足 分配律分配律. (2) 若若 和和 都可交換都可交換,且對任意且對任意x,yS有有 x (x y)=x， x (x y)=x, 則稱則稱 和和 運算滿足運算滿足吸收律吸收律. 13 實例實例 Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；分別為

11、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為為n階階 實矩陣集合實矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數(shù)的函數(shù) 集，集，|A| 2. 集合集合運算運算交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律冪等律冪等律 Z,Q,R普通加法普通加法+ 普通乘法普通乘法 有有 有有 有有 有有 無無 無無 Mn(R)矩陣加法矩陣加法+ 矩陣乘法矩陣乘法 有有 無無 有有 有有 無無 無無 P(B)并并 交交 相對補相對補 對稱差對稱差 有有 有有 無無 有有 有有 有有 無無 有有 有有 有有 無無 無無 AA函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合 無無有有無無 14 集合集合 運算運算分配律分配律吸收律吸收律 Z,Q,R普通加

12、法普通加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配 +對對 不分配不分配 無無 Mn(R)矩陣加法矩陣加法+與乘法與乘法 對對+可分配可分配 +對對 不分配不分配 無無 P(B)并并 與交與交 對對 可分配可分配 對對 可分配可分配 有有 交交 與對稱差與對稱差 對對 可分配可分配無無 實例實例 Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為為n階階 實矩陣集合實矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為從為從A到到A的函數(shù)的函數(shù) 集，集，|A| 2. 15 特異元素：單位元特異元素：單位元 定義定義9.5 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算上的二元運算, (1)

13、如果存在如果存在el (或或er) S，使得對任意，使得對任意 xS 都有都有 el x = x (或或 x er = x)， 則稱則稱el (或或er)是是S中關(guān)于中關(guān)于 運算的運算的左左(或或右右)單位元單位元. 若若eS關(guān)于關(guān)于 運算既是左單位元又是右單位元，則運算既是左單位元又是右單位元，則 稱稱 e為為S上關(guān)于上關(guān)于 運算的運算的單位元單位元. 單位元也叫做單位元也叫做幺元幺元. 16 特異元素：零元特異元素：零元 定義定義9.5 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算上的二元運算, (2) 如果存在如果存在 l (或或 r)S，使得對任意，使得對任意 xS 都有都有 l x = l (或或 x

14、r = r)， 則稱則稱 l (或或 r)是是S 中關(guān)于中關(guān)于 運算的運算的左左(或或右右)零元零元. 若若 S 關(guān)于關(guān)于 運算既是左零元又是右零元，則稱運算既是左零元又是右零元，則稱 為為S上關(guān)于運算上關(guān)于運算 的的零元零元. 17 特異元素：可逆元素和逆元特異元素：可逆元素和逆元 (3) 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算上的二元運算, 令令e為為S中關(guān)于運算中關(guān)于運算 的單的單 位位 元元. 對于對于xS，如果存在，如果存在yl (或或yr)S使得使得 yl x=e（或（或x yr=e） 則稱則稱yl (或或 yr)是是x的的左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元）. 關(guān)于關(guān)于 運算，若運算，若yS 既

15、是既是 x 的左逆元又是的左逆元又是 x 的右逆的右逆 元，則稱元，則稱y為為x的的逆元逆元. 如果如果 x 的逆元存在，就稱的逆元存在，就稱 x 是是可逆的可逆的. 18 實例實例 集合集合運算運算單位元單位元零元零元逆元逆元 Z,Q, R 普通加法普通加法 + 普通乘法普通乘法 0 1 無無 0 x逆元逆元 x x逆元逆元x 1 (x 1 給定集合給定集合) Mn(R) 矩陣加法矩陣加法 + 矩陣乘法矩陣乘法 n階全階全0矩陣矩陣 n階單位矩階單位矩 陣陣 無無 n階全階全0 矩陣矩陣 X逆元逆元 X X的逆元的逆元X 1 （X可逆）可逆） P(B)并并 交交 對稱差對稱差 B B 無無

16、的逆元為的逆元為 B的逆元為的逆元為B X的逆元為的逆元為X 19 惟一性定理惟一性定理 定理定理9.1 設(shè)設(shè) 為為S上的二元運算，上的二元運算，el和和er分別為分別為S中關(guān)中關(guān) 于于 運算的左和右單位元，則運算的左和右單位元，則el = er = e為為S上關(guān)于上關(guān)于 運算運算 的惟一的單位元的惟一的單位元. 注意：注意： (1) 當當 |S| 2，單位元與零元是不同的；，單位元與零元是不同的； (2) 當當 |S| = 1時，這個元素既是單位元也是零元時，這個元素既是單位元也是零元. 20 定理定理9.2 設(shè)設(shè) 為為S上可結(jié)合的二元運算上可結(jié)合的二元運算, e為該運算的為該運算的 單位元

