2020屆高三數(shù)學備考沖刺140分問題08形形色色的切線問題(含解析)

1、問題08形形色色的切線問題一、考情分析用導數(shù)研究曲線的切線問題是導數(shù)的重要應用之一，也是高考考查的熱點，考查的形式不一，可以是客觀題也可以是解答題,內容涉及到曲線切線的傾斜角與斜率，曲線切線方程的確定，兩曲線的公切線問題及滿足條件的切線條數(shù)問題.二、經(jīng)驗分享(1)函數(shù)y = f(x)在點xo處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y= f(x)在點P(xo，f(x。)處的切線的斜率k，即k= f ( Xo). 已知切點A(xo, f(xo)求斜率k，即求該點處的導數(shù)值：k = f (Xo).Vl=/U) 小g)(E求解即可. 已知斜率k，求切點A(xi，f(xi)，即解方程f(xi) = k.(3 )若求

2、過點P(xo, yo)的切線方程，可設切點為(xi, yi),由 八(4)函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度可fl = f + 二一tdnx：（療芒 R x以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.【小試牛刀】【20i8屆遼寧省丹東市五校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考】已知函數(shù)(I)若f x在x = 2處取極值,求f x在點i, f i處的切線方程；(n)當a o時，若f x有唯一的零點xo,求證：xo i.7x+ v-10=0【答案】(I)； (n)見解析.【解析】(I )=x) = (x0):XX*V/(x)在“2 處収極值J z2) = 14-2a=() K

3、 得“7J / =疋一2又=在點(L/n)：| 處的切線方程為 v-3 = -7(x-l)l(n)由(I)知令a0fg，(x)=0由(a0小一1 6g x在g0)=-2c0時，g X : 0 ；,在gx2x-ax-2 則g(x) = 6才一。又,故當又一 ,故g x在1,亠I上有唯一零點，設為x1,從而可知f x在0,捲 上單調遞減，在Xi, ：上單調遞增， 因為f x有唯一零點x0,故 x = x0 且 x01（三）兩曲線的公切線.15 Av-ax* + x-9 3 4【例3】若存在過點（1,0）的直線與曲 線y =x3和都相切，則a等于（）2521A. -1 或B.-1 或644【分析】本

4、題兩條曲線上的切點均不知道X15一 4D. -或 74含有參數(shù),所以考慮先從常系數(shù)的曲線y =x3入手求出切線方程再考慮在利用切線與曲線求出a的值.【解析】設過的直線與曲切于點r切線方程為= -對：即y = 3x-2S為（1在切上所以解得：壬二0或x. = |即切點坐標為）或蘭切點- 8 丿q 15r 1 125（呵時.由0與，.丁-9相切可得“遼4心）=2話，同理，切點為誌解得1【答案】A【點評】（1）涉及到多個函數(shù)公切線的問題時，這條切線是鏈接多個函數(shù)的橋梁所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來，再考慮切線與其他函數(shù)的關系15 A. 15 Av =axv =oxzAzA（2）在利用

5、切線與求a的過程中，由于曲線為拋物線，所以并沒有利 用導數(shù)的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的汽=0來求解，減少了運算量通過例7, 例8可以體會到導數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面 ，求有關導數(shù)的問題時可以用到解析的思想 ，而有些在 解析中涉及到切線問題時，若曲線可寫成函數(shù)的形式，那么也可以用導數(shù)來進行處理，（尤其是拋物線）【小試牛刀】【2019屆安徽省皖中名校聯(lián)盟 10月聯(lián)考】若直線 是曲線沐-的切線，也是曲線y =的切線，則h =【答案】0或1【解析】直線與尸血+2的切點為也與丁二尸的切點故才-=呂也且:二:f = 2” 消古得到（1 + lnXiL）（l -）=0,故心=

6、負奴嚴b故, j或；：二2，故切纟媯丫 = 或= x +所以? = 0或者b = 1埴0或1.（四）曲線條數(shù)的確定【例4】已知函數(shù)-，若過點 P（1，t ）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍【分析】由于并不知道 3條切線中是否存在以 P為切點的切 線，所以考慮先設切點 x0, y0，切線斜率為k，y-ykx-xk二八對二6禺-彳，所以切線方程為，即丫-（2= j6.Y?+6xt，代入p 1，t化簡可得：，所以若存在2+6坨3?（x| = -4xJ +6才-3有三個解，即y = t與忑L丿有三個不同交點則滿足則等價于方程3條切線，數(shù)形結合即可解決【解析】設切點坐標 X0，y ，切

7、線斜率為k，則有:v-(2-3) = l6-3)(x-x0)切線方程為：因為切線過p 1，t，所以將p 1，t代入直線方程可得:r-（2-3xD） = （6x；-3）（l-Xo）亠=（6-刖1-無）+（2*-3珀）I*_ !RiRR=6丘-3 - 6.v； + 3倉 + 2 - 3疋=-4x- + 6崔-3所以問題等價于方程 t “: +:令 g x） x * 6x.i勺日口舌徑+匕g（xl = 7f +6FT若一人才日亠片即直線y = t與有二個不同父點g （x） = -12x* +12x = -12x（x-l |人一令g x 0解得0 :： x ：1 所以g x在單調遞減,在0,1單調遞增

