分塊加權(quán)主成分分析法

1、第 27 卷第 3 期南昌大學(xué)學(xué)報(bào)( 理科版)Vol. 27 No . 32003 年 9 月Journal of N anchang U niversity( Natural Science)Sept. 2003文章編號(hào): 1006- 0464( 2003) 03- 0211- 05分塊加權(quán)主成分分析法徐兵, 鄧群釗, 賈仁安( 南昌大學(xué)系統(tǒng)工程研究所, 江西南昌 330047)摘 要: 采用分塊的方法, 提出了分塊加權(quán)主成分分析法, 并運(yùn)用于江西省軟科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目中, 有效地解決了綜合評(píng)價(jià)中主成份法的逆序問(wèn)題。關(guān)鍵詞: 主成分; 分塊加權(quán); 評(píng)價(jià)中圖分類號(hào): N 945116文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:

2、 A主成分分析法以其理論和實(shí)踐的簡(jiǎn)潔性, 所得結(jié)果的客觀性等特點(diǎn), 廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、科教等領(lǐng)域中眾多對(duì)象的綜合評(píng)價(jià), 成為最常用的評(píng)價(jià)排序方法之一。人們運(yùn)用主成分分析方法, 通常都是依貢獻(xiàn)率大小次序選用主成分, 使原始數(shù)據(jù)信息的利用率( 累積貢獻(xiàn)率) 達(dá) 85% 以上, 然后以所選取的主成分為權(quán)數(shù)進(jìn)行線性加權(quán), 得到各評(píng)價(jià)對(duì)象的得分值, 并依得分值進(jìn)行評(píng)價(jià)排序。但是, 如何保證評(píng)價(jià)排序的有序性及出現(xiàn)逆序時(shí)如何處理, 是個(gè)待研究的問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題, 本文給出了一個(gè)逆序的實(shí)例, 并提出了改進(jìn)的主成分分析法- 分塊加權(quán)主成分分析法,很好的解決了逆序問(wèn)題。1 主成分分析法的必要條件及逆序?qū)嵗O(shè)

3、有 n 個(gè)待評(píng)價(jià)的樣本點(diǎn)e 1, e 2, , e n, 每個(gè)樣本點(diǎn)均由 p 個(gè)指標(biāo)變量描述, 其原始數(shù)據(jù)矩陣為 X = x ij n p , 對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化矩陣為 Z = z ij n p 。參考文獻(xiàn) 1 研究了主成分的選取問(wèn)題, 提出了運(yùn)用主成分分析法進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí), 評(píng)價(jià)得分值的一般形式:S 1TZ1S =S 2= E w j tjT( 1)Z2 bj = Z E w jt jbjspspj = 1j = 1S nZTnp式中j =E1 w j tj bkj 為評(píng)價(jià)得分值S 對(duì)應(yīng)于指標(biāo)z k ( k = 1, 2, , p ) 的權(quán)系數(shù), w j 是第j 個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率, tj 可取- 1,

4、1 或 0( 0 表示不選擇第 j 個(gè)主成分) , bj = ( b 1j , b 2j , , bp j ) T 是第j 個(gè)主成分。記: Zi 9 Zk 為樣本點(diǎn)Zi 優(yōu)于Zk ; Zi Zk 為樣本點(diǎn)Zi 不劣于Zk ; 若 Zi Zk 和Zk Zi 同時(shí)成立, 稱 Zk 無(wú)差異于 Zi , 記為 Zi WZk 。定義 1若評(píng)價(jià)得分值 S 是有序的, 當(dāng)且僅當(dāng) S i S k 時(shí), 有 Zi Zk ; 否則稱 S 是無(wú)序的。要保證 S 是有序的, 必須使正指標(biāo)( 越大越好的指標(biāo)為正指標(biāo)) 的權(quán)系數(shù)大于零, 負(fù)指標(biāo)( 越小越好的指標(biāo)為負(fù)指標(biāo)) 的權(quán)系數(shù)小于零。定理 1主成分評(píng)價(jià)得分值 S 是

5、有序的, 當(dāng)且僅當(dāng)正指標(biāo)的權(quán)系數(shù)大于零, 負(fù)指標(biāo)的權(quán)系數(shù)小于零, 即:E w j tj bkj, k = 1, 2, , ppj = 1 0, 當(dāng) z k 為負(fù)指標(biāo)由此可見(jiàn), 應(yīng)用主成分分析法進(jìn)行評(píng)價(jià)排序時(shí)應(yīng)注意必要條件( 2) 必須滿足。我們?cè)诮魇≤浛茖W(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目/ 江西區(qū)域可持續(xù)發(fā)展能力定量評(píng)估研究0 的研究過(guò)程中, 運(yùn)用收稿日期: 2003- 04- 17基金項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 79860002) ; 江西省軟科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目( Z1439) ; 南昌大學(xué)?；鹳Y助項(xiàng)目 ( Z1759)作者簡(jiǎn)介: 徐 兵( 1972- ) , 男,講師1# 212 #南昌大學(xué)

