732.分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 提要：數(shù)學(xué)中的分類思想，實質(zhì)上就是按照數(shù)學(xué)對象的共同性和差異性，將其區(qū)分為不同種類的思想方法。在教學(xué)中，無論概念的剖析，命題的論證，還是知識的整理和系統(tǒng)化，都貫穿著分類思想，具有積極的指導(dǎo)意義。在解題中有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的條理性、縝密性、靈活性，使學(xué)生學(xué)會完整地考慮問題、化整為零地解決問題，學(xué)生只有掌握了分類的思想方法，才不會出現(xiàn)漏解的情況。關(guān)鍵詞：分類思想 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題 分析 應(yīng)用近年來，國際數(shù)學(xué)教育界提出“大眾數(shù)學(xué)”、“人人都要學(xué)會的數(shù)學(xué)”等口號。其含義有兩層：一是數(shù)學(xué)要為大眾所掌握；二是大眾所需要的數(shù)學(xué)，要為大眾所利用。為此，我國提出在義務(wù)段進行素質(zhì)教

2、育，力求使每個學(xué)生在本身原有素質(zhì)基礎(chǔ)上，獲得和諧和充分的發(fā)展，從而提高其身體素質(zhì)、思想素質(zhì)、文化素質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會生活，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會創(chuàng)造，學(xué)會自我教育，具備現(xiàn)代社會的適應(yīng)能力和生存能力。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實現(xiàn)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點。數(shù)學(xué)分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。運用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題，可歸結(jié)為：涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運用的數(shù)

3、學(xué)定理、公式或運算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能；數(shù)學(xué)問題中含有參變量，這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論，往往能使復(fù)雜的問題簡單化，又能促進學(xué)生研究問題，探索規(guī)律的能力。教學(xué)中可以從以下幾個方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應(yīng)用。 一、 滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學(xué)生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來，在教學(xué)中進行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)的分類，絕對值的意義，不等式的性質(zhì)等，

4、都是滲透分類思想的很好機會。用字母a表示任意數(shù)后，可對a 進行分類，得出正數(shù)、零、負數(shù)三類。在學(xué)習(xí)絕對值的意義時，引導(dǎo)學(xué)生得到如下分類：a 0|a|= a=0a0通過對正數(shù)、零、負數(shù)的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)概念。又如，兩個有理數(shù)的比較大小，可分為：正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和零、正數(shù)和負數(shù)、負數(shù)和零、負數(shù)和負數(shù)幾類情況來比較，反復(fù)滲透，強化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯誤。在確定對象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級討論。二、

5、學(xué)習(xí)分類方法，增強思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在。分類的方法常有以下幾種：1、 在處理絕對值問題方面的應(yīng)用 去絕對值號，需要考慮絕對值符號里面的值。如果絕對值符號里面的值小于0，去掉絕對值符號后，要在絕對值符號里面的代數(shù)式前添負號；其它情況，可以直接把絕對值符號去掉。因此，假如數(shù)學(xué)問題里含有絕對值符號，而且絕對值符號里面的代數(shù)式值不確定，那么在解題時就需要討論。 例1.化簡：|x+3|+(x+3) 因為x是實數(shù)，x+3可能小于0

6、，也可能不小于0。因此，解答這一題，需要針對x+3的取值進行討論。第一種情況：當(dāng)x+30時，原式=-（x+3）+(x+3)=0.第二種情況：當(dāng)x+30時，原式=（x+3）+(x+3)=2x+6. 例2.已知方程|x|=ax+1有一個負根而且沒有正根，那么a的值范圍是( )a.a-1b.a=1 c.a1d.都不對解：由已知方程顯然可知x0，故按x0和x0兩種情況進行討論.(1)若x0時， 則-x=ax+1，-(a+1)x=1,x=-,由 x 0 -0，有a-1；(2)若x0時， 則 x=ax+1, x=由 x 0 0，有a1；當(dāng)x0 a1，根據(jù)題設(shè)方程無正根，于是a1不成立，從而a1成立.綜合(

