(011)2009高考全國Ⅰ理科數學試卷及答案

1、2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學理科數學 一、選擇題（一、選擇題（5 5 分分*12=60*12=60 分）分） (1)設集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合（ab）中的元素共有（ u ） （a）3 個 （b）4 個 （c）5 個 （d）6 個 （2）已知=2+i,則復數 z=（ ） （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i 1i z (3) 不等式1 的解集為（ ） 1 1 x x （a） x (b) （c） (d) 011xx x 01xx 10 xx 0 x x (4)設雙曲線（a0,b0）

2、的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切，則該雙曲線的離心率等于（ ） 22 22 1 xy ab （a） （b）2 （c） （d）356 (5) 甲組有 5 名同學，3 名女同學；乙組有 6 名男同學、2 名女同學。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學， 則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有（ ） （a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 （6）設、是單位向量，且0，則的最小值為（ ）abcab acbc （a）（b） （c） (d)222112 （7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異 111 abcabc 1 aabcb

3、c 面直線與所成的角的余弦值為（ ）ab 1 cc （a）（b） （c） (d) 3 4 5 4 7 4 3 4 （8）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（ ）cos 2yx3 4 3 ，0 （a） （b） （c） (d) 6 4 3 2 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為（ ） (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2yln()xa （10）已知二面角 -l- 為 600 ，動點 p、q 分別在面 、 內，p 到 的距離為，q 到 的距3 離為，則 p、q 兩點之間距離的最小值為（ ）2 3 (a) (b)2 (c) (d)422 3 2009 年普通高等學校

4、招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學理科數學 2 第 18 題 圖 （11）函數的定義域為 r，若與都是奇函數，則（ ）( )f x(1)f x(1)f x (a) 是偶函數 (b) 是奇函數 (c) (d) 是奇函數( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x （12）已知橢圓 c: 的又焦點為 f，右準線為 l，點,線段 af 交 c 與點 b。若 2 2 1 2 x yal ,則= （ ） (a) (b)2 (c) (d)33fafb af 23 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分 (13) 的展

5、開式中，的系數與的系數之和等于 . 10 ()xy 73 x y 37 x y (14)設等差數列的前 n 項和為.若=72,則= . n a n s 9 s 249 aaa (15)直三棱柱-各頂點都在同一球面上.若abc 111 abc 1 2,abacaa =，則此球的表面積等于 .bac120 (16)若,則函數的最大值為 . 42 x 3 tan2 tanyxx 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17 （本小題滿分 10 分） 在abc 中，內角 a、b、c 的對邊長

6、分別為 a、b、c ，已知 ，且，求 b. 22 2acbsincos3cossinacac 18 （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐 sabcd 中，底面 abcd 為矩形，sd底面 abcd，ad=，dc=sd=2.點 m 在側棱 sc 上，abm=60 .2 0 ()證明：m 是側棱 sc 的中點； （）求二面角 samb 的大小。 (19)(本小題滿分 12 分) 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假設在一局中，甲 獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為 0.4，各局比賽結果相互獨立。已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （1）求甲獲得這次

7、比賽勝利的概率； （2）設 表示從第 3 局開始到比賽結束所進行的局數，求 的分布列及數學期望。 （20） （本小題 滿分 12 分） 在數列中，. n a n nn n a n aa 2 1 ) 1 1 (, 1 11 設，求數列的通項公式； n n a b n n b 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學理科數學 3 求數列的前項和. n an n s 21 （本小題滿分 12 分） 如圖，已知拋物線與圓相交于四個點。 2 :e yx 222 :(4)mxyr(r0）abcd、 （i）求的取值范圍： r (ii)當四邊形的面積最大時，求對角線abcd 的交

