軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對(duì)稱的作用是“搬點(diǎn)移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素 集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對(duì) 稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線，兩點(diǎn)兩線，一點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對(duì)三類線段和

2、的最值問題進(jìn)行分析、討論。（1）兩點(diǎn)一線的最值問題：（兩個(gè)定點(diǎn)+ 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)）問題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)， 在直線上求一動(dòng)點(diǎn)的位置，使 動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，解決這類題目的方法是 找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)， 交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。方法：1.定點(diǎn)過動(dòng)點(diǎn)所在直線做對(duì)稱。2. 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，則直線段長(zhǎng)度就是我們所求。變異類型：實(shí)際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱 點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1

3、.如圖，直線I和I的同側(cè)兩點(diǎn) A B,在直線l上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小。（2） 點(diǎn)兩線的最值問題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+個(gè)定點(diǎn)）問題特征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè) 動(dòng)點(diǎn)使線段和最短核心思路：這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式，通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”，把線段“移”到同一直線上來解決變異類型:1. 如圖，點(diǎn)P是/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM ON上作點(diǎn)A, B。使 PAB的周長(zhǎng)最小。2.如圖，點(diǎn)A是/ MON7卜的一點(diǎn)，在射線 小。0M上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最（3）兩點(diǎn)兩線的最值問題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)卜定點(diǎn)）問題

4、特征：兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng),個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離保持不變。匕為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)核心思路：用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化 點(diǎn)”類型來解。變異類型:1.如圖，點(diǎn)P, Q為/ MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB勺周長(zhǎng)最 小。2如圖，已知 A （1，3），B （ 5，1），長(zhǎng)度為2的線段PQ在x軸上平行移動(dòng)，當(dāng) AP+PQ+QB 的值最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（）（4）兩點(diǎn)兩線的最值問題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn) 的距離和最小。核心思路：利用軸對(duì)稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的

5、對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上 （兩 點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線（連接直線外 一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于 這條垂線段的長(zhǎng)。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L(zhǎng)、折線段等最值問題。1.如圖，點(diǎn)A是/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線 ON上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和1 如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為8, M在DC上，丐 DM= 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN+ MN的 最小值為 。即在直線AC上求一點(diǎn)N,使DN+M最小。2. 如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在 對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P

6、,使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為()A. 2 .3 B3. 在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB PQ則厶PBQ周長(zhǎng)的最小值為 cm (結(jié)果不取近似值)。4. 如圖，四邊形 ABCD是正方形，AB = 10cm , E為邊BC的中點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PC+PE的最小值；1.如圖，若四邊形 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求1.如圖，若四邊形 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；Part3、矩形ABCD是矩形， AB = 10cm, BC= 20cm, E為邊 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為勺PC+PD的最小值；Part4、菱形ABCD是菱形， AB=10

7、cm / ABC=45 , E為邊 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為勺PC+PEPart5、直角梯形1.已知直角梯形 ABCD中, AD/ BC AB丄BC AD=2, B(=D(=5,點(diǎn)P在BC上秱動(dòng)，則當(dāng)PA+PD 取最小值時(shí)， APD中邊AP上的高為()Part6、一次函數(shù)一次函數(shù) y二kx+ b的圖象與x, y軸分別交于點(diǎn) A(2,0), B(0,4).(1) 求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA, AB的中點(diǎn)分別為C, D , P 為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC + PD 的最小值，并求取得最小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo).僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fi