7、1)、(2)知a1，應(yīng)選(c). 2、根據(jù)數(shù)學(xué)的法則、性質(zhì)或特殊規(guī)定進行分類 學(xué)習(xí)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判別式(=b2-4ac)時，對于變形后的方程用兩邊開平方求解，需要分類研究0，=0，0這三種情況對應(yīng)方程解的情況。而此題 的符號決定能否開平方，是分類的依據(jù)。從而得到一元二次方程根的三種情況。例3.若關(guān)于x的方程kx2-4x+3=0有實數(shù)根，則k的非負整數(shù)值是()a.0，1b.0，1，2c.1d.1，2，3解：根據(jù)方程k的取值，原方程可分一元一次方程和一元二次方程兩種情況進行討論.(1)若k=0時，則原方程為一元一次方程，即方程-4x+3=0有實數(shù)根x=，故k=0滿足條件.(

8、2)若k0時，則原方程為一元二次方程，由=(-4)2-4k30有k，所以k=1.綜合(1)、(2)所知，k的非負整數(shù)值是0，1，故應(yīng)選(a).例4.已知a，b滿足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，則的值等于 _.解：根據(jù)已知條件，對a與b的關(guān)系分兩種情況討論：(1) 若ab時，a，b是方程x2-2x-1=0的兩個不等的實根，則a+b=2，ab=-1 (2)若a=b時， 則1+1=2綜合(1)、(2)知：的值等于-6或2.3、按自然數(shù)進行奇偶分類例5.若n為大于1的整數(shù)，則+n的值是()a.一定是偶數(shù)b.一定是奇數(shù)c.是偶數(shù)但不是2d.可以是偶數(shù)或奇數(shù)解：n是大于1的整數(shù)，可按n為偶數(shù)和n

9、為奇數(shù)兩種情況分類討論.(1)若n為大于1的奇數(shù)時，則p=n2+n-1，p為奇數(shù)；(2)若n為大于1的偶數(shù)時，則p=n+1必是奇數(shù)；綜合(1)、(2)知，p一定是奇數(shù)，故應(yīng)選(b).綜上可知，分類思想在中考解題中有著廣泛的應(yīng)用，我們在解題中應(yīng)仔細分析題意，挖掘題目的題設(shè)，結(jié)論中可能出現(xiàn)的不同的情況，然后采用分類的思想加以解決.4、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進行分類如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據(jù)直線與圓的交點個數(shù)可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例6. 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，底邊長a .其腰上的高是 -。（2002年河南

10、中考題） 分析：本題根據(jù)圖形的特征，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高cd，如圖，可得腰上的高是或 .例7.若o1和o2相交于a、b兩點，o1與o2的半徑分別為2和，公共弦長為2，則o1ao2的度數(shù)為()a.105b.75或15c.105或15d.15 解：由圓的對稱性，兩圓的公共弦可在兩圓心之間，也可以在兩圓心同旁.(1)若兩圓心公共弦ab在兩圓之間時，如圖a，在rtao1c中，ac=1，ao1=2， ao1c=30；在rtao2c中， =1，所以ao2c=45， 即o1ao2=105；(2)若兩圓的公共弦在兩圓心的同旁時，如圖(b)，如(1)中的解法得 o1ac=60，o2ac

11、=45，o1ao2=60-45=15綜合(1)、(2)知，o1ao2的度數(shù)為105或15，故正確答案應(yīng)選(c).在證明圓周角定理時，由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。5、 在組合方面的應(yīng)用例8.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品。從100件中任意抽出3件，至少有1件是次品的抽法有多少種

12、？ 從100件產(chǎn)品中抽出3件，可分為三類：、沒有次品，、有一件次品，有兩件次品。抽取產(chǎn)品的方法數(shù)分別是 、 、。至少有一件是次品包括有一件是次品和有兩件次品兩種情況。所以，至少有1件是次品的抽法有x種。x=298972+198=9604（種）從100件產(chǎn)品中抽出3件的方法數(shù)是=161700。至少有一件是次品，實際上就是“100件產(chǎn)品中抽出3件”中不含“沒有次品”的情況。所以從“100件產(chǎn)品中抽出3件”的方法數(shù)中，除去“沒有次品”的方法數(shù)，就是至少有一件是次品的方法數(shù)。即x種。 x=1009998（32）-989796（32）=161700-152096=9604（種） 例9. 某車間有10名工

