對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算知識點(diǎn)及例題解析匯編

1、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算知識點(diǎn)及例題解析1、對數(shù)的定義 若aN(a.O,且a)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x = logaN，其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù). 負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù). 對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=logaNu ax=N(a .O,a,N . 0).2、 以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù),log ioN記作lgN .logeN 記作 ln3、以無理數(shù)e=2.718 28為底的對數(shù)稱為自然對數(shù),4、對數(shù)的性質(zhì)： logal =0,logaa =1(2)對數(shù)恒等式alogaN = N:loaN = N (a0,且 a 1).類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用例1、將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：b 9 _ 2

2、(1)； (2) I I (3廠 ； (4)二；(5)思路點(diǎn)撥：運(yùn)用對數(shù)的定義進(jìn)行互化A=9；(3)解：】一 -;(2)(呵；呃紇5 = 4； (5)-：；(6)-2=16log3-l log 16 = -23；45、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a .0,a,M 0,N 0，那么加法：M loga M loga N rloga(MN)減法：loga M logaNlogaiN數(shù)乘：nlogaM = loga M n(n R)iogamMn= |1。刖.換底公式：吋=器20,且bF特殊情形:1丄亠、logab= loga，推廣 logab logbc logd= logad.例2、求下列各式中x的值：(1

3、) J (2)一 (3)lg100=x (4) 上：一二思路點(diǎn)撥：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求出x.x = (M)-3=(4yi=4C = 4-a=l解：-；i11 i(2) T一 一 亍一一一遼一 10 x=100=102,于是 x=2;(4)由例 3、若 X= log43,95a4b4則(2X 2x)2 等于(104C亍d3解由x= log43，得4x= 3,即 2x= 3,43.彳，所以(2X 2X)J類型二、利用對數(shù)恒等式化簡求值3“謬3例4、求值：解：-:.總結(jié)升華：對數(shù)恒等式二訂中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對數(shù)形式；其值為真數(shù)訪 Gb&N例5、求機(jī)的值(a

4、, b, c R+,且不等于1, N0)思路點(diǎn)撥：將幕指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為幕的幕，再進(jìn)行運(yùn)算”盤訪Gb加二|/如|10妙叱N二用嗨緯畑加類型三、積、商、幕的對數(shù)例6、已知lg2=a , lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 lg12 (5)lg5 (6) lg15 解：(1)原式=lg3 2=2lg3=2b原式=lg2 6=6lg2=6a原式=lg2+lg3=a+b原式=lg2 2+lg3=2a+b原式=1-lg2=1-a原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a(1) : _一 + 一一厶厶(2)lg2 lg50+(lg5)2 (3)lg2

5、5+lg2 lg50+(lg2)2(2)(3)(4)(5)(6)例7、解：(1) -，：. - - -i. I=2 lofe5a+3log3 2(-8x0=4+18-0= 2222(2) 原式=lg2(1+lg5)+(lg5) =lg2+lg2lg5+(lg5)=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)22=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.14=2例8、已知3a=5b=c,匚 ，求c的值.a /曰1。氐羅二L即川。岳芫1, ：. 10g謂二丄 解：由3 =

6、c得：二I喝5,由丄+2二2衛(wèi)吸3+1% :5匸2同理可得-二:.bgr15 = 2r; c2 = 5rO:.c=iog2(i+1遇(i+二 1 例9、設(shè)a、b、c為正數(shù)，且滿足a2+b2=c2.求證：.-H4 .住+b + c . a+b-c .a + b+c a +A-c.左邊二 loga+1過= log2 ()證明：,+掰-0, b0.求證：2 2證明：t a +b =7ab,/ a0，b0,即二a+i 1 .= -(lg+lgi)乙 a2+2ab+6=9ab,即卩(a+b) 2=9ab,. Ig(a+b) 2=lg(9ab), 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb 2lg(a+b)

7、-lg3=lga+lgba 1 .-一丄|乙一 log e例11、(1)已知log xy=a，用a表示 .；(2)已知 log aX=m, log bX=n， log cx=p，求 log abcx.logiy 二 l + lo臥y = l+類型四、換底公式的運(yùn)用-alog 川丁二 T 0 log/ 廟解：原式=:(2)思路點(diǎn)撥：將條件和結(jié)論中的底化為同底.m. np方法一：a =x， b =x， c =x2 j2a = x化b 二芒，c = Jlog 戚 x =方法二：111 =1汀*mnp丄+丄+丄 mn +矽+呼m n p1log r abc k)g+log+log “ mn+np +m

8、pmnp;11一例12、求值：= 解：n 九 132 log23 log23og32 5352+二(丁 + 于)Qogj 2+)二？bg昇-log32 = - log 3 9232624_ lg 9 lg 32 21g 3 51g 2 10(2j ；logj(3)法一251法二：.總結(jié)升華：運(yùn)用換底公式時，理論上換成以大于o不為1任意數(shù)為底均可，但具體到每一個題，一般以題中某個對數(shù)的底為標(biāo)準(zhǔn)，或都換成以10為底的常用對數(shù)也可.類型五、對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例13、求值(1) log 89 log 2?32(2) -門：一-二二3log2g2 32+log i+log 436)(3) :- (4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)1 柑2 5 10bg 乍 3 log 爭 2 - 解：原式=.原式=二：-3,3log3(5 + fcg 17+log j 6 = 1082(5-1062-+10836)-13628-3 原式=(log 2125+log 425+