17、單位元, 對于對于xS 如果存在左逆元如果存在左逆元 yl 和右逆元和右逆元 yr, 則有則有 yl = yr= y, 且且 y是是 x 的惟一的逆元的惟一的逆元. 說明：說明： 對于可結(jié)合的二元運算，可逆元素對于可結(jié)合的二元運算，可逆元素 x 只有惟一的逆只有惟一的逆 元，記作元，記作 x 1 . 惟一性定理惟一性定理 21 9.2 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) 定義定義9.6 非空集合非空集合S和和S上上k個一元或二元運算個一元或二元運算f1,f2, fk組成的系統(tǒng)稱為組成的系統(tǒng)稱為代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng), 簡稱代數(shù)，記做簡稱代數(shù)，記做. 實例：實例：(1) ,是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，+ 和和分別表示普通加

18、法和乘法分別表示普通加法和乘法. (2) 是代數(shù)系統(tǒng)，和是代數(shù)系統(tǒng)，和分別表示分別表示 n 階階 (n2)實矩陣的加法和乘法實矩陣的加法和乘法. (3) 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，Zn0,1,n-1， 和和 分別表示模分別表示模n的加法和乘法，對于的加法和乘法，對于x,yZn， x y=(xy)modn，x y=(xy)modn (4) 是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)， 和和 為并和交，為并和交，為為 絕對補絕對補. 22 代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示代數(shù)系統(tǒng)的成分與表示 構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分：構(gòu)成代數(shù)系統(tǒng)的成分： l 集合（也叫載體，規(guī)定了參與運算的元素）集合（也叫載體，規(guī)定了參與運算的元素） l 運算（這里只

19、討論有限個二元和一元運算）運算（這里只討論有限個二元和一元運算） l 代數(shù)常數(shù)（通常是與運算相關(guān)的特異元素：如單代數(shù)常數(shù)（通常是與運算相關(guān)的特異元素：如單 位元等）位元等） 研究代數(shù)系統(tǒng)時，如果把運算具有它的特異元素也研究代數(shù)系統(tǒng)時，如果把運算具有它的特異元素也 作為系統(tǒng)的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為作為系統(tǒng)的性質(zhì)之一，那么這些特異元素可以作為 系統(tǒng)的成分，叫做代數(shù)常數(shù)系統(tǒng)的成分，叫做代數(shù)常數(shù). 例如：代數(shù)系統(tǒng)例如：代數(shù)系統(tǒng)：集合：集合Z, 運算運算+, 代數(shù)常數(shù)代數(shù)常數(shù)0 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)：集合：集合P(S), 運算運算和和，無，無 代數(shù)常數(shù)代數(shù)常數(shù). 23 代數(shù)系統(tǒng)的表示代數(shù)系統(tǒng)的表

20、示 (1) 列出所有的成分：集合、運算、代數(shù)常數(shù)（如果列出所有的成分：集合、運算、代數(shù)常數(shù)（如果 存在）存在） 如如, (2) 列出集合和運算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時不涉及具有列出集合和運算，在規(guī)定系統(tǒng)性質(zhì)時不涉及具有 單位元的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)）單位元的性質(zhì)（無代數(shù)常數(shù)） 如如, (3) 用集合名稱簡單標記代數(shù)系統(tǒng)用集合名稱簡單標記代數(shù)系統(tǒng) 在前面已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下使用在前面已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)作了說明的前提下使用 如代數(shù)系統(tǒng)如代數(shù)系統(tǒng)Z, P(B) 24 同類型與同種代數(shù)系統(tǒng)同類型與同種代數(shù)系統(tǒng) 定義定義9.7 (1) 如果兩個代數(shù)系統(tǒng)中運算的個數(shù)相同，如果兩個代數(shù)系統(tǒng)中運算的個數(shù)相同， 對

21、應(yīng)運算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個數(shù)也相同，對應(yīng)運算的元數(shù)相同，且代數(shù)常數(shù)的個數(shù)也相同， 則稱它們是則稱它們是同類型的同類型的代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng). (2) 如果兩個同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運算性質(zhì)也相如果兩個同類型的代數(shù)系統(tǒng)規(guī)定的運算性質(zhì)也相 同，則稱為同，則稱為同種的同種的代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng). 25 同類型與同種代數(shù)系統(tǒng)同類型與同種代數(shù)系統(tǒng) 例如例如 V1=, V2=, 為為 n 階全階全0矩陣，矩陣，E為為 n 階單位矩陣階單位矩陣 V3=. l V1, V2, V3是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，它們都含有2個二個二 元運算元運算, 2個代數(shù)常數(shù)個代數(shù)常數(shù). l V1, V2是