8、點的坐標。abcd、p 22 （本小題滿分 12 分） 設函數有兩個極值點，且 32 ( )33f xxbxcx 21,x x2 , 1 ,0 , 1 21 xx （）求 b、c 滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點（b，c）和區(qū)域； ()證明： 1 10 2 2 f (x )- 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 高.考.資.一、選擇題一、選擇題 (1)設集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，則集合中的元素共有() u ab i （a） （a）3 個 （b）4 個 （c）5 個

9、（d）6 個 解：，故選故選 a a。也可用摩根律：。也可用摩根律：3,4,5,7,8,9ab 4,7,9()3,5,8 u abcab ()()() uuu cabc ac b （2）已知=2+i,則復數 z=（b ） 1i z （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i 解：解： 故選故選 b b。 (1) (2)1 3 ,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集為（ d ） 1 1 x x （a） x (b) 011xx x 01xx （c） (d) 10 xx 0 x x 解：驗 x=-1 即可。 (4)設雙曲線（a0,b0）的漸近線與拋物線 y=x2 +1 相切

10、，則該雙曲線的離心率等于( c ) 22 22 1 xy ab （a） （b）2 （c） （d） 356 解：設切點，則切線的斜率為.由題意有又 00 (,)p xy 0 0 |2 x x yx 0 0 0 2 y x x 2 00 1yx 解得: . 22 0 1,2,1 ( )5 bb xe aa (5) 甲組有 5 名男同學，3 名女同學；乙組有 6 名男同學、2 名女同學。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同 學，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學的不同選法共有( d ) （a）150 種 （b）180 種 （c）300 種 (d)345 種 解: 分兩類(1) 甲組中選出一名女生有種選

11、法; 112 536 225ccc (2) 乙組中選出一名女生有種選法.故共有 345 種選法.選 d 211 562 120ccc 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 5 （6）設、是單位向量，且0，則的最小值為 ( d )abcab acbc （a） （b） （c） (d)222112 解: 是單位向量 , ,a b c 2 ()acbca bab cc 故選 d.| | | 12cos,121 |abcab c （7）已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面 111 abcabc 1 a 上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的

12、余弦值abcbcab 1 cc 為（ d ） （a） （b） （c） (d) 3 4 5 4 7 4 3 4 解：設的中點為 d，連結d，ad，易知即為異面直線與所成的角,由三角余bc 1 a 1 a ab ab 1 cc 弦定理，易知.故選 d 1 1 3 cocs 4 oscos ad ad a addab a a ab （8）如果函數的圖像關于點中心對稱，那么的最小值為（c） （a） cos 2yx3 4 3 ，0| 6 （b） （c） (d) 4 3 2 解: 函數的圖像關于點中心對稱 cos 2yx3 4 3 ，0 由此易得.故選 c 4 2 3 k 4 2() 3 kkz min

13、| 3 (9) 已知直線 y=x+1 與曲線相切，則 的值為( b ) yln()xa (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2 解:設切點，則,又 00 (,)p xy 0000 ln1,()yxayx 0 0 1 |1 x x y xa .故答案選 b 000 10,12xayxa （10）已知二面角 -l- 為 ，動點 p、q 分別在面 、 內，p 到 的距離為，q 到 的距60o3 離為，則 p、q 兩點之間距離的最小值為（ c ）2 3 b c b c a1 1 1 a d 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 6 (a)

14、 (b)2 (c) (d)4 2 3 解:如圖分別作 ,qaa aclc pbb于于于 ，連pdld 于,60 ,cq bdacqpbd 則 ，2 3,3aqbp2acpd 又 222 122 3pqaqapap 當且僅當，即重合時取最小值。故答案選 c。 0ap ap點與點 （11）函數的定義域為 r，若與都是奇函數，則( d ) ( )f x(1)f x(1)f x (a) 是偶函數 (b) 是奇函數 (c) (d) 是奇函數( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x 解: 與都是奇函數，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函數關于點，

