第3_4章 Matlab中的矩陣及其運(yùn)算及matlab在編程方面的應(yīng)用

1、 matlab中的矩陣及其運(yùn)算 矩陣是數(shù)學(xué)中一個十分重要的概念，其應(yīng)用能夠十分廣泛，matlab中最基本最重要的功能就是進(jìn)行矩陣運(yùn)算，其所有數(shù)值功能都已矩陣為基本單元來實現(xiàn)，掌握matlab中的矩陣運(yùn)算是十分重要的。關(guān)鍵詞：matlab 矩陣 特殊矩陣 一、矩陣的生成1、矩陣生成有多種方式，通常使用的有四種：（1） 在命令窗口中直接輸入矩陣（2） 通過語句和函數(shù)產(chǎn)生矩陣（3） 在m文件中建立矩陣（4） 從外部的數(shù)據(jù)文件中導(dǎo)入矩陣其中第一種是最簡單常用的創(chuàng)建數(shù)值矩陣的方法，較適合創(chuàng)建較小的簡單矩陣。把矩陣的元素直接排列到方括號中，每行內(nèi)元素用空格或逗號相隔，行與行之間的內(nèi)容用分號相隔。如： ma

2、trix=1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4 %逗號形式相隔matrix = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 matrix=1 1 1 1;2 2 2 2 ;3 3 3 3;4 4 4 4 %采用空格形式相隔matrix = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 42、特殊矩陣的生成1、 零矩陣和全1矩陣 零矩陣指各個元素都為零的矩陣。（1） a=zeros(m,n)命令中，a為要生成的零矩陣，m和n分別為生成矩陣的行和列。（2） 若存在已知矩陣b，要生成與b維數(shù)相同的矩陣，可以使用命令a=zeros(size(

3、b)。（3） 要生成方陣時，可使用命令a=zeros(n)來生成n階方針。全1矩陣用ones函數(shù)實現(xiàn)。 a=zeros(4,5)a = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0b=1 2 3 4 5 ;2 3 4 5 6 ;9 8 7 6 5 ;8 7 6 5 4b = 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 9 8 7 6 5 8 7 6 5 4a=zeros(size(b)a = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0a=zeros(5)a = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4、0 0 0 0 0 0 0 0c=ones(5,6)c = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1c=ones(3)c = 1 1 1 1 1 1 1 1 12、單位矩陣的生成（1） a=eye(m,n)命令，可生成單位矩陣，m和n分別為生成單位矩陣的行和列。（2） 若存在已知矩陣b，要生成一個與b維數(shù)相同的單位矩陣，可以使用命令a=eye(size(b)。（3） 也可以使用a=eye(n)來生成n階方陣。 a=eye(4,5)a = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0a

5、=eye(size(b) %b與上例相同a = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0a=eye(4)a = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 13對角矩陣的生成對角矩陣指的是對角線上的元素為任意數(shù)，其它元素為0的矩陣。（1） a=diag(v,k)命令中，v為某個向量，k為向量v偏離主對角線的列數(shù)。k=0時表示 v為主對角線；k0的數(shù)時表示v在主對角線上；k0表示矩陣的主對角線k列以上的部分；k0或n=2除外。magic(2)ans = 1 3 4 2magic(3)ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2magic(4

6、)ans = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 17、hilbert矩陣和反hilbert矩陣的生成hilbert矩陣是有名的病態(tài)矩陣，它的第i行第j列的元素值為1/(i+j-1)。（1） hilb(n)命令生成n階的hilbert矩陣。（2） invhilb(n)命令生成n階反hilbert矩陣。a=hilb(5)a = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.200

7、0 0.1667 0.1429 0.12500.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111b=invhilb(5)b = 25 -300 1050 -1400 630 -300 4800 -18900 26880 -12600 1050 -18900 79380 -117600 56700 -1400 26880 -117600 179200 -88200 630 -12600 56700 -88200 44100c=a*bc = 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 -0.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0

8、 0 1.00008、hadamard矩陣hadamard矩陣為元素1或-1組成，并且滿足條件h*h=n*i, hadamard矩陣的維數(shù)為n，i為n階單位矩陣，hadamard矩陣在組合數(shù)學(xué)，數(shù)值分析和信號處理方面都有廣泛的應(yīng)用。與要注意的是，當(dāng)n=1時，hadamard矩陣就是1，當(dāng)n=2時，hadamard的維數(shù)n有一定的要求，即n、n/12或n/20是2的正整數(shù)次冪。hadamard(8)ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -

