現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、現(xiàn)代控制理論實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書實(shí)驗(yàn)一：線性系統(tǒng)狀態(tài)空間分析1、模型轉(zhuǎn)換圖 1 、模型轉(zhuǎn)換示意圖及所用命令傳遞函數(shù)一般形式：MATLAB 表示為： G=tf(num,den) ， 其中 num,den 分別是上式中分子，分母系數(shù)矩陣。 零極點(diǎn)形式：MATLAB 表示為： G=zpk(Z,P,K) ，其中 Z ，P，K 分別表示上式中的零點(diǎn)矩陣，極點(diǎn)矩 陣和增益。傳遞函數(shù)向狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換： A,B,C,D = TF2SS(NUM,DEN) ；狀態(tài)空間轉(zhuǎn)換向傳遞函數(shù)： NUM,DEN = SS2TF(A,B,C,D,iu)-iu 表示對(duì)系統(tǒng)的第 iu 個(gè)輸入量求傳遞函數(shù)；對(duì)單輸入 iu 為 1;驗(yàn)證教材P43

2、8頁(yè)的例9-6。求P512的9-6題的狀態(tài)空間描述。 A=0 1;0 -2; B=1 0;0 1; C=1 0;0 1; D=0 0;0 0; NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,1)NUM =012DEN000120 NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,2)NUM =00101DEN =1 2 0 給出的結(jié)果是正確的，是沒(méi)有約分過(guò)的形式 P512 9-6 A,B,C,D=tf2ss(1 6 8,1 4 3)A =-4-310B =10C =25D =12、狀態(tài)方程求解單位階躍輸入作用下的狀態(tài)響應(yīng)：G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x

3、). 零輸入響應(yīng)y,t,x=initial(G ,x0) 其中， x0 為狀態(tài)初值。 驗(yàn)證 P435 的例 9-4，P437 的例 9-5。 9-4A=0 1;-2 -3;B=0;0;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G ,1;2);plot(t,x)(設(shè)初始狀態(tài)為 1 ;2)零輸入響應(yīng)9-5零輸入響應(yīng)A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G ,1;2);plot(t,x)零狀態(tài)響應(yīng)，階躍信號(hào)激勵(lì)下 A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0; G=ss(A,B,C,

4、D);y,t,x=step(G);plot(t,x)總響應(yīng) A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y1,t1,x1=step(G);y2,t2,x2=initial(G ,1;2); x=x1+x2; plot(t1,x)3、系統(tǒng)可控性和可觀測(cè)性可控性判斷：首先求可控性矩陣： co=ctrb(A ， B)。然后求rank(co)并比較與A的行數(shù)n的大小，若小于n則不可控，等于為可控。也 可以求co的絕對(duì)值，不等于0,系統(tǒng)可控，否則不可控。驗(yàn)證 P456 例 9-14。A=0 1;-1 -2;B=1;-1; C=1 0; co=ctrb(A,B)co

5、 =1-1-11 rank(co)ans =1系統(tǒng)不可控可觀測(cè)性判斷：首先求可觀測(cè)性矩陣ob=obsv(A，C),或者ob=ctrb(A ， C);然后求 rank(ob) 并比較與 A 的行數(shù)大小，若小于，為不可觀測(cè)，等于則為可觀測(cè)。1 A=-2 0;0 -1;B=3;1;C=1 0; ob=obsv(A,C)ob =1 0-2 0 rank(ob)ans =1不可觀測(cè)2、 A=1 -1;1 1;B=2 -1;1 0;C=1 0;-1 1; ob=obsv(A,C)ob =1 0-1 11 -10 2 rank(ob)ans =2可觀測(cè)4、線性變換一個(gè)系統(tǒng)可以選用不同的狀態(tài)變量，所以狀態(tài)方程

6、是不唯一的。但是這些方程之間 是可以相互轉(zhuǎn)換的。At ，Bt， Ct ， Dt=ss2ss(A，B ， C， D ，T)變換矩陣 T 不同，可得到不同的狀態(tài)方程表示形式，如可控型，可觀測(cè)型， Jordan標(biāo)準(zhǔn)型表示。 matlab 變換與控制書上講的變換略有差別。這里是 z Tx ，其中 x 是原來(lái)0 -3的變量，z是現(xiàn)在的變量。書上則是x Tz。因此線性變換時(shí)，首先要對(duì)給定的變換矩陣 進(jìn)行逆變換，然后將其代入上面指令的 T 中。求對(duì)角陣(或約當(dāng)陣)：MATLAB 提供指令：At ， Bt ， Ct， Dt ， T=canon(A ， B， C， D， modal) 它可將系統(tǒng)完全對(duì)角化，不會(huì)

7、出現(xiàn)經(jīng)典控制中的約當(dāng)塊。 A=-4 -3;1 0;B=1;0;C=2 5;D=0; At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,modal)At =-300-1Bt =-3.6056-2.2361Ct =-0.1387 -0.6708Dt =0T =-3.6056 -3.6056-2.2361 -6.7082 inv(T)ans =-0.4160 0.22360.1387 -0.2236 求可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：At ， Bt， Ct， Dt ， T=canon(A ， B， C， D， companion) At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,companion)At

