第三章李雅普諾夫穩(wěn)定性理論匯總

1、/r/r 弟二早李雅普諾夫穩(wěn)定性理論3.1穩(wěn)定性基本概念3.2李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性3.3李雅普諾夫第一法3.4李雅普諾夫第二法3.5線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法教學(xué)要求：1. 正確理解穩(wěn)定性基本概念和李雅普洛夫意義穩(wěn)定 性概念2. 熟練掌握李氏第一法，李氏第二法3. 掌握線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性分析和離散系統(tǒng)漸近穩(wěn) 定性分析方法重點(diǎn)內(nèi)容：玉矗普諾夫第一、第二法的主要定義與定理，李 雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造線性定常系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性定理與判別 李雅普諾夫方程，漸近穩(wěn)定性的分析與判別研究的目的和意義:穩(wěn)定性是自動(dòng)控制系統(tǒng)正常工作的必要條件，是一個(gè)重要特征。:要求：在受到外界擾動(dòng)后，雖然其原平衡 狀態(tài)被

2、打破，但在擾動(dòng)消失后，仍然能恢 復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，或者趨于另一平衡 狀態(tài)繼續(xù)工作。:穩(wěn)定性：系統(tǒng)在受到小的外界擾動(dòng)后，系 統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，而與輸入作用無 關(guān)。:經(jīng)典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數(shù)判據(jù), 奈魁斯特判據(jù)，對(duì)數(shù)判據(jù)，根軌跡判據(jù):非線性系統(tǒng)：相平面法（適用于一，二階非 線性系統(tǒng)） 1982年，俄國學(xué)者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定 性定理采用了狀態(tài)向量來描述，適用于單 變量，線性，非線性，定常，時(shí)變，多變 量等系統(tǒng)。:應(yīng)用：自適應(yīng)，最優(yōu)控制，非線性控制等。主要內(nèi)容：李氏第一法(間接法):求解特征方程的特征值李氏第二法(直接法):利用經(jīng)驗(yàn)和技巧 來構(gòu)造李氏函數(shù)3.1穩(wěn)定性基本概念1 自治系統(tǒng)

3、：輸入為0的系統(tǒng)i =Ax+Bu(u=O) 2初態(tài) x =f(x,t)的解為 x(f9xQ9t0) x(tQ9xQ9tQ)=兀。二 初態(tài)3 平衡狀態(tài)：匕=/O = 0 x -系統(tǒng)的平衡狀態(tài) a線性系統(tǒng) x = Ax xe RnA K n)* yp:A.x e = 0 n 乞=0A奇異：血嚴(yán)0=有無窮多個(gè)乙b.非線性系統(tǒng)丘=/（億，J = o =可能有多個(gè)乙0i =00L-e31乙=001eg X.3=xt +- x2令 xl = 04. 孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分 小的領(lǐng)域內(nèi)不存在別的平衡狀態(tài)。對(duì)于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)?坐標(biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。3.2李雅普諾夫

4、意義下的穩(wěn)定1 李氏意義下的穩(wěn)定如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) 0都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)/（,） 0滿足|卜0 -卩卜（”0）的任意初始態(tài)兀0山發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡x（r；x0,z0） 在（8 都滿足:|x（r;x0,r0）- xj| r0則稱亠是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。 時(shí)變：5與/。有關(guān) 定常系統(tǒng)：5與。無關(guān)，兀是一致穩(wěn)定的。 注意：II II -向量范數(shù)（表示空間距離） =歐幾里得范數(shù)。2漸近穩(wěn)定1）是李氏意義下的穩(wěn)定2）lim|x（Z;x0,Z0）-xJ|- 05與心無關(guān)一致漸進(jìn)穩(wěn)定3.大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定性對(duì) Vx0 e s（5）5 - oo都有l(wèi)im |x（r；x0,r0） 一 xj| t 0/-oO 1111

5、初始條件擴(kuò)展到整個(gè)空間，且是漸進(jìn)穩(wěn)定性。S（5）f8, 制T8 =叫大范圍穩(wěn)定:線性系統(tǒng)（嚴(yán)格）：如果它是漸進(jìn)穩(wěn)定的，必 是有大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定性（線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初 始條件的大小無關(guān)）。:非線性系統(tǒng)：只能在小范圍一致穩(wěn)定，由狀 態(tài)空間出發(fā)的軌跡都收斂叫或其附近。當(dāng)5與r。無關(guān)大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定。必要條件：在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平 衡狀態(tài)叫4.不穩(wěn)定性：不管有多小，只要s（5）內(nèi)由兀。出發(fā)的軌跡超出S（）以外，則稱此 平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。 非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定只說明存在局發(fā)散的軌跡。至于是否趨 于無窮遠(yuǎn)一S（）域外是否存在其它平衡狀態(tài)。 若存在極限環(huán)

6、，則系統(tǒng)仍是李雅普諾夫意義下 的穩(wěn)定性。3.3李雅普諾夫第一法(間接法) 利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)：x Ax x(0) = x0 r 01)李氏穩(wěn)定的充要條件：Re(z) 0 i = 192, h即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半 部。2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析：假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展 開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可用線性化系統(tǒng)的特征值 判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定 性。設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：無=fM /(x)-非線性函數(shù)在平衡狀態(tài)化=o附近存在各階偏導(dǎo) 數(shù)，于是：X =f(xe)-(兀一化)+ g(x)lx=x其中：g(x)-級(jí)數(shù)展開式