9、1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1hadamard(6)? error using = hadamardn must be an integer and n, n/12 or n/20 must be a power of 2.9、hankel矩陣hankel矩陣是針對于一個向量c或者兩個向量c或r，而生成的一個對稱矩陣。矩陣中各元素滿足如下規(guī)律：（1）當(dāng)只有一個向量c時，h=hankel(c):以向量c作為hankel矩陣的第一列；反對角線上的各元素相等；主反對角線下方元素為0。（3） 當(dāng)有兩個向量c和r

10、時，h=hankel（c，r）：以向量c作為hankel矩陣的的第一列；以向量r作為矩陣的第一行;當(dāng)c的第一個元素不同于r的第一個元素時，取c的第一個元素作為主反對角上的元素。 c=5 6 7 8 9 10;r=6 7 8 9 10 11;h=hankel(c)h = 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 0 7 8 9 10 0 0 8 9 10 0 0 0 9 10 0 0 0 010 0 0 0 0 0h=hankel(c,r)warning: last element of input column does not match first element of input

11、row. column wins anti-diagonal conflict.(type warning off matlab:hankel:antidiagonalconflict to suppress this warning.) in c:matlab6p5toolboxmatlabelmathankel.m at line 27h = 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 7 7 8 9 10 7 8 8 9 10 7 8 9 9 10 7 8 9 10 10 7 8 9 10 1110、toeplitz矩陣toeplitz矩陣與hankel矩陣類似，也是針對于一個向量c

12、或者兩個向量c或r，而生成的一個對稱矩陣。矩陣中各元素滿足如下規(guī)律：（1） 當(dāng)只有一個向量c時，t=toeplita（c）:以向量c作為toeplitz矩陣的第一列：對角線上的各元素相等；各元素關(guān)于主對角線對稱。（2） 當(dāng)有兩個向量c或r時，t=toeplitz(c,r)時：以向量c作為toeplitz矩陣的第一列；以向量r作為矩陣的最后一行；當(dāng)c的第一個元素不同于r第一個元素時，取c的第一個元素作為主對角上的元素。c=5 6 7 8 9 10;r=6 7 8 9 10 11;t=toeplitz(c)t = 5 6 7 8 9 10 6 5 6 7 8 9 7 6 5 6 7 8 8 7 6

13、 5 6 7 9 8 7 6 5 610 9 8 7 6 5 t=toeplitz(c,r)warning: first element of input column does not match first element of input row. column wins diagonal conflict.(type warning off matlab:toeplitz:diagonalconflict to suppress this warning.) in c:matlab6p5toolboxmatlabelmattoeplitz.m at line 18t = 5 7 8 9

14、 10 11 6 5 7 8 9 10 7 6 5 7 8 9 8 7 6 5 7 8 9 8 7 6 5 7 10 9 8 7 6 5二、矩陣的特征參數(shù)運(yùn)算1、 矩陣的逆運(yùn)算的充分必要條件是矩陣的行列式不為零。a=1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4a = 1 0 0 0 1 2 0 0 2 1 3 0 1 2 1 4 b=inv(a)b = 1.0000 0 0 0 -0.5000 0.5000 0 0 -0.5000 -0.1667 0.3333 00.1250 -0.2083 -0.0833 0.25002、矩陣的行列式運(yùn)算當(dāng)矩陣為方陣時，可以進(jìn)行矩陣的行列式

15、運(yùn)算操作，用det函數(shù)操作。 x=det(a) %a、b取自上例x = 24 y=det(b)y = 0.0417 i=x*yi = 1 3、矩陣的特征值運(yùn)算（1） 用eig和eigs兩個函數(shù)來進(jìn)行矩陣的特征值運(yùn)算。其格式如下：e=eig(x)命令生成由矩陣x的特陣值所組成的一個列向量。（2） v,d=eig(x)命令生成兩個矩陣v和d，其中v是以矩陣x的特征向量作為列向量組成的矩陣， d是由矩陣x的特征值作為主對角線元素購成的對角矩陣。（3） eigs(a)命令是由迭代法求解矩陣的特陣值和特征向量。（4） d=eigs(a)命令生成由矩陣a的特征值組成的一個列向量。a必須為方陣，最好是大型稀