22、同種的代數(shù)系統(tǒng)，是同種的代數(shù)系統(tǒng)，V1, V2與與V3不是同種的不是同種的 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng). 26 V1V2V3 + 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 + 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對對 + 可分配可分配 + 對對 不可分配不可分配 + 與與 沒有吸收律沒有吸收律 + 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 + 滿足消去律滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律 對對 + 可分配可分配 + 對對 不可分配不可分配 + 與與 沒有吸收律沒有吸收律 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 不滿足消去律不滿足消去律 不

23、滿足消去律不滿足消去律 對對可分配可分配 對對可分配可分配 與與滿足吸收律滿足吸收律 運算性質(zhì)比較運算性質(zhì)比較 27 子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng) 定義定義9.8設(shè)設(shè)V=是代數(shù)系統(tǒng)，是代數(shù)系統(tǒng)，B是是S的的 非空子集，如果非空子集，如果B對對f1, f2, , fk 都是封閉的，且都是封閉的，且B和和 S含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱含有相同的代數(shù)常數(shù)，則稱是是V的的 子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng)，簡稱子代數(shù)，簡稱子代數(shù). 有時將子代數(shù)系統(tǒng)簡記為有時將子代數(shù)系統(tǒng)簡記為B. 28 子代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)系統(tǒng) 實例實例: N是是的子代數(shù)，的子代數(shù)，N也是也是的子代數(shù)的子代數(shù); N 0是是的子代數(shù)，但不是的子代數(shù)，但不是的子的

24、子 代數(shù)代數(shù). 說明：說明： (1) 子代數(shù)和原代數(shù)是同種的代數(shù)系統(tǒng)子代數(shù)和原代數(shù)是同種的代數(shù)系統(tǒng). (2) 對于任何代數(shù)系統(tǒng)對于任何代數(shù)系統(tǒng)V=，其子代數(shù)，其子代數(shù) 一定存在一定存在. 29 關(guān)于子代數(shù)的術(shù)語關(guān)于子代數(shù)的術(shù)語 (1) 最大的子代數(shù)最大的子代數(shù)：就是：就是V本身本身 (2) 最小的子代數(shù)最小的子代數(shù)：如果令：如果令V中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的中所有代數(shù)常數(shù)構(gòu)成的 集合是集合是B，且，且B對對V中所有的運算都是封閉的，則中所有的運算都是封閉的，則 B就構(gòu)成了就構(gòu)成了V的最小的子代數(shù)的最小的子代數(shù) (3) 最大和最小的子代數(shù)稱為最大和最小的子代數(shù)稱為V 的的平凡的子代數(shù)平凡的子代數(shù) (4

25、) 若若B是是S的真子集，則的真子集，則B構(gòu)成的子代數(shù)稱為構(gòu)成的子代數(shù)稱為V的的真真 子代數(shù)子代數(shù). 例例 設(shè)設(shè)V=,令令 nZ=nz | z Z,n為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則 nZ是是V的子代數(shù)的子代數(shù) 當當n=1和和0時，時，nZ是是V的平凡的子代數(shù)，其他的都的平凡的子代數(shù)，其他的都 是是V的非平凡的真子代數(shù)的非平凡的真子代數(shù). 30 積代數(shù)積代數(shù) 定義定義9.9 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代數(shù)是同類型的代數(shù) 系系 統(tǒng)，統(tǒng)， 和和 為二元運算，在集合為二元運算，在集合A B上如下定義二上如下定義二 元元 運算運算 ， , A B，有，有 = 稱稱V=為為V1與與V2的的積代數(shù)積代數(shù)，記作

26、，記作V1 V2. 這時也稱這時也稱V1和和V2為為V的的因子代數(shù)因子代數(shù). 實例實例 Z2=0,1，V=， V1 V2= Z2 Z2=, , , = 注意：注意：積代數(shù)的定義可以推廣到具有多個運算的同類積代數(shù)的定義可以推廣到具有多個運算的同類 型的代數(shù)系統(tǒng)型的代數(shù)系統(tǒng). 31 積代數(shù)的性質(zhì)積代數(shù)的性質(zhì) 定理定理9.3 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代數(shù)系是同類型的代數(shù)系 統(tǒng)，統(tǒng)，V1 V2=是它們的積代數(shù)是它們的積代數(shù). (1) 如果如果 和和 運算是可交換（可結(jié)合、冪等）的，運算是可交換（可結(jié)合、冪等）的， 那么那么 運算也是可交換（可結(jié)合、冪等）的運算也是可交換（可結(jié)合、冪等）的. (2

