拋物線與切線問題

1、數(shù)學本質是試題之源由2014年浙江省高考數(shù)學（理科）試題21想到的嘉善高級中學錢衛(wèi)紅引言：任何事物的存在都不是孤立的，它必與其它事物有著內在的必然聯(lián)系.課程標準指出，高中數(shù)學課程應返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、 結論的發(fā)展過程和本質.浙江高考考試說明也規(guī)定，高考要考查考生對數(shù)學 思想方法和數(shù)學本質的理解水平.2014年浙江省高考數(shù)學（理科）試題21正是命 自解析幾何最本質的地方.2 22014年浙江省高考數(shù)學（理科）試題21:如圖，設橢圓c：篤占=1 （ a 0，a bb aO ），動直線I與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限.（I）已知直線I的斜率為k，用a,b,k表示點P的坐標；

2、（n）若過原點o的直線i1與i垂直，證明：點P到直線i1的距離的最大值為a - b .據(jù)了解，很多考生走出考場時就直呼：做了這么多的圓錐曲線題算是白做 了.問其原因，說平時習慣圓錐曲線的題目，第一小題難度極低，求解曲線方程 之類的；第二小題聯(lián)立方程、韋達定理之類的套路.而此題從頭到尾幾乎全是字 母，這是考生不曾料到的.很多考生一看題就心里發(fā)怵，不敢做.即使做了，也 沒把握是否正確，解出第一小題便不敢嘗試第二小題.一、試題分析本題主要考查橢圓的方程、點到直線距離、直線與橢圓的位置關系等基礎知 識，同時考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力.滿分 15分.本題命題依據(jù)是課程標準對

3、直線和圓錐曲線的要求，能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關系）和實際問題； 及對不等式的要求，會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題.二、本題第（I）問的解法解法1:（命題組給出的解答）y = kx +m設直線I的方程為y =kx +m ( k cO )，由Jx2 y2，消去y得孑+廠12222 2 2 2222(b 亠a k )x 亠2a kmx 亠a kmx 亠a m a b 0 由于I與C只有一個公共點，故幾=0，即b2_m2 a2k2=0 ,解得點P的坐標為(-2a km.2 2 2b a kb2mb2 a2k22. .2又點P在第一象限，故點P的坐

4、標為解法1是解析幾何最本質的方法，用代數(shù)的方法聯(lián)立方程，解方程組即可然 而因解題過程中字母多，較多考生有解題思路，知道設直線方程和橢圓方程聯(lián)立 解方程組，卻沒信心解下去即便解出了答案，也不自信是否正確，于是很多學 生選擇了放棄第(U)問.通性通法解題是根本，但對學有余力的學生可以更靈活地選擇解題思路.如果把橢圓變?yōu)椤皥A”，過圓x2 y2 = r2上一點P(xo,yo)的切線方程是xox yoy =r2，學生大多很熟悉那么能否根據(jù)類比得出過橢圓上一點P(xo，y。)的切線方程就是2證法一、對橢圓方程求導 今-鑼，得一專所以切線斜率 a ba yb2Xoa yo2 2證法二、設橢圓的方程為 令+占

5、=1 ( ao,bo )，點P(xo，y)。則經仿射變a brxx=換ry，得圓 C: X2+y2 =r 2 ( r no )，點 P (-rx ,-ry).因為圓 C上過任一點 ya bl. b p(竽)的切線方程是于晉逆用上仿射變換化為翠曽刊，正 是橢圓在對應點P(xo,yo)的切線.因此，過橢圓上一點 P(xo, yo)的切線方程就是有了上述結論，便可得解法2:由題意，點P是切點，設P（xo，yo），貝U切線I ：X0X 智=1 a b.2 2 2所以k 一聖，又 篤烏 J，且點P在第一象限，解方程組得 a y0a bP(-2k.b2 a2k2b2 b2a2k2-5 -不同的人對數(shù)學本質