8、曲）欣=（1）=一輛他槪=?（）=T所以若有三個交點,則I-3,-1所以當t三3, -1時,過點P 1,t存在3條直線與曲線y = f x相切.【點評】曲線切線條數(shù)的確定通常轉化為切點個數(shù)的確定，設出切點P t, f t ,由已知條件整理出關于 t的方程，可把問題轉化為關于t的方程的實根個數(shù)問題.【小試牛刀】【2019屆齊魯名校教科研協(xié)作體湖北、山東部分重點中學2019屆高三第一次聯(lián)考】已知過點1 作曲線的切線有且僅有兩條，則實數(shù):的取值范圍是（）A 4)U(D. +s) B l)u(l +s) D (5_1)【答案】Afr r rayL . x = （x0 + 1） ea【解析】設切點為I

9、% 丿，y之工+1）/ ,，則切線方程為：（，切線過點心0）代入得:乍異-31）化-訶2- ax0 -a = 0i = a2 + 4ct 0=啦 0xo-a =x + 1,即方程有兩個解，則有或a V 4.f x是偶函數(shù)，當x 0時,/lx)=(2x-lllnx故答案為：A.5.【2018屆湖北省荊州中學高三第二次月考】已知函數(shù)則曲線y二f x在點-1,f -1處切線的斜率為（A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B【解折】試題分析：由于函數(shù)/(X1偶函數(shù)，當eO時，/idu(2x-1)貶：進而可得當wO時/(x) = -(2x+l)ln(-x),/A而曲?知=力；劉在點(-1門-

10、1)處躺的斜率為Z(-!) = -!選B.6.【2018屆河南省天一大聯(lián)考】已知f x是定義在R上的單調函數(shù)，滿足一0, f 0處的切線方程為(A. y =x 1 B.C.y - _X 1 D. y - -x _1【答案】AMWex為一固定的數(shù)，設,則有f a=1.由x =a 時，有；：,解得 a = 0 . f x =ex , 廠 x = ex . 【解析】由題意可得/何丸+，當門0)二1,又 f|O) = g 二 1 .曲線 f(X 在(0, f(0)處的切線方程為 y _1 = X ,即 y = x + 1.選 A.7.【2018屆河南省南陽高中三年級期中】已知R,F2為曲線c：y=l

11、nx ( x 0且x = 1 )上的兩點，分別U”|JMN =()過R,P2作曲線C的切線交y軸于M ,N兩點，若RV = ,則A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】設切點作標為無巧)工(冷|皿|：若西也曰1+糾則-=-lT不合題鳶若心(訓丄i西丿1、 -一嚴亠匕不合題盍只有九ElQll壬曰1七o)；因為別= 所以.此時一忑甘=_：召肛 方程:y+ln+二一一仗一碼)令x = 0:尺層方 fl y-ln-+=xltx,iX = O ? Vy 17血=氐_丹卜2.故選B8 .【2018屆廣東省陽春高y(x)二我+2 處上學期第三次月考】設點p為函數(shù)亠與g（歸屜+2仙0）圖象的公

12、共點,以P為切點可作直線I與兩曲線都相切，則實數(shù)b的最大值為A. 2e43B.2e4C.D.【答案】v = j|x)(x0)/t(x)=x+2af,(x)=x在公共點 P X0，y。 處的切線意，,*丄 3d*臨 + 2a =心亠2a = 毛得x = a或X)= -3a (舍去)A(r) = -r -3rlnrir Oj h (?)=2/(l-31nt)，令，則尸1、0,e3為增函數(shù)，在e3， 為減函數(shù)，于是h（t ）在（0,畑）的最大值為,故b的最大值為,3a*2a = 3dlnx；亠 2b.毛亠 2口 =毛，由2& = - a: + 2o3=-i?-3a:hw2 2有 -丄 f(l-31n

13、r)0 沖 1l-31nf)0ri 2）= -1 0)1Ar(x)=4x(lnr+l)，則h（x ）在足）上單調遞減，在 （十上單調遞增,h即-b = h x的最小值為11.【2018屆內蒙古巴彥淖爾市高三月考】已知函數(shù)P1,所以b的最大值為-2 ,故選A.e/（x）=/-mr+l的圖像為曲線C,若曲線c存在與1直線八1x垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是1A. m2 B. m 蘭2 C. m d m 2【答案】A解析】1曲線C 存在與直線y x垂直的切線,2f(x)=-用二:.m = l+*成立，故選1 x- j - Mnx( a,b 乏 R ) , g (x ) = x2.16.已知函數(shù)（1

14、 ）若a =1,曲線y=f x在點1, f 1處的切線與y軸垂直，求b的值;（2）若b =2,試探究函數(shù)f x與g x的圖象在其公共點處是否存在公切線.若存在，研究a值的個數(shù);若不存在，請說明理由.【解析】（1當a =1B1； /（xl =兀一2-占】nx：二 /7-vl = l+-L- = -I】xx Xx依題意得廣=20=0以(2)假設函數(shù)f x與g x的圖象在其公共點 x0,y0處存在公切線，f ix-a x- ；_21nxI =：日- b =2, , , g x =2x,爲-2旳+&_2尤2乂-曲+ 2耳f二0由得，即，任+1|(2礦喬0a,故 X。= a 2=-4(0,+)當a空0時，-函數(shù)f x的定義域為 0, ：,函數(shù)f x與g x的圖象在其公共點處不存在公切線;當“0時，令伯/A-21n-2 = 6卩=(c0).224 S 2下面硏究滿足此等