27、) 如果如果 e1 和和 e2（ 1和和 2）分別為）分別為 和和 運算的單位運算的單位 元（零元），那么元（零元），那么（）也是）也是 運算運算 的單位元（零元）的單位元（零元）. (3) 如果如果 x 和和 y 分別為分別為 和和 運算的可逆元素，那么運算的可逆元素，那么 也是也是 運算的可逆元素，其逆元就是運算的可逆元素，其逆元就是 . 32 9.3 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu) 定義定義9.10 設(shè)設(shè)V1=和和V2=是同類型的代數(shù)系是同類型的代數(shù)系 統(tǒng)，統(tǒng)，f:AB，且，且 x, y A 有有 f(x y) = f(x) f(y), 則稱則稱 f 是是V1到到V2的的同態(tài)同

28、態(tài)映射，簡稱同態(tài)映射，簡稱同態(tài). 同態(tài)分類：同態(tài)分類： (1) f 如果是單射，則稱為如果是單射，則稱為單同態(tài)單同態(tài) (2) 如果是滿射，則稱為如果是滿射，則稱為滿同態(tài)滿同態(tài)，這時稱，這時稱V2是是V1的的同同 態(tài)像態(tài)像， 記作記作V1 V2 (3) 如果是雙射，則稱為同構(gòu)，也稱代數(shù)系統(tǒng)如果是雙射，則稱為同構(gòu)，也稱代數(shù)系統(tǒng)V1同構(gòu)同構(gòu) 于于V2，記作，記作V1 V2 (4) 如果如果V1=V2，則稱作，則稱作自同態(tài)自同態(tài) 33 實例實例 (1) 設(shè)設(shè)V1=, V2=其中其中Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+為為 普通加法；普通加法；Zn=0,1,n 1， 為模為模n加加. 令令 f : ZZn，f (x

29、)=(x)mod n 那么那么 f 是是V1到到V2的滿同態(tài)的滿同態(tài) (2) 設(shè)設(shè)V1=, V2=，其中，其中R和和R*分別為實分別為實 數(shù)集與非零實數(shù)集，數(shù)集與非零實數(shù)集，+ 和和 分別表示普通加法與分別表示普通加法與 乘法令乘法令 f : RR*，f (x)= ex 則則 f 是是V1到到V2的單同態(tài)的單同態(tài). 34 實例實例 (3) 設(shè)設(shè)V=，其中，其中Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+為普通加法為普通加法. a Z，令，令 fa : ZZ，fa(x)=ax， 那么那么 fa 是是V的自同態(tài)的自同態(tài). 當當a=0時稱時稱 f0 為零同態(tài)；為零同態(tài)； 當當a= 1時，稱時，稱 fa 為自同構(gòu)；為自同

30、構(gòu)； 除此之外其他的除此之外其他的 fa 都是單自同態(tài)都是單自同態(tài). 35 練習(xí)練習(xí)1 1設(shè)設(shè) 運算為運算為Q上的二元運算，上的二元運算， x, y Q, x y = x+y+2xy, (1) 判斷判斷 運算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明運算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明 理由理由. (2) 求出求出 運算的單位元、零元和所有可逆元素的運算的單位元、零元和所有可逆元素的 逆元逆元. 36 (1) 運算可交換，可結(jié)合運算可交換，可結(jié)合. 任取任取 x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取任取 x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy)+

31、z+2(x+y+2xy)z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 解答解答 37 (2) 設(shè)設(shè) 運算的單位元和零元分別為運算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則，則對對 于任意于任意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運算可交換，所以運算可交換，所以 0 是幺元是幺元. 對于任意對于任意 x 有有x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x = 0 = 1/2 給定給定 x，設(shè)，設(shè) x 的逆元為的逆元為

32、y, 則有則有 x y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 ) 因此當因此當x 1/2時時， 是是x的逆元的逆元. x x y 21 x x 21 解答解答 38 2下面是三個運算表下面是三個運算表 (1) 說明那些運算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的說明那些運算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的. (2) 求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素 的逆元。的逆元。 練習(xí)練習(xí)2 39 解 解答解答 (1) * 滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律. 不滿足交換律，滿足結(jié)合律，滿足冪等律不滿足交換律，滿

33、足結(jié)合律，滿足冪等律. 滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律滿足交換律，滿足結(jié)合律，不滿足冪等律. (2) * 的單位元為的單位元為b，沒有零元，沒有零元， a 1=c, b 1=b,c 1=a 的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素. 的單位元為的單位元為 a，零元為，零元為c，a 1=a，b, c不是可逆不是可逆 元素元素. 40 解 解答解答 說明：關(guān)于結(jié)合律的判斷說明：關(guān)于結(jié)合律的判斷 (1)需要針對運算元素的每種選擇進行驗證，若需要針對運算元素的每種選擇進行驗證，若|A|=n， 一般需要驗證一般需要驗證n3個等式個等式. (2)單位元和零元不必參與驗證單位元和零元不必參與驗證. (3)通過對具體運算性質(zhì)的分析也可能簡化驗證的復(fù)通過對具體運算性質(zhì)的分析也可能簡化驗證的復(fù) 雜性雜性. 41 練習(xí)練習(xí)3 3.