小學奧數(shù)所有知識點大匯總(最全)

1、1 和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)一、和差倍問題（一）和差問題： 已知兩個數(shù)的和及兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù) .方法：（和差）+2=較小數(shù)，和-較小數(shù)=較大數(shù)方法：（和+差）+2較大數(shù)，和-較大數(shù)=較小數(shù)例如：兩個數(shù)的和是15 ，差是5 ，求這兩個數(shù).方法：（15-5） +2=5 , （15+5） +2=10 .（二） 和倍問題： 已知兩個數(shù)的和及這兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)方法：和+（倍數(shù)+1） =1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)（較小數(shù)）x倍數(shù)=幾倍數(shù)（較大數(shù)）或 和 -1 倍數(shù)（較小數(shù)） = 幾倍數(shù)（較大數(shù)）例如：兩個數(shù)的和為 50 ，大數(shù)是

2、小數(shù)的 4 倍，求這兩個數(shù).方法：50+ （4+1） =10 10x4=40（三）差倍問題： 已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)方法：差+（倍數(shù)-1 ） =1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)（較小數(shù)）x倍數(shù)=幾倍數(shù)（較大數(shù)）或 和 -倍數(shù)（較小數(shù)）=幾倍數(shù)（較大數(shù)）例如：兩個數(shù)的差為 80 ，大數(shù)是小數(shù)的 5 倍，求這兩個數(shù).方法：80+ （5-1） =20 20x5=100和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2年齡問題的三個基本特征： 兩個人的年齡差是不變的； 兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的； 兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；解答年齡問題的一般方法是：幾年后年齡=大小年齡

3、差翁數(shù)差-小年齡，幾年前年齡二小年齡-大小年齡差咻數(shù)差.3 歸一問題的基本特點： 問題中有一個不變的量， 一般是那個 “單一量 ” ， 題目一般用 “照 這樣的速度”等詞語來表示.關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題:基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹， 兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹:（一）不封閉型（直線）植樹問題1、直線兩端植樹：棵數(shù)二段數(shù)+1=全長 平距+1 ;全長啾距x （棵數(shù)-1 ）；株距= 全長+ （棵數(shù)-1 ）;2、直線一端植樹：全長=株距 牌數(shù)；棵數(shù)= 全長書距；株距= 全長鄧數(shù)；

4、3、直線兩端都不植樹：棵數(shù)二段數(shù)-1=全長平距-1 ；株距= 全長+（棵數(shù)+1 ）;（二）封閉型（圓、三角形、多邊形等）植樹問題 ;棵數(shù)=總距離啾距；總距離二棵數(shù)牌距；棵距=總距離啾數(shù).5雞兔同籠問題;基本概念： 雞兔同籠問題又稱為置換問題、 假設(shè)問題， 就是把假設(shè)錯的那部分置換出來；基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣） ： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因； 再根據(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差.基本公式：把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)=（兔腳數(shù)板頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)

5、成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)x總頭數(shù)）一（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差.【雞兔問題公式】（ 1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)x總頭數(shù)）一 （每只兔的腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）二兔數(shù)；總頭數(shù)- 兔數(shù)=雞數(shù).或者是（每只兔腳數(shù)x總頭數(shù)-總腳數(shù)）一 （每只兔腳數(shù)-每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)- 雞數(shù)=兔數(shù).例如 ，“有雞、兔共36 只，它們共有腳 100 只，雞、兔各是多少只？”兔;解一 ( 100-2x36) + ( 4-2 ) =14 (只)36-14=22 （只）雞.解二 （4x36-100） + （ 4-2 ） =22 （只）雞；36-22=14

6、（只）兔.（答 略）（ 2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當雞的總腳數(shù)比兔的總腳數(shù)多時，可用公式（每只雞腳數(shù)x總頭數(shù)-腳數(shù)之差）一 （每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)- 兔數(shù)=雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)x總頭數(shù) +雞兔腳數(shù)之差）一 （每只雞的腳數(shù)+每只免的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)- 雞數(shù)=兔數(shù). （例略）（ 3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時，可用公式.（每只雞的腳數(shù)x總頭數(shù) +雞兔腳數(shù)之差）+ （每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù)- 兔數(shù)=雞數(shù).或（每只兔的腳數(shù)x總頭數(shù)-雞兔腳數(shù)之差）+（每只雞的腳數(shù)+每只兔的腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù)- 雞數(shù)=兔數(shù). （例略）（ 4）