16、疏矩陣。（5） v,d=eigs(a)命令生成兩個矩陣v和d，其中v是以矩陣a的特征向量作為列向量組成的矩陣，d是由矩陣a的特征值作為主對角線與元素構(gòu)成的對角矩陣 x=magic(3)x = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 a=1 0 0;0 0 3;0 9 0a = 1 0 0 0 0 3 0 9 0 e=eig(x)e = 15.0000 4.8990 -4.8990 v,d=eig(x)v = -0.5774 -0.8131 -0.3416 -0.5774 0.4714 -0.4714 -0.5774 0.3416 0.8131d = 15.0000 0 0 0 4.8990 0 0

17、 0 -4.8990 d=eigs(a)d = -5.1962 5.1962 1.0000 v,d=eigs(a)v = 0 0 1.0000 0.5000 0.5000 0 -0.8660 0.8660 0d = -5.1962 0 0 0 5.1962 0 0 0 1.0000 d=eigs(a)d = -5.1962 5.19621.00004、矩陣的范數(shù)運(yùn)算數(shù)值分析與計算方法所得不同之處在于引入了范數(shù)的概念，用norm和normest函數(shù)來計算矩陣的范數(shù)，其格式如下：（1） norm函數(shù)norm（x）用來計算矩陣x的2-范數(shù)norm（x，2）與norm(x)的功能相同norm（x，1）

18、用來計算矩陣x的1-范數(shù)norm（x，inf）用來計算矩陣x的無窮范數(shù)norm（x，fro）用來計算矩陣x的frobenius范數(shù)（2） normest函數(shù)normest函數(shù)只能計算矩陣的2-范數(shù)。且是其2-范數(shù)的估計值，適用于計算norm（x）比較費(fèi)時的情況，其格式為normest(x). x=hilb(4)x = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 norm(4)ans = 4 norm(x)ans =

19、1.5002 norm(x,2)ans = 1.5002 norm(x,1)ans = 2.0833 norm(x,inf)ans = 2.0833 norm(x,fro)ans = 1.5097 normest(x)ans = 1.5002 5、矩陣的條件數(shù)運(yùn)算 矩陣的條件舒適判斷矩陣“病態(tài)”程度的一個量值，矩陣a的條件數(shù)越大，表明a越“病態(tài)”，反之，表明a越“良態(tài)”。（1） cond函數(shù)cond函數(shù)用于計算矩陣的條件數(shù)，cond(x)返回關(guān)于矩陣x的2-范數(shù)的條件數(shù)。cond(x,p)關(guān)于矩陣x的p-范數(shù)的條件數(shù)（p為1、2、inf或fro）。（2） rcon函數(shù)rcond函數(shù)用于計算矩陣

20、條件數(shù)的倒數(shù)值，所以當(dāng)矩陣x病態(tài)時，rcond(x)就接近0；x“良態(tài)”時，rcond（x）就接近1。（3） condestcondest(x)用于計算關(guān)于矩陣x的1-范數(shù)的條件數(shù)的估計值。 m=magic(3); h=hilb(4); c1=cond(m)c1 = 4.3301 c2=cond(m,1)c2 = 5.3333 c3=rcond(m)c3 = 0.1875 c4=condest(m)c4 = 5.3333 h1=cond(h)h1 = 1.5514e+004 h2=cond(h,inf)h2 = 2.8375e+004 h3=rcond(h)h3 = 3.5242e-005 h

21、4=condest(h)h4 = 2.8375e+0046、特征值的條件數(shù)運(yùn)算通過函數(shù)condeig進(jìn)行特征值條件數(shù)的計算。函數(shù)使用方式為condeig(a)或者v，d，s= condeig（a），其中condeig（a）表示有矩陣的各特陣值條件數(shù)所構(gòu)成的列向量；v，d，s= condeig（a）等價于上面介紹v，d=eig(a)和s=condeig(a)。v表示特征向量組成的矩陣，d表示特征值組成的對角陣，s表示對應(yīng)的特征值條件數(shù)。 v=1 1 1 10e10v = 1.0e+011 * 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 a=diag(v)a = 1.0e+011 *