6、學(xué)報(bào)( 理科版)2003 年了算術(shù)加權(quán)方法和主成分分析法兩種方法對(duì)江西省的 11 個(gè)地市進(jìn)行評(píng)價(jià)排序, 然后用迭代組合方法得到綜合得分及排名。在運(yùn)用主成分分析法時(shí), 發(fā)現(xiàn)按主成分分析法的一般步驟, 直接用其進(jìn)行評(píng)價(jià), 很難滿足必要條件( 2) , 經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。表 1江西省 11 地市經(jīng)濟(jì)子系統(tǒng) 1999 年數(shù)據(jù)表指標(biāo)南昌景市萍鄉(xiāng)九江新余鷹潭贛州宜春上饒吉安撫州X 2人均 GDP( 元/ 人)9 5055 7785 1664 2415 5653 9003 1523 5182 6163 1193 234X 3財(cái)政收入占 GDP 比重/ %4. 194. 764. 515.1366.755.

7、 975. 856. 066. 165. 72X 4第三產(chǎn)業(yè)占 GDP 比重/ %41. 538. 530. 735. 935. 231. 634. 730. 334. 329. 526. 6X 5全員勞動(dòng)生產(chǎn)率( 元/ 人)28 84421 63011 65319 17612 86529 21714 42613 52016 95314 18516 969X 6工業(yè)經(jīng)濟(jì)效益綜合指數(shù)/ %9972. 960. 6465. 3953. 8782. 35 58. 6138. 5669. 9865. 5976. 01X 7人均出口額( 美元/ 人)169. 616. 241. 844. 38. 482

8、2. 857. 152. 814. 751. 550. 66X 8人均旅游外匯收入( 美元/ 人) 5. 1192. 7650. 292 1. 040. 0742. 19 0. 9460.2810. 415 0.595 0. 718X 9人均固定資產(chǎn)投資( 元/ 人)1 138718429630641516313366283425343X 10基本投資占固投比例/ %51. 795854. 3873. 5758. 4450. 6361. 467837. 8175. 9457. 49X 11農(nóng)基建投資占固投比例/ %0. 690. 801. 430. 792. 760. 150. 130. 41

9、0. 241. 518. 09X 12公路密度/ km#( km2 ) - 10. 2650. 2780. 3720.2040. 2670.2450. 1870.2630. 2040.2130. 21例如: 我們對(duì)江西省 11 地市經(jīng)濟(jì)子系統(tǒng) 1999 年數(shù)據(jù)( 表 1) 進(jìn)行主成分分析, 得到主成分分析表( 表 2) , 我們依貢獻(xiàn)率大小選取主成分( 累積貢獻(xiàn)率大于 85% ) bT1 , bT2 , bT3 , bT4 , 計(jì)算指標(biāo)權(quán)系數(shù)數(shù)列: A= 53. 54% * t 1* bT1 + 15. 93% * t 2* bT2 + 11. 49% * t 3* bT4 + 8. 87%

10、* t 4* bT4 , 其中 t i ( i = 1, 2, 3, 4) 取- 1 或 1。由于所有指標(biāo)都是正指標(biāo), 要滿足必要條件( 2) , 必須使得所有指標(biāo)的權(quán)系數(shù)均大于零。要使指標(biāo) x 2 的權(quán)系數(shù)大于零, 必須 t 1= 1, 否則若 t 1 = - 1, x 2 的權(quán)系數(shù)不大于 53. 54% ( - 1) 0. 913+ 15. 93% ( - 1) ( - 0. 332) + 11. 49% 1 0. 105+ 8. 87% 1 0. 007= - 0. 423 0; 而當(dāng) t 1= 1, x 10 權(quán)系數(shù)不大于 53. 54% 1 ( - 0. 344) + 15. 93%

11、 ( - 1) ( - 0. 383) + 11. 49% ( - 1) ( - 0. 338) + 8. 87% 1 0. 750= - 1. 78 0; 即不能保證指標(biāo) x 2、x 10 的權(quán)系數(shù)同時(shí)大于零, 會(huì)出現(xiàn)逆序現(xiàn)象。所以我們提出了分塊加權(quán)主成分分析法來(lái)解決逆序問(wèn)題。表 2 主成分分析表指標(biāo) z j第 1 主成分 bT1第 2 主成分 b2T第 3 主成分 b3T第 4 主成分 bT4X 20. 913- 0. 3320. 1050. 007X 3- 0. 6430. 590- 0. 223- 0. 006X 40. 796- 0. 105- 0. 419- 0. 104X 50.