15、及點對稱，函數是周期的周期函數.( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4t ，即是奇函數。故選 d(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x 12.已知橢圓的右焦點為,右準線為 ，點，線段交于點，若, 2 2 :1 2 x cyflalafcb3fafb 則=|af (a). (b). 2 (c). (d). 3 23 解:過點 b 作于 m,并設右準線 與 x 軸的交點為 n，易知 fn=1.由題意,故.bmll3fafb 2 | 3 bm 又由橢圓的第二定義,得.故選 a 2 22 | 233 bf |2af 第第 iiii 卷卷 二、填空題：二

16、、填空題： 13. 的展開式中，的系數與的系數之和等于 。 10 xy 73 x y 37 x y 解: 373 101010 ()2240ccc 14. 設等差數列的前項和為，若,則= 。 n an n s 9 72s 249 aaa 解: 是等差數列,由,得 n a 9 72s 59 9,sa 5 8a 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 7 . 2492945645 ()()324aaaaaaaaaa 15. 直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球 111 abcabc 1 2abacaa120bac 的表面積等于 。 解

17、:在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑 r=2,設abc2abac120bac2 3bc abc 此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為 o ort obo5r . 2 420r 16. 若，則函數的最大值為 。 42 x 3 tan2 tanyxx 解:令, tan,xt1 42 xt 44 3 22 2 422 2tan2222 tan2 tan8 111111 1tan1 () 244 xt yxx xt ttt 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70 分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

18、 17（本小題滿分 10 分） 在中，內角 a、b、c 的對邊長分別為、，已知，且abcabc 22 2acb 求 b sincos3cossin,acac 分析分析: :此題事實上比較簡單此題事實上比較簡單, ,但考生反應不知從何入手但考生反應不知從何入手. .對已知條件對已知條件(1)(1)左側是二次的右側左側是二次的右側 22 2acb 是一次的是一次的, ,學生總感覺用余弦定理不好處理學生總感覺用余弦定理不好處理, ,而對已知條件而對已知條件(2)(2) 過多的關注兩過多的關注兩sincos3cossin,acac 角和與差的正弦公式角和與差的正弦公式, ,甚至有的學生還想用現在已經不

19、再考的積化和差甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差, ,導致找不到突破口而失分導致找不到突破口而失分. . 解法一：在解法一：在中中則由正弦定理及余弦定理有則由正弦定理及余弦定理有: :abcsincos3cossin,acac 化簡并整理得：化簡并整理得：. .又由已知又由已知 222222 3, 22 abcbca ac abbc 222 2()acb 22 2acb . .解得解得. . 2 4bb40(bb或舍） 解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。 222 2cosacbbca 22 2acb0b 所以所以2 cos2bca 又又，sincos3

20、cossinacacsincoscossin4cossinacacac ，即，即sin()4cossinacacsin4cossinbac 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 8 由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsin b bc c 4 cosbca 由由，解得解得。4b 評析評析: :從從 0808 年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查. .在備考中應注意總結、提高自己對問題在備考中應注意總結、提高自己對問題 的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力的分析和解決能力及對知識

21、的靈活運用能力. .另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行，另外提醒：兩綱中明確不再考的知識和方法了解就行， 不必強化訓練。不必強化訓練。 18 （本小題滿分 12 分） 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面， sabcdabcdsd abcd2ad ，點 m 在側棱上，=602dcsdscabm （i）證明：m 在側棱的中點sc （ii）求二面角的大小。samb （i）解法一：作交于 n，作交于 e，mnsdcdneabab 連 me、nb，則面，,mn abcdmeab2nead 設，則,mnxncebx 在中，。rt meb60mbe3mex 在中由rt mne 222 menemn

22、 22 32xx 解得，從而 m 為側棱的中點 m. 1x 1 2 mnsdsc 解法二:過作的平行線.mcd 解法三:利用向量處理. 詳細可見 09 年高考參考答案. （ii）分析一分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。 這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。 過作交于,作交于,作mmjcdsdjshajajh 交于,則,面,面面,hkamamkjmcdjm sadsadmba 面即為所求二面角的補角.sh ambskh 分析二分析二：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作abmb 交于點，則點為 am 的中點，取 sa 的中點 g，連bfamamff