22、0.0000 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0 1.0000 jt=cond(a) %矩陣的條件數(shù)計算jt = 1.0000e+011 tt=condeig(a) %矩陣特征值的條件數(shù)計算tt = 1 1 1 1 m=magic(7)m = 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 jt=cond(m) %矩陣的條件數(shù)計算

23、jt =7.1113 tt=condeig(m) %矩陣特征值的條件數(shù)計算tt = 1.0000 1.0048 1.3171 1.3125 1.0048 1.31251.31717、矩陣的秩用rank來求得矩陣的秩 t=rand(6)t = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.61

24、54 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 r=rank(t)r = 6 t1=1 1 1;2 2 3t1 = 1 1 1 2 2 3 r=rank(t1)r = 28、矩陣的跡矩陣的跡是指矩陣主對角線上所有元素的和，也是矩陣的特征值。用trace函數(shù)求得。 t=trace(m)t = 65 t1=eig(m)t1 = 65.0000 -21.2768 -13.1263 21.2768 13.1263 t2=65-21-13+21+13t2 = 659、矩陣的偽逆在matlab中，矩陣的偽逆運(yùn)

25、算可以有函數(shù)pinv實現(xiàn)。完整的應(yīng)用形式為x=pinv(a),矩陣x和矩陣a同維數(shù)，并且矩陣a和矩陣x滿足條件a* x*a=a、x*a*x=x和a*x=x*a=i（在一定的誤差條件下近似成立） a=magic(4)a = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 b=inv(a)warning: matrix is close to singular or badly scaled. results may be inaccurate. rcond = 1.306145e-017.b = 1.0e+014 * 0.9382 2.8147 -2.8147 -0

26、.9382 2.8147 8.4442 -8.4442 -2.8147 -2.8147 -8.4442 8.4442 2.8147 -0.9382 -2.8147 2.8147 0.9382 b1=pinv(a)b1 = 0.1011 -0.0739 -0.0614 0.0636 -0.0364 0.0386 0.0261 0.0011 0.0136 -0.0114 -0.0239 0.0511 -0.0489 0.0761 0.0886 -0.0864 c1=a*bc1 = 1.0000 0 -1.0000 -0.5000 -0.2500 0 0 0.3750 0.2500 0.5000 0

27、 -0.2500 0.1563 0.1250 0 1.2344 c2=a*b1c2 = 0.9500 -0.1500 0.1500 0.0500 -0.1500 0.5500 0.4500 0.1500 0.1500 0.4500 0.5500 -0.1500 0.0500 0.1500 -0.1500 0.9500 c3=b*a*1 1 1 1c3 = 0.8438 6.6250 -4.3125 0.4219 c4=b1*a*1 1 1 1c4 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.000010、正交矩陣函數(shù)orth(a)可以很方便的求得矩陣a的正交矩陣。完整的應(yīng)用形式為q=or

28、th（a）,q是基于矩陣a的范圍內(nèi)的正交陣，且滿足q*q=i,q的列數(shù)與矩陣a的秩相同。 v=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5v = 2 2 -2 2 5 -4 -2 -4 5 r=orth(v)r = -0.3333 0.0000 0.9428 -0.6667 0.7071 -0.2357 0.6667 0.7071 0.2357 e=r*re = 1.0000 0 -0.0000 0 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 matlab在編程方面的應(yīng)用本章主要對matlab在編程方面的應(yīng)用作一個較詳細(xì)的介紹，其中涉及了編程必然須注意的變量類型、數(shù)據(jù)

29、類型、程序控制語句及matlab函數(shù)等相關(guān)內(nèi)容。一、 變量、語句1 變量命名規(guī)則 必須以字母開頭； 可以由字母、數(shù)字和下劃線混合組成； 字符長度應(yīng)不大于31個。注意：matlab區(qū)分大小寫。2 局部變量和全局變量通常，每個函數(shù)體內(nèi)都有自己定義的變量，不能從其他函數(shù)和matlab工作空間訪問這些變量，這些變量即是局部變量。如果要使某個變量在幾個函數(shù)中和matlab函數(shù)空間都能使用，可以把它定義為全局變量。全局變量就是用關(guān)鍵字“global”聲明的變量。全局變量名盡量大寫，并能夠反映它本身的含義。如果需要在幾個函數(shù)中和matlab工作空間都能訪問一個全局變量，那么必須在每個函數(shù)中和matlab工作