7、得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分數(shù)x產(chǎn)品總數(shù)-實得總分數(shù)）+ （每只合格品得分數(shù)+每只不合格品扣分數(shù)）=不合格品數(shù).或者是總產(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分數(shù)x總產(chǎn)品數(shù)+實得總分數(shù)）一（每只合格品得分數(shù)+每只不合格品扣分數(shù)）=不合格品數(shù).例如 ，“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資. 每生產(chǎn)一個合格品記4 分，每生產(chǎn)一個不合格品不僅不記分，還要扣除15 分. 某工人生產(chǎn)了 1000只燈泡，共得3525 分，問其中有多少個燈泡不合格？”解一 （4x 1000-3525） + （ 4+15）=475+ 19=25 （個）解二 1000- （15x 1000+3

8、525）+ （ 4+15）= 1000-18525+ 19=1000-975=25 （個）（答略）（“得失問題”也稱“運玻璃器皿問題”，運到完好無損者每只給運費xx元，破損者不僅不給運費，還需要賠成本x x元.它的解法顯然可套用上述公式.）（ 5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題）， 可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和）一 （每只雞兔腳數(shù)和）+ （兩次總腳數(shù)之差）一 （每只雞兔腳數(shù)之差）+ 2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）一 （每只雞兔腳數(shù)之和）-（兩次總腳數(shù)之差）一 （每只雞兔腳數(shù)之差）+ 2=數(shù).例如 ，“有一些雞和兔，共有腳 44 只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳

9、 52 只 . 雞兔各 是多少只？”解（ 52+44） + （ 4+2） + （52-44） + （ 4-2 ）+2=20+ 2=10 （只）雞（ 52+44） + （ 4+2） - （52-44 ） + （ 4-2）+2=12+ 2=6 （只）兔（答略）雞兔同籠， 這是一個古老的數(shù)學問題，在現(xiàn)實生活中也是普遍存在的重點掌握雞兔同籠問題的解法-假設(shè)法，并會將這種方法應(yīng)用到一些實際問題中.解雞兔同籠問題的基本關(guān)系式是：雞數(shù)=（每只兔子腳數(shù) 訓兔總數(shù)-實際腳數(shù)）+（每只兔子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）兔數(shù)=雞兔總數(shù)-雞數(shù)當然，也可以先假設(shè)全是雞，那么就有：兔數(shù)=（實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù) 冽兔總數(shù)）一（每只兔

10、子腳數(shù)-每只雞的腳數(shù)）雞數(shù)=雞兔總數(shù)-兔數(shù)6 盈虧問題;基本思路： 先將兩種分配方案進行比較， 分析由于標準的差異造成結(jié)果的變化， 根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量按不同的方法分配物品時， 經(jīng)常發(fā)生不能均分的情況 如果有物品剩余就叫盈， 如果物品不夠就叫虧，這就是盈虧問題的含義一般地，一批物品分給一定數(shù)量的人，第一種分配方法有多余的物品（盈） ，第二種分配方法則不足（虧 ），當兩種分配方法相差n 個物品時，那就有：盈數(shù)+ 虧數(shù)=人數(shù)x n ,這是關(guān)于盈虧問題很重要的一個關(guān)系式解盈虧問題的竅門可以用下面的公式來概括：（盈+虧）酒次分彳導之差=人數(shù)或單位數(shù)，（盈-盈）渤

11、次分彳導之差=人數(shù)或單位數(shù)，（虧-虧）渤次分彳導之差=人數(shù)或單位數(shù).解盈虧問題的關(guān)鍵是要找到：什么情況下會盈，盈多少？什么情況下虧 ， 虧多少？找到盈虧的根源和幾次盈虧結(jié)果不同的原因另外在解題后，應(yīng)進行驗算基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的 .關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù) .7牛吃草問題;基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為 “ 1份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量”的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量.基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量.基本公式：生長量=（較長時間生時間牛頭數(shù)-較短時間海時間牛頭數(shù)）+ （長時間-短時間）；總草

12、量=較長時間 x時間牛頭數(shù)-較長時間 x長量；8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律;周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期 .閏年：一年有366 天； 年份能被 4 整除； 如果年份能被 100 整除，則年份必須能被400 整除；平年：一年有365 天 . 年份不能被4 整除； 如果年份能被 100 整除，但不能被400 整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量 也份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量評均數(shù)平均數(shù)=基準數(shù)+每一個數(shù)與基準數(shù)差的和一總份數(shù)基本算法： 求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式 進行計算 . 基準數(shù)法：根