12、 7610. 5140. 0070. 001X 60. 7680. 5050. 296- 0. 001X 70. 9190. 0050. 0010. 127X 80. 9470. 179- 0. 0050. 116X 90. 929- 0. 162- 0. 0040. 223X 10- 0. 344- 0. 383- 0. 3380. 750X 11- 0. 2430. 1330. 8460. 394X 120. 242- 0. 7340. 318- 0. 398貢獻(xiàn)率 w53. 54%15. 93%11. 49%8. 87%累積貢獻(xiàn)率53. 54%69. 47%80. 96%89. 83%2

13、 分塊加權(quán)主成分分析法基本思路: 通過(guò)將指標(biāo)分塊來(lái)消除逆序現(xiàn)象, 使所有指標(biāo)的權(quán)系數(shù)都滿足必要條件( 2) 。其基本步驟如下:p1) 先對(duì) n 個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象在p 個(gè)指標(biāo)變量下進(jìn)行主成分分析, 計(jì)算指標(biāo) z k 的權(quán)系數(shù): Ak = j =E1 w j tj bkj ( k = 1,第 3 期徐 兵等: 分塊加權(quán)主成分分析法# 213 #2, , p ) , 其中依貢獻(xiàn)率大小選取主成分, 并使累積貢獻(xiàn)率大于 85% , t j 可取- 1, 1 或 0( 0 表示不選擇第 j 個(gè)主成分) , 取- 1 或 1 依所選取主成分的經(jīng)濟(jì)含義而定 ( 見(jiàn) 1 ) 。2) 檢驗(yàn) Ak ( k= 1, 2,

14、, p ) 是否滿足必要條件( 2) : 若滿足, 則利用公式( 1) 計(jì)算評(píng)價(jià)得分值 S , 并依 S 進(jìn)行排序; 否則轉(zhuǎn)到下一步。3) 對(duì)指標(biāo)變量進(jìn)行分塊。分塊方法: 先分析主成分分析中所得到的相關(guān)系數(shù)矩陣。理論上: 兩個(gè)同向指標(biāo)( 兩個(gè)均為正指標(biāo)或負(fù)指標(biāo)) 應(yīng)正相關(guān), 即相關(guān)系數(shù)應(yīng)大于零; 兩個(gè)反向指標(biāo)( 一個(gè)為正指標(biāo)、一個(gè)為負(fù)指標(biāo)) 應(yīng)負(fù)相關(guān), 即相關(guān)系數(shù)應(yīng)小于零。因此若兩個(gè)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)不符合上述原則, 則應(yīng)考慮將其分開(kāi); 同時(shí)結(jié)合第一主成分進(jìn)行分析, 將第一主成分視為權(quán)系數(shù), 則滿足必要條件( 2) 的指標(biāo)與不滿足必要條件( 2) 的指標(biāo)應(yīng)考慮分開(kāi)。這樣可以將指標(biāo)變量進(jìn)行初步分塊。

15、每一塊由若干指標(biāo)構(gòu)成。4) 對(duì)每一塊進(jìn)行主成分分析, 計(jì)算每一塊內(nèi)指標(biāo)的權(quán)系數(shù), 若某一塊內(nèi)存在指標(biāo)的權(quán)系數(shù)不滿足必要條件( 2) , 則重復(fù)步驟 ( 3) , 對(duì)其再進(jìn)行分塊, 直到所有分塊都滿足必要條件( 理論上可證一定存在滿足必要條件的分塊情況) 。5) 計(jì)算各樣本綜合得分:在項(xiàng)目研究中我們運(yùn)用了算術(shù)加權(quán)方法計(jì)算各地區(qū)的得分及排名, 通過(guò)專家咨詢及層次分析法, 得到每個(gè)指標(biāo)在算術(shù)加權(quán)方法中的權(quán)重。定義 2設(shè)第 m 個(gè)分塊由m s 個(gè)指標(biāo) z m1 , z m2 , , z mm s 構(gòu)成, 每個(gè)指標(biāo)通過(guò)專家咨詢及層次分析法所確定m s的權(quán)重分別為 u 1, u2, , us , 則 Um