8、 =1 -4Bt =10Ct =2 -3Dt =0T =1401 inv(T)ans =1-401求可控標(biāo)準(zhǔn)型：首先需要求可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，然后根據(jù)對(duì)偶關(guān)系求 At ，Ct，Bt，Dt Atans =0 1-3 -4Ctans =2-3Btans =1 0驗(yàn)證P512的9-6習(xí)題。5、線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解當(dāng)系統(tǒng)是不可控的，可以進(jìn)行可控性規(guī)范分解。使用a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C) 命令。驗(yàn)證 P473例題 9-19。當(dāng)系統(tǒng)是不可觀測(cè)的，可以進(jìn)行可觀測(cè)性規(guī)范分解。使用a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) 命令。驗(yàn)證 P475例題 9-20 A=1 2 -1;0 1

9、 0;1 -4 3;B=0;0;1;C=1 -1 1; co=ctrb(A,B)co =0-1-40001 38 rank(co)ans =2系統(tǒng)不可控a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)a1100-211-4-13b1=001c1=-1-11t =010-1 0 01 1 0 ob=obsv(A,C) ob =1 -1 12 -3 24 -7 4 rank(ob)ans =2系統(tǒng)不可觀測(cè) a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) a2 =2.0000 2.3094 4.0825-0.0000 0.6667 -0.9428-0.0000 0.4714 2.3333 b2

10、 =0.7071-0.40820.5774c2 =-0.0000 -0.0000 1.7321 t =-0.7071 -0.0000 0.7071-0.4082 -0.8165 -0.40820.5774 -0.5774 0.5774 k = 6、極點(diǎn)配置算法1 1 0調(diào)用命令格式為K=place(A,B,P)。A, B為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，P為配置極點(diǎn)，K為反饋 增益矩陣。驗(yàn)證P484例9-21。 A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j;K=place(A,B,P)K =1.0e+003 *-0.01400.1860-1.2200用下列編碼對(duì)狀態(tài)

11、反饋前后的輸出響應(yīng)進(jìn)行比較(附帶文件control.m)。t = 0:0.01:5;U = 0.025*ones(size(t);%幅值為 0.025輸入階躍信號(hào) Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);figure(1)plot(t,Y1); grid; title(反饋前);figure(2)plot(t,Y2); title(反饋后);grid; A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j;C=1 0 0;D=0;K=1.0e+003 *-0.0140 0.1860 -1.22

12、00;t = 0:0.01:5;U = 0.025*ones(size(t);%幅值為 0.025輸入階躍信號(hào) Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);figure(1)plot(t,Y1); grid; title(反饋前);figure(2)plot(t,Y2); title(反饋后);grid;7、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)函數(shù)lyap(A,Q)求如下式的李氏方程：AP+PAT=-Q注意與教材的區(qū)別，應(yīng)將給定 A矩陣轉(zhuǎn)置后再代入lyap函數(shù)。驗(yàn)證P495的例9-25。 A=0 2;1 -1; Q=1 0;0 1; lyap(A,Q

13、)ans =-0.7500-0.2500-0.25000.2500實(shí)驗(yàn)二：?jiǎn)渭?jí)倒立擺的LQR狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)有一個(gè)倒立擺小車系統(tǒng)如圖一所示。它由質(zhì)量為 M的小車，長(zhǎng)為2L的倒立擺構(gòu)成， 倒立擺的質(zhì)量為m，鉸鏈在小車上，小車在控制函數(shù)u的作用下，沿滑軌在x方向運(yùn)動(dòng), 使倒立擺在垂直平面內(nèi)穩(wěn)定。x圖一小車倒立擺系統(tǒng)示意圖為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)倒立擺為均勻細(xì)桿，執(zhí)行機(jī)構(gòu)和軸無(wú)摩擦，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)非線性 微分方程為：其中，M = 1kg，m = 0.1kg， L = 1m， g = 9.81m/，f = 50N/s?，F(xiàn)設(shè)計(jì)LQR控制器，使系統(tǒng)倒立擺在初始條件x(0), dx(0), (0), d (0)T

14、= 0.05, 0, 0.08,0T下穩(wěn)定。注：倒立擺偏角可以通過(guò)同軸旋轉(zhuǎn)電位計(jì)送出正比的電信號(hào)。思路：先建立狀態(tài)空間模型A、B、C和D矩陣，當(dāng)擺桿角度很小時(shí)，可令sin 0, cos 1,四個(gè)狀態(tài)為x(0), dx(0), (0), d (0)T。采用LQR命令求最優(yōu)K矩陣， 定義Q和R陣，用對(duì)角陣，人工定義對(duì)角線上的加權(quán)系數(shù)，由此決定對(duì)每個(gè)狀態(tài)分量的 影響。如對(duì)角度側(cè)重，則對(duì)應(yīng)系數(shù)加大。 A=0 1 0 0;0 -4.9725 0 0;0 0 0 1;0 3.7294 0 0 B=0;0.9756;0;-0.7317; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0;0; Q=100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0; R=1; K,P=lqr(A,B,Q,R)9.8312 369.6931 P =K =1.0e+012 *0.00000.00010.00000.00010.00010.73370.00020.97830.00000.00020.00000.00020.00010.97830.00021.3044-0.5786 490.5742實(shí)驗(yàn)總