7、中二階以上各項(xiàng)之和)如1Sf:dx2dxTdfndx2dxn上式為向量函數(shù)的雅可比矩陣。/=/. 了2 fSAx = x xX = %! X2 令 Ax = x - f(xe)x=xr則線性化系統(tǒng)方程為： 4 = A兀結(jié)論：若Re(2.) 0 Re(A.) 0 經(jīng)丿力能量等十恒定，但不維持在該狀態(tài)。:定理3：若(1)V(x,r)IE定；(2) V(x,t)負(fù)半定；(3) vx(z；x0,r),z在非零狀態(tài)存 在恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn) 定的。說明：X h 0 V (x.t) = 0系統(tǒng)維持等能量水平運(yùn)動(dòng)，使x(r；x09r0)維持在非零 狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。:定理4：若(1)v(x,

8、r)正定；(2) V(x,t)正定則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。廠說明：V(x,t)正定= 能量函數(shù)隨吋間增 大，x(Z；x00)在七處發(fā)散。k原點(diǎn)不穩(wěn)定負(fù)廳箕華定宀1非線性系統(tǒng)不一定:推論仁 當(dāng)y(x.t)正定,v(x,t)正半定， 且Ux(f；兀0昇),門在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)，則 原點(diǎn)不穩(wěn)危。:推論2： U(m)正定，V(xj)正半定，若X 0 , V(x,r)O ,則原點(diǎn)是李雅普諾夫 意義下穩(wěn)定(同定理3)。幾點(diǎn)說明：1）*5選取不唯一,.但沒有通用辦法（兀昇） 選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致不定的結(jié)果。2）這僅僅是充分條件。V （x,Z）單調(diào)我減（實(shí)際上是我減振蕩）李氏第二法的步驟：1）構(gòu)造一個(gè)U（jM）二次型

9、；2）求V（xj）,并代入狀態(tài)方程；3）判斷V（x,r）的定號(hào)性；4）判斷非零情況下卩；%0昇）,門是否為零。漸進(jìn)穩(wěn)定 =李氏穩(wěn)定I不穩(wěn)定令 V(x,z) = 0 若兀h 0, v (x,z)三若僅x = 0, V(x,r)0成立=李氏意義下穩(wěn)定=0成立 漸進(jìn)穩(wěn)定例仁己知非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：Z22Xi = X2 K (xl + x2 )X2 = X2(Xj2 + X；)試用李雅普諾夫第二法判斷其穩(wěn)定性。 解：令2 O =1x2 = 0r = 0= 0原點(diǎn)是唯一平衡點(diǎn)設(shè) V (x) = X,2 + xf 貝U V (x) = 2x xi + 2xo X2/. V (x) = 2(%j2 +

10、x)2V (x)負(fù)定jv H 0 V (x) 01x2 = 0 I x9 = 0 川原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。.設(shè) V (x) = x： + x； V (x) = 2x1則：廠lxiVv o）負(fù)半定H 0 ,心 H 0 V (x) = 0其它 V(x) 0)解:乂2 = _0由丁兀1 =兀2 = 0= X2 = 0則原點(diǎn)是平衡狀態(tài)V (x) = X： + kxV (x) = 2心宀2心宀V(x)=正(負(fù))半定故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。定理3例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。X =X2 = Xj +解：Xi = X2 = 0= X2 = 0 即 i = 設(shè) V (x) = Xj2 + X；貝

11、Ij V(x)= 2xl可見u(x)與無關(guān)，故非零狀態(tài)(如HO x2 = 0)有U(x) = 0,而對(duì)其余任意狀態(tài) 有 V(x) 0故V(X)正半定。令 V (x)三 0 = x2 = 0, x = 0即非零狀態(tài)時(shí)少(兀)不恒為零，則原點(diǎn)不穩(wěn) 定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。冷論1 3.5線性定常系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別法1.設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：x = AxA-非奇異矩陣廠=0為唯一平衡狀態(tài)。設(shè)選取如下的正定二次型函數(shù)V(x芮李氏函數(shù)V (x) = xT Px 將 x = Ax 代入： 貝IJ：V (x) = XTPx XTP X = XT (ATP -h PA)x令 Ar P + PA = -Q v (x)= 一兀

12、由漸進(jìn)穩(wěn)定性定理1,只要Q正定（IPv（x）負(fù)定),則系統(tǒng)是大范一致漸進(jìn)穩(wěn)定。系統(tǒng)x = Ax大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件為:給定一正交實(shí)對(duì)稱矩陣Q,存在唯一 的正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使A PPA = -Q 成立, 則xTPx =諷勇統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。方法1：給定P Q V（x）選取不定 Q不定。 給定正定Q P X Px = V （x）Q單位陣一 p的定號(hào)性方法2： Q取正半定（定理2）允許單位矩陣主對(duì) 角線上部分元素為零負(fù)半定。V(x)J例:x =_01 -1 -1xxe = 0解：選取 V(x) = xTPx A1 P + PA = -Q0 -iirpu P2i rpxx P2】o -門0 1-2 戸2 = -1Y Pw - P2 - ”22 = J 212 _ 2#22 = _12r Pn叮二 2P2P 22J_30Ph =2PmP2P12P12P正定 V = X1 Px32|0121_2是大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定(3x + 2x宀 + 2x) 0V =（昇+對(duì)）2.線性定常離散系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性判別 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：+ 1)=?；? 其中非奇異陣，譏=0是平衡狀態(tài)。 設(shè) Vx(k) = xT(k)Px(k)AVx(k) = Vx(k + l)-Vx(k)=xT (k + )Px(k + 1) xr