16、 = E ui 稱為第m 個(gè)分塊的塊權(quán)重。i= 1設(shè)由步驟( 4) 最后得到 k 個(gè)滿足必要條件( 2) 的分塊, 首先利用公式( 1) 計(jì)算各樣本在每一塊的得分, 設(shè)第 j 個(gè)樣本在各塊的得分依次為v 1j , v 2j , , v kj ( j = 1, 2, , n ) , 各塊的塊權(quán)重依次為 U 1, U 2, , Uk , 利用塊權(quán)重對(duì)第 j 個(gè)樣本在每一塊的得分進(jìn)行加權(quán)平均:kSj =U1 v 1j +U 2 v 2j + ,+Uk v kj =E U mv mj( j = 1, 2, , n)( 3)m = 1最后依 S = S 1, S 2, , Sn T 進(jìn)行評(píng)價(jià)排序。定理

17、2分塊加權(quán)主成分分析法所得到的評(píng)價(jià)得分值 S 一定是有序的。將公式( 1) 、(3) 結(jié)合, 可得到分塊加權(quán)主成分分析法計(jì)算得分值 S 的一般公式:mTS =S1( Z1 )bjm = E Zm E U mw jmt jm bjm( 4)S2 = E U m E w jm tjm ( Z2 )skm smTkm sm = 1j = 1sm = 1j = 1Sn( Znm ) Tm式中 EsU m wjm tjm bijm 為評(píng)價(jià)得分值S 對(duì)應(yīng)于第m 個(gè)分塊的指標(biāo)z im ( i =1, 2, , ms ) 的權(quán)系數(shù), U m 為第 mj = 1個(gè)分塊的塊權(quán)重, w jm 是第 m 個(gè)分塊的第j

18、 個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率, t jm 可取-1, 1 或 0( 0 表示不選擇第 m 個(gè)分mmmm)T是第 m 個(gè)分塊的第j個(gè)主成分, Zm= z ij n m 是標(biāo)準(zhǔn)化矩陣塊內(nèi)的第j 個(gè)主成分) , bj = ( b1j , b2j , , bsjZ 的子矩陣( 對(duì)應(yīng)第 m 個(gè)分塊 ms 個(gè)指標(biāo)的數(shù)據(jù)) 。3實(shí) 例我們對(duì)第一部分的逆序例子, 應(yīng)用分塊加權(quán)主成分分析法進(jìn)行評(píng)價(jià)排序:( 1) 由相關(guān)系數(shù)矩陣( 表 3) 的第一、二、三、六、七、八列, 表明指標(biāo) x 3、x 10、x 11 應(yīng)與其它指標(biāo)分開(kāi), 再結(jié)合主成分分析表( 表 2) 的第一主成分, 指標(biāo) x 3、x 10、x 11 可作為一組,

19、 其它指標(biāo)可作為一組。得到初步分塊( 二塊: x 3, x 10, x 11 、 x 2, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 12 ) 。# 214 #南昌大學(xué)學(xué)報(bào)( 理科版)2003 年表 3相關(guān)系數(shù)矩陣X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11X 12X 21. 00-0.7400. 7240.4990.5330.8590.7890. 946-0.184-0.1270. 474X 3-0. 7401. 00- 0. 530 - 0. 129 - 0. 306 - 0. 534 - 0. 509-0. 6290. 0520. 030-0.

20、538X 40. 724-0.5301. 000.4830.4060.6580.6950. 778-0.255-0.5190. 052X 50. 499-0.1290. 4831.000.8720.6690.8550. 636-0.355-0.207-0. 095X 60. 533-0.3060. 4060.8271. 000.7050.8080. 603-0.5360. 088-0. 075X 70. 859-0.5340. 6580.6690.7051. 000.8880. 846-0.263-0.1730. 126X 80. 788-0.5090. 6950.8550.8080.8881

21、. 000. 842-0.260-0.2220. 078X 90. 946-0.6290. 7780.6360.6030.8460.8421. 00-0.083-0.1700. 258X 10-0. 1840. 052- 0. 255 - 0. 355 - 0. 536- 0. 263 - 0. 260-0. 0831. 00-0.002-0. 127X 11-0. 1270. 030- 0. 519- 0. 2070.088- 0. 173 - 0. 222-0. 170-0.0021. 00-0. 092X 120. 474-0.5380. 052- 0. 095 - 0. 0750.12