6、的理解不同. 筆者對數(shù)學本質的理解是，數(shù)學知識的內 在聯(lián)系、數(shù)學規(guī)律的形成過程、數(shù)學思想方法的提煉、數(shù)學理性精神的體驗等.通 性通法解題是根本，對學有余力的學生還可以適當涉入高等代數(shù)， 開闊學生解題 思路.三、本題第（U）問的解法由于直線li過原點0且與I垂直，故直線h的方程為x k0，所以點P到直a2k2 2 2線li的距離d = b a kb2k, 1 k2a2k2I，整理得d二2 .2a b2 ，b2 a2 a2k22k2因為a2k2a2 -b2a2 b22ab，所以a b蘭=:=a b .i.2. 2 . 2. 2 .b2*b2 +a2 +2abb a a k 2k2當且僅當k2b時等

7、號成立.a所以，點P到直線li的距離的最大值為a -b .事實上，第（U）問涉及到的考點也不難.（1）互相垂直的兩直線斜率的關 系；（2）點到直線的距離公式；（3）基本不等式.四、本題評分細則（1） 第一小題中只要有直線方程與橢圓聯(lián)立方程的意識就給2分，P點橫縱 坐標各2分，第一小題6分；（2）第二小題中只要設I1直線方程就給2分，至于直線方程有沒有設對無所謂； 看見點到直線的距離公式也給 2分，至于公式中有沒有寫錯或加不加絕對值無所謂；把點的坐標代入正確給3分，有沒有把表達式整理都沒關系；最后有 k ba的結果或等價形式都給2分評分標準原則之一是：“多余廢話，視而不見”！ 從評分標準可以看出

8、：本題注重的是解題思路，是考生的思維第二小題有7分的公式分，第一小題如果能解出 P點坐標，順勢寫出P到li的距離，拿13分 是輕而易舉的.遺憾的是，也許是平時閱卷老師評分過于嚴格，很多學生不敢亦 或不屑在試卷上寫思路、想法及聯(lián)想到的公式等.筆者08年去參加高考閱卷時，一位閱卷組長的話對我很有啟發(fā)，以至于今 天還印象深刻.他說：應當鼓勵考生有思想！在高考兩個小時內他的想法沒有解 決這個問題，也許再給兩個小時他就能解出來了呢就如從杭州到上海，如果我 買錯了票坐到了金華，不是還可以再從金華到上海嗎？五、從直線 Xox yo y = r 2和圓x2 + y2 =r2 (r 0)的關系想開去1 切線我們

9、知道，當點Po(xo, yo)為圓x2 y r2 (r 0)上的一點，則直線 xox yoy =r2是該圓過點Po的切線.上文也已證得，若點Po(x,yo)為橢圓2 2篤再=1上的一點，則該橢圓過點Po的切線方程是彎欝=1 .更進一步，若 a ba b2 2點Po(xo,yo)為雙曲線 篤-篤1上的一點，則該雙曲線過點Po的切線方程是a b弩一馬1 若點Po (xo, yo)為拋物線x2 =2py(p o)上一點，則該拋物線過點Po的 a b切線方程是xox二p(yo y).2.切點弦所在的直線我們還知道，若點Po(xo,yo)為圓x2 y r2 (r o)外一點，則該圓過點Po有兩條切線，x

10、ox，yoy=r2就是這兩條切線的切點所在的直線方程類比圓的這條性質，我們一樣可以證得：2 2(1)若點Po(xo, yo)為橢圓篤 篤=1外一點，則該橢圓過點Fo的兩條切線的 a b切點所在直線方程就是xo2x yo2y =1.a b2(2)若點Po(xo,yo)為雙曲線與a2告=1兩支外一點，且該雙曲線過點bP)有兩條切線，則兩切點所在直線方程就是 答一豊=1 a b(3)若點P0(xo，y。)為拋物線x2=2py(p .0)外一點，則該拋物線過點P。的兩條切線的切點弦所在直線方程就是x0x二p(y0 y).3若點Po(xo,yo)為圓x2 y2 =r 2 (r . 0)內一點(F0不與圓心重合)呢？過點P(X0，y。)作圓x2 yr2 (r .0)的動弦AB，設過點A、B的兩切線交于 點E(m,n) 由圓的切點弦方程知 AB : mx ny = r2，因為弦AB過點P0(x0, y0)，所以 有mx0 ny0 =r2，即兩切線的交點在直線xx *。丫=2上.可以證明，這個結論在 橢圓、雙曲