13、據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準數(shù)； 以基準數(shù)為標準， 求所有給出數(shù)與基準數(shù)的差； 再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式 .10抽屜原理抽屜原則一：如果把（ n+1 ）個物體放在n 個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體 .例： 把 4 個物體放在 3 個抽屜里， 也就是把 4 分解成三個整數(shù)的和， 那么就有以下四種情況： 4=4+0+（ 4=3+1+ 4=2+2+ 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式， 我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點： 總有那么一個抽屜里有2 個或多于

14、2 個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2 個物體 .抽屜原則二： 如果把 n 個物體放在m 個抽屜里， 其中 nm ， 那么必有一個抽屜至少有： k=n/m+1 個物體：當 n 不能被 m 整除時 . k=n/m 個物體：當 n 能被 m 整除時 .理解知識點：x表示不超過x的最大整數(shù).例4.351=4； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜.也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算 .2.1、 、方陣問題在方陣問題中，橫的排叫做行，豎的排叫做列，如果行數(shù)和列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，就是所謂的方陣.方陣的基本特點是： 方陣不論在哪一層，每邊

15、上的人（或物）數(shù)量都相同每向里一層，每邊上的人數(shù)就少 2 ，每層總數(shù)就少8 每邊人（或物）數(shù)和每層總數(shù)的關(guān)系：每層總數(shù)=每邊人（或物）數(shù)1 x4 ;每邊人（或物）數(shù)=每層總數(shù)+4+1 .實心方陣：總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù) 兩邊人（或物）數(shù).11 定義新運算基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算.關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義.注意事項： 新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序 每個新定義的運算符號只能在本題中使用 .12數(shù)列求和等

16、差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列.基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用 a1 表示；項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用 n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d 表示；通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an 表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量： a1 ， an， d， n ， sn， ，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個 .基本公式：通項公式： an=a1+（n 1） d；通項=首項+ （項數(shù)一1）公差

17、；數(shù)列和公式： sn， =（a1+an）n2 ；數(shù)列和=（首項+末項）項數(shù) 2;項數(shù)公式： n=（an+a1）d 1；項數(shù)=（末項-首項）公差1 ；公差公式： d= （ana1） （n1）；公差 =（末項首項） （項數(shù) 1） ；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；13二進制及其應(yīng)用十進制：用。9十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位 上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200.所以 234=200+30+4=2102+310+4.+a3102+a2101+a1100=an10n-1+an-110n-2+an-210n-3+an-310n-4+an-410

18、n-5+an-610n- 7+注意：n0=1; n1=n （其中n是任意自然數(shù)）二進制：用01兩個數(shù)字表示，逢 2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義.（2） =an2n-1+an-12n-2+an-22n-3+an-32n-4+an-42n-5+an-62n-7+a322+a221+a120注意： an 不是 0 就是 1.十進制化成二進制： 根據(jù)二進制滿2 進 1 的特點，用 2 連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為 0 ，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可. 先找出不大于該數(shù)的 2 的 n 次方， 再求它們的差， 再找不大于這個差的 2 的 n 次方，依此方法一直找到差為0 ，按照二進制展開

19、式特點即可寫出.14加法乘法原理和幾何計數(shù)加法原理：如果完成一件任務(wù)有n 類方法，在第一類方法中有m1 種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法；在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有： m1+m2+mn 種不同的方法.關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法.基本特征：每一種方法都可完成任務(wù) .乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n 個步驟進行，做第 1 步有 m1 種方法，不管第1步用哪一種方法，第 2步總有m2種方法不管前面n-1步用哪種方法，第 n步總有mn 種方法，那么完成這件任務(wù)共有：mix m2.x種不同的方法.關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟 .基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部

20、分.直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡.直線特點：沒有端點，沒有長度 .線段：直線上任意兩點間的距離.這兩點叫端點線段特點：有兩個端點，有長度 .射線：把直線的一端無限延長 .射線特點：只有一個端點；沒有長度 .數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+t （點數(shù)一 1）;數(shù)角規(guī)律=1+2+3+t （射線數(shù)一 1）;數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù) 就的線段數(shù)： 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =1 x 1+2x 2+3x 3+行數(shù) 沏j數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù).合數(shù)：一個數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù).