22、60.078. 0. 258-0.127-0.0921. 002) 對(duì)第一塊進(jìn)行主成分分析, 得分塊主成分分析表1( 表 4) :表 4分塊主成分分析表1指標(biāo) z j第 1 主成分( b12 ) T第 2 主成分( b22 ) T第 3 主成分( b 32) TX 30. 7320. 0013- 0. 681X 100. 630- 0. 5040.591X 110. 3560. 8640.355貢獻(xiàn)率 w35.305%33. 379%31. 316累積貢獻(xiàn)率35.305%68. 684%100%計(jì)算指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量: 35. 305% ( b11) T + 33. 379% ( b 12) T

23、 + 31. 316( b 13) T = 0. 257, 0. 241, 0. 525 T , 滿足必要條件( 2) 。對(duì)第二塊進(jìn)行主成分分析, 得分塊主成分分析表 2( 表 5) :表 5分塊主成分分析表 2指標(biāo) z j第 1 主成分( b12 ) T第 2 主成分( b22 ) T第 3 主成分( b 32) TX 20. 8960. 412- 0. 0047X 40. 7740. 103- 0. 548X 50. 802-0. 4260.249X 60. 789-0. 4050.348X 70. 9270. 001- 0.001 6X 80. 962-0. 1420. 006 5X 9

24、0. 9350. 198- 0. 136X 120. 1750. 8780.409貢獻(xiàn)率 w66. 96%16. 957%8. 446%累積貢獻(xiàn)率66. 96%83. 917%92. 363%計(jì)算指標(biāo)的權(quán)系數(shù)向量: 66. 96% ( b21) T + 16. 957% ( b22 ) T + 8. 446% ( b23 ) T = 0. 669, 0. 489, 0. 486, 0. 489, 0. 621, 0. 621, 0. 648, 0. 301 T , 滿足必要條件( 2) 。3) 由各指標(biāo)在算術(shù)加權(quán)方法中的權(quán)重( 表 6) , 得到第一塊的塊權(quán)重為 0. 22, 第二塊的塊權(quán)重為

25、 0. 78, 依公式( 4) 計(jì)算 11 地市的得分, 并依得分排名( 見(jiàn)表 7) 。表 6算術(shù)加權(quán)方法中各指標(biāo)權(quán)重表指標(biāo)X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11X 12指標(biāo)權(quán)重0. 260. 140. 110. 140. 120. 050. 040. 040. 040. 040. 02第 3 期徐 兵等: 分塊加權(quán)主成分分析法# 215 #表 7 評(píng)價(jià)結(jié)果表南昌景市萍鄉(xiāng)九江新余鷹潭贛州宜春上饒吉安撫州得分1. 460. 32- 0. 450. 01- 0. 030. 30- 0. 34 - 0. 49 - 0. 420. 25- 0. 08排名12104538119

26、76本文所提出的分塊加權(quán)主成分分析法能有效解決逆序問(wèn)題。而且塊權(quán)重是通過(guò)專家咨詢及層次分析法所得到的, 利用塊權(quán)重對(duì)各樣本在每一塊的得分進(jìn)行綜合, 反映了決策者所認(rèn)為的指標(biāo)重要性程度, 是人-機(jī)結(jié)合進(jìn)行輔助決策的思想的體現(xiàn)。本文方法在項(xiàng)目中得到了運(yùn)用, 獲得了好的結(jié)果。參考文獻(xiàn): 1 傅榮林1 主成分綜合評(píng)價(jià)模型的探討 J1 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2001, 21( 11) : 68- 741 2 王惠文1 用主成分分析法建立系統(tǒng)評(píng)估指數(shù)的限制條件淺析 J 1 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐 J1 1996, 16( 9) : 24- 271 3 楊維權(quán)1 多元統(tǒng)計(jì)分析 M 1 北京: 高等教育出版社,

27、19891 4洪 楠1 SP SS for Window s 統(tǒng)計(jì)分析教程 M 1 北京: 電子工業(yè)出版社, 20001 5 胡水宏, 賀思輝1 綜合評(píng)價(jià)方法 M 1 北京: 科學(xué)出版社, 20001 6陳 偉1 主成分分析法用于評(píng)價(jià)需注意的若干問(wèn)題 J 1 人類工效學(xué), 2002, 8( 1) : 30- 331THE DIVIDED GROUP PRINCIPLE COMPONENT ANALYSISXU Bing, DENG Qun- zhao, JIA Ren- an( Institute o f System Eng ineering, Nanchang U niversit y, N anchang 330047, China)Abstract: We bring forw ard the divided g roup pri