23、 gf，易證，則即為所求二面角.gfamgfb 分析三分析三：利用空間向量求。在兩個半平面內分別與交線 am 垂直的兩個向量的夾角即可。 另外：利用射影面積或利用等體積法求點到面的距離等等，這些方法也能奏效。 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 9 總之在目前，立體幾何中的兩種主要的處理方法：傳統(tǒng)方法與向量的方法仍處于各自半壁江山的狀 況。命題人在這里一定會照顧雙方的利益。 19 （本小題滿分 12 分） 甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝 3 局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束，假設在一局中， 甲獲勝的概率為 0.6，乙獲勝的概率為

24、 0.4，各局比賽結果相互獨立，已知前 2 局中，甲、乙各勝 1 局。 （i）求甲獲得這次比賽勝利的概率； （ii）設表示從第 3 局開始到比賽結束所進行的局數，求得分布列及數學期望。 分析分析：本題較常規(guī)，比 08 年的概率統(tǒng)計題要容易。 需提醒的是：認真審題是前提，部分考生由于考慮了前兩局的概率而導致失分，這是很可惜的，主 要原因在于沒讀懂題。 另外，還要注意表述，這也是考生較薄弱的環(huán)節(jié)。 20 （本小題滿分 12 分） 在數列中， n a 11 11 1,(1) 2 nn n n aaa n （i）設，求數列的通項公式 n n a b n n b （ii）求數列的前項和 n an n s

25、 分析分析：（i）由已知有 1 1 12 nn n aa nn 1 1 2 nn n bb 利用累差迭加即可求出數列的通項公式: () n b 1 1 2 2 n n b * nn （ii）由（i）知, 1 2 2 n n n an = n s 1 1 (2) 2 n k k k k 1 11 (2 ) 2 nn k kk k k 而,又是一個典型的錯位相減法模型， 1 (2 )(1) n k kn n 1 12 n k k k 易得 = 11 1 2 4 22 n kn k kn n s(1)n n 1 2 4 2n n 評析評析：09 年高考理科數學全國(一)試題將數列題前置,考查構造新數

26、列和利用錯位相減法求前 n 項和，一 改往年的將數列結合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎 知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。 21（本小題滿分 12 分） 2009 年普通高等學校招生考試全國年普通高等學校招生考試全國理科數學答案解析理科數學答案解析 10 如圖，已知拋物線與圓相交于、四個點。 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrrabcd （i）求得取值范圍；r （ii）當四邊形的面積最大時，求對角線、的交點坐標abcdacbdp 分析：分析：（i）這一問學生易下手。將拋物線與圓的方程

27、聯立，消 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrr 去，整理得 （） 2 y 22 7160 xxr 拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是： 2 :e yx 222 :(4)(0)mxyrrabcd 方程（）有兩個不相等的正根即可.易得.考生利用數形結合及函數和方程的思想來 15 (,4) 2 r 處理也可以 （ii）考綱中明確提出不考查求兩個圓錐曲線的交點的坐標。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理 本小題是一個較好的切入點 設四個交點的坐標分別為、。 11 ( ,)a xx 11 ( ,)b xx 22 (,)c xx 22 (,)d xx 則由（i）根據韋達定理有， 2 121

28、2 7,16xxx xr 15 (,4) 2 r 則 21122112 1 2 |() |() 2 sxxxxxxxx 2222 12121212 ()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr 令，則 下面求的最大值。 2 16rt 22 (72 ) (72 )stt 2 s 方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時很方便。它 的主要手段是配湊系數或常數，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。 22 1 (72 ) (72 )(72 )(72 )(144 ) 2 sttttt 33 1 7272144128 ()() 2323 ttt 當且僅當，即時取最大值。經檢驗此時滿足題意。7