數(shù)列求和常用的五種方法

1、數(shù)列求和常用的五種方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、等差數(shù)列求和公式：s“ =+”)+巴匸 2 2 呵(q = 1) 2、等比數(shù)列求和公式：S” = log3 X = -log3 2 = x =丄，由等比數(shù)列求和公式得 log 2 32 1-X $”+，+/+嚴(yán)4)=_ 1 2 二、錯(cuò)位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種 方法主要用于求數(shù)列ar b的前n項(xiàng)和，其中心、bj分別 是等差數(shù)列和等比數(shù)列. 例2 求和：Sn =1 + 3兀+ 5宀7宀 +7-1)嚴(yán) 解：由題可知，(2/1-1)-*的通項(xiàng)是等

2、差數(shù)列2n-1的通項(xiàng)與等比 數(shù)列U的通項(xiàng)之積 當(dāng) x = 1H寸， S”=l + 3 + 5 + 7 (2n 1)=_= n1 2 當(dāng)X H咐 設(shè)= lx + 3x2 + 5x3 + 7x4 + + (2n - )xn (設(shè)制錯(cuò)位) 得(1 一QS“ =l + 2x + 2x2 + 2x3 + 2* + + 2x- -(2n一l)xn (錯(cuò)位相減) 再利用等比數(shù)列的求和公式得： 1 _ r/,1 (1- x)Sn =l + 2x-一:一 -(2/7- )xn l-x (2/2 - l)x/r+l-(2/7 + 1)Z +(1 + X) 例3已知g04H1,數(shù)列仏是首項(xiàng)為a,公比也為a的等比數(shù)列

3、， 令 嘰=an -lg an n e N),求數(shù)列bn 的前項(xiàng)和S”。 解析： an = a11 ,bn = n a11 lg a :.Sn = (a + 2a2 +33 + + nan)lga aSn = (a2 + 2a +3/ + - + iia1)ga 一得:(1 - a)S = (a + a2 + - +an - nan+l) lg a . S = J t 1 - (1 + - na)an o “ (1-d)2L 點(diǎn)評(píng)：設(shè)數(shù)列”的等比數(shù)列，數(shù)列“是等差數(shù)列，則數(shù)列 也 的前“項(xiàng)和S求解，均可用錯(cuò)位相減法。 三、反序相加法求和 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)

4、 列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)側(cè)+“”) 例4.函數(shù)兀勸對(duì)任意都有/(x) + /(l-x) = io (1)求和 1 一 1 /(-)+/() nn 勺=/(0) + /(-) + /(-) + +/() + /(1),數(shù) n nn 的值；(2)數(shù)列仏滿足: 列仏是 等差數(shù)列嗎請(qǐng)給與證明。(3 ) bn = 一-一 , Slt = 32 - 4an 一 1n Tn =bf +b22 + bj試比較人與Sn的大小。 解：(1)令x =可得/(-) + /(-一) = /(-)+ /(1-) = | 224 nnnn 2 (2)a” = /(O) + /(-) + /

5、(-) + + /() + /(l) n nn 2 1n 221 s = /(l) + /()+ f()+ + /(-) + /() + /(O) nnn n 2an = /(O) + 于 + /(I) + /() + + /(l) + /(O) = i(n +1) nn2 n + 化洛 -16(1 + 訃V6(l+ + + + 1 ) 1x2 2x3(n -1) x n = 32 = Sn n 四、分組法求和 有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列 適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再 將其合并即可. 例5求數(shù)列的前ri項(xiàng)和：1 + 1,丄+ 4,丄

6、+ 7,5 + 3-2 , a aL嚴(yán) 解: 設(shè) S =（1 + 1） + （丄 + 4） + （亠 + 7） + + （點(diǎn) + 3料-2） aera 將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 （分 SfJ = （1 + 丄 + 丄 + + !q-） + （1 + 4 + 7 + + 3 一 2） a cra 組） （分組 當(dāng) a=1 時(shí)，$”+ 竺1）一（ + 1）“ 求和） _丄 火 科2-1)畀 _ U _ 心,(3/1-1)/? 當(dāng) GH1 吋，Sn =一 +一I+Z一 112a-2 1 例6. 求數(shù)列n （n+1） （2n+1）的前n項(xiàng)和. 解： 設(shè)g =k(k + l)(2k + l) = 2k

7、 +3疋 +k S” =2伙 + 1)(2比 + 1)=工(2 疋+ 3疋+燈 z“1 將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 Sn=2工疋+3工+工k 左.1】 （分組） =2(1 + 2+ /?) + 3(F+22+/) + (1 + 2 + m) _ /?2(n + l)2/?(/: +l)(2n + l) n(n +1) _ n(z? + 1)2(/? + 2) +1= 2 2 2 2 五、裂項(xiàng)法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì) 是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng), 最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： =/(幾 + 1)-/() sin le cosnccos( + l)c =tan(M + l) - tan n (4) f 匚:;+1) 芮一科） n(n - l)(/i + 2)21 n(n +1)(刃 + 1)(畀 + 2) n + 2 n(n +1) 例7求數(shù)列占濟(jì)的前項(xiàng)和 （裂項(xiàng)） 解：設(shè) = =Jn + _4ii y/11 + 5/ ,2 + 1 則=77如+?1廳+亦+丄1 + + （裂項(xiàng)求和） (V2 y/) + V2) + + (Jn +1 yfn) = Jn +1 1 例& 在數(shù)列令中，=+_2 ”+1 +1+曲又勺廠匸三二求數(shù) 列b的前