30、空間內(nèi)都聲明該變量為全局變量為全局的。全局變量需要在函數(shù)體的變量賦值語句之前說明，整個函數(shù)以及所有對函數(shù)的遞歸調(diào)用都可以利用全局變量。注意：實際編程中，應(yīng)盡量避免使用全局變量，因為全局變量的值一旦在一個地方被改變，那么在其他包括該變量的函數(shù)中都將改變，這樣由可能會出現(xiàn)不可遇見的情況。如果需要用全局變量，建議全局變量名要長，能反映它本身的含義，并且最好所有字母都大寫，并由選擇地以首次出現(xiàn)的m文件的名字開頭。3 基本語句matlab可以認(rèn)為是一種解釋性語言，用戶可以在matlab命令窗口鍵入命令，也可以在編輯器內(nèi)編寫應(yīng)用程序，這樣matlab軟件對此命令或程序中各條語句進(jìn)行翻譯，然后在matlab

31、環(huán)境下對它進(jìn)行處理，最后返回運(yùn)算結(jié)果。matlab語言的基本語句結(jié)構(gòu)為:變量名列表表達(dá)式其中等號左邊的變量名列表為matlab語句的返回值，等號右邊的是表達(dá)式的定義，它可以是matlab允許的矩陣運(yùn)算，也可以是函數(shù)調(diào)用。等號右邊的表達(dá)式可以由分號結(jié)束，也可以由逗號或回車結(jié)束，但它們的含義是不同的，如果用分號結(jié)束，則左邊的變量的結(jié)果將不在屏幕上顯示，否則將把結(jié)果全部顯示出來。matlab語言和c語言不同，在調(diào)用函數(shù)時matlab允許一次返回多個結(jié)果，這時等號左邊是 括起來的變量列表。注意：表達(dá)式中的運(yùn)算符號兩側(cè)允許有空格，以增加可讀性。但在復(fù)數(shù)或符號表達(dá)式中要盡量避免，以防出錯。在matlab的

32、基本語句結(jié)構(gòu)中，等號左邊的變量名列表和等號一起可以省略，這時將把表達(dá)式的執(zhí)行結(jié)果自動賦給變量“ans”，并顯示到命令窗口中。4 數(shù)據(jù)類型matlab下的數(shù)據(jù)類型最大的特點(diǎn)就是每一種數(shù)據(jù)類型都是以數(shù)組為基礎(chǔ)，都是從數(shù)組派生出來的，matlab事實上把每種類型的數(shù)據(jù)都作為數(shù)組處理。matlab下有六種基本數(shù)據(jù)類型，分別是：double（雙精度數(shù)值），char（字符），sparse（稀疏數(shù)據(jù)），storage（存儲型），cell（單元數(shù)組），struct（結(jié)構(gòu)）。其中存儲類型是一個虛擬數(shù)據(jù)類型，這是matlab后來幾個版本新增的定義，它包括：int8（8位整型），uint8（無符號8位整型），int

33、16（16位整型），uint16（無符號16位整型），int32（32位整型），uint32（無符號32位整型）。matlab有兩種工作方式：交互式的命令行工作方式m文件的程序工作方式一. m文件用matlab語言編寫的程序，稱為m文件。 m文件有兩類：命令文件和函數(shù)文件。命令文件：沒有輸入?yún)?shù)，也不返回輸出參數(shù)。函數(shù)文件：可以輸入?yún)?shù)，也可返回輸出參數(shù)。m文件的建立與編輯建立新的m文件： 從matlab命令窗口的file菜單中選擇new菜單項，再選擇m-file命令。命令文件將需要運(yùn)行的命令編輯到一個命令文件中，然后在matlab命令窗口輸入該命令文件的名字，就會順序執(zhí)行命令文件中的命令?！纠?】 建立一個命令文件將變量a,b的值互換。 e31m文件：a=1:9; b=11,12,13;14,15,16;17,18,19; c=a;a=b;b=c; a b 在matlab的命令窗口中輸入e31，將會執(zhí)行該命令文件1. input函數(shù)：用于