13、人，其中4人僅會車工，3人僅會鉗工，另外三人車工、鉗工都會，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車工，鉗工各3人，問有多少種選派方案？分析：如果先考慮鉗工，因有6人會鉗工，故有c63種選法，但此時不清楚選出的鉗工中有幾個是車鉗工都會的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會車工，因此在選車工時，就無法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車工也會遇到同樣的問題。因此需對全能工人進行分類：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。 解： 使用分類思想解決組合問題的思路，同使用分類思想解決

14、排列問題的思路基本一樣。都是先分解大概念，再根據(jù)種和類之間的關(guān)系，找出多種解題方法，再從中篩選出比較簡捷的方法。6、 在解決概率問題方面的應(yīng)用 使用分類思想解決概率方面的問題，常常能夠找到比較簡單的解題途徑。尤其是互斥事件方面的問題，更是如此。 例10. 在50件產(chǎn)品中，有45件一級品，5件二級品，從中任取3件，其中至少有1件為二級品的概率是多少？ “從50件中任取3件”包括“從50件中任取3件，沒有二級品”，“從50件中任取3件，有1件二級品”、“從50件中任取3件，有2件二級品”、“從50件中任取3件，有3件二級品”四種情況?！爸辽儆?件為二級品”包括“從50件中任取3件，有1件二級品”、

15、“從50件中任取3件，有2件二級品”、“從50件中任取3件，有3件二級品”三類。又因為這三類事件是互斥事件。所以，這三類事件的概率和就是“至少有1件是二級品的概率”。容易求得，“從50件中任取3件，有1件二級品”的概率是.“從50件中任取3件，有2件二級品”的概率是 .“從50件中任取3件，有3件二級品”的概率是 . 所以，從50件產(chǎn)品中任意取出3件，至少有一件是二級品的概率為 .上面是把“從50件產(chǎn)品中任意取出3件”按照二級品的個數(shù)分成“沒有二級品”、“有1件二級品”、“有2件二級品”、“有3件二級品”四種情況。也可以把它分成“沒有二級品”和“至少有1件是二級品”兩種情況。這兩個事件不可能同

16、時發(fā)生，屬于互斥事件。所謂“至少有1件是二級品”的事件，就是“從50件產(chǎn)品中任意取出3件，而不含沒有二級品”的事件。所以，從“任意取出3件”的概率中減去“沒有二級品”的概率，即為“至少有1件是二級品”的概率。 在這個題里，“從50件產(chǎn)品中任意取出3件產(chǎn)品”是必然事件，概率為1.“沒有二級品”的概率為 .故，“至少有1件是二級品”的概率為 .7.含參數(shù)問題的應(yīng)用例11. 分析： 解：（1）當(dāng)k=4時，方程變?yōu)?x2=0，即x=0，表示直線； （2）當(dāng)k=8時，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線； （i）當(dāng)k4時，方程表示雙曲線； （ii）當(dāng)4k6時，方程表示橢圓； （iii）當(dāng)k=6時，方程

17、表示圓； （iv）當(dāng)6k8時，方程表示雙曲線。 三、引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力。 中學(xué)數(shù)學(xué)課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題，都需要分類討論，在教授這些內(nèi)容時，應(yīng)不斷強化學(xué)生分類討論的意識，讓學(xué)生認識到這些問題，在解題教學(xué)中，通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括，總結(jié)出規(guī)律性的東西，從而加強學(xué)生思維的條理性，縝密性。一般地，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)不同位置的情況，逐一討論解決問題。 例12.已知函救y（m-1）x2(m-2）x1（m是實數(shù)）.如果函數(shù)的圖

18、象和x軸只有一個交點，求m的值.分析：這里從函數(shù)分類的角度討論，分 m1=0 和 m10 兩種情況來研究解決問題。解：當(dāng)ml 時函數(shù)就是一個一次函數(shù)yx1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。當(dāng) m1 時，函數(shù)就是一個二次函數(shù)y（m1）x2（m2）x1當(dāng)（m2）2+4(m1)=0,得 m=0.拋物線 y=x22x1,的頂點（1，0）在x軸上.例13.函數(shù) y = x6 x5 + x4- x3 + x2 x +1，求證：y 的值恒為正數(shù)。分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn)，若將變量x在實數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類，則問題容易解決。證明： 當(dāng)x 0時 -x5 x3 - x 0 ， y1恒成立； 當(dāng)0 x x5 , x2 x3 , 1 x y 0 成立； 當(dāng)x = 1 時, y