21、質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù) .分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù) .通常用短除法分解質(zhì)因數(shù).任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的.分解質(zhì)因數(shù)的標準表示形式：n=,其中a1、a2、a3an都是合數(shù) n的質(zhì)因數(shù)，且a1a2a3 .a求約數(shù)個數(shù)的公式：p=（r1+1） x（r2+1） x（r3+1） 乂 乂 （rn+1）互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1 ，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù).16 約數(shù)與倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a 能夠被 b 整除， a 叫做 b 的倍數(shù)， b 就叫做 a 的約數(shù) .公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其

22、中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù).最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù).2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù).4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m ，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以 m.例如： 12 的約數(shù)有 1 、 2 、 3、 4、 6 、 12 ；18 的約數(shù)有： 1、 2、 3、 6、 9、 18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有： 1 、 2 、 3、 6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是： 6，記作（ 12， 18） =6；求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因

23、數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘.3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù) .公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù).12 的倍數(shù)有：12、24、36、48；18 的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是36，記作12 ， 18=36 ；最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積.求最小公倍數(shù)基本方法： 1 、短除法

24、求最小公倍數(shù)； 2 、分解質(zhì)因數(shù)的方法一、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù) b,得到一個整數(shù)商 c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a.2、常用符號：整除符號 “|：不能整除符號 二因為符號所以的符號二、整除判斷方法：1 .能被2 、 5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、 5 整除 .2 .能被4 、 25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、 25 整除 .3 .能被8、 125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、 125 整除 .4 .能被3 、 9 整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被 3 、 9 整除 .5 .能被7 整除： 末三位上數(shù)字所組成的

25、數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7 整除 . 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2 倍后能被 7 整除 .6 .能被11 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11 整除 . 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11 整除 . 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11 整除 .7 .能被13 整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13 整除 . 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除 .三、整除的性質(zhì)：1 .如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除.2 .如果a能被b整除，c是

26、整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除.3 .如果a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除 .4 .如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除.18余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q紅且0rb,那么r叫做a除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商.余數(shù)的性質(zhì)： 余數(shù)小于除數(shù). 若 a、 b 除以 c 的余數(shù)相同，則 c|a-b 或 c|b-a.a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù).a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù).19余數(shù)、同余與周期

27、一、同余的定義： 若兩個整數(shù)a、 b 除以 m 的余數(shù)相同，則稱a 、 b 對于模 m 同余 .已知三個整數(shù) a、b、m,如果 m|a-b ,就稱a、b對于模 m同余，記作 a三b(modm) 讀作 a 同余于 b 模 m.二、同余的性質(zhì)： 自身性：a三a(modm) 對稱性：若 a三b(modm),則b三a(modm);傳遞性：若 a=b(modm), b三c(modm)貝u a三c(modm) 和差性： 若 a=b(modm), c三d(modm)貝u a+c三 b+d(modm) a-c三-d(modm);相乘性：若 a=b(modm), c三d(modm)貝u ax c三bx d(mo

28、dm) 乘方性：若 a三b(modm),貝u an三bn(modm); 同倍性：若 a三b(modm),整數(shù)c,則ax c三bx c(modm c)三、關(guān)于乘方的預備知識： 若 a=ax b,貝 u ma=ma b= (ma) b若 b=c+d 貝u mb=mc+d=mcmd四、被 3、 9、 11 除后的余數(shù)特征：一個自然數(shù) m , n表示m的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則 昨n（mod9）或（mod3）; 一個自然數(shù)m ， x 表示 m 的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和， y 表示 m 的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù) 的和，則 琳y-x或昨11- （x-y） （modll）;五、費爾馬小定理：如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是

29、自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三1（modp）20分數(shù)與百分數(shù)的應(yīng)用基本概念與性質(zhì)：分數(shù)：把單位“ 1平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)”.分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（ 0 除外） ，分數(shù)的大小不變.分數(shù)單位：把單位“ 1平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)”.百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù) .常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考. 對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系 . 轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答.最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系； 把不同的標準 （在分數(shù)中一般指的是一倍

30、量） 下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率.常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量. 假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果. 量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的 .有以下三種情況：a、分量發(fā)生變化，總量不變.b、總量發(fā) 生變化，但其中有的分量不變.c、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理. 濃度配比法：一般應(yīng)

31、用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況.21 分數(shù)大小的比較基本方法： 通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關(guān)系比較. 通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關(guān)系比較. 基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較. 分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大 倍率比較法： 當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小， 除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分數(shù)的大小.（具體運用見同倍率變化規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較. 倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1 進行比

32、較 . 大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0 比較 . 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小 . 基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較.22分數(shù)拆分一、將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式：二十； =+ （ d 為自然數(shù)） ；23完全平方數(shù)完全平方數(shù)特征：1 .末位數(shù)字只能是：0、 1 、 4 、 5、 6、 9 ；反之不成立2 .除以 3 余 0 或余 1；反之不成立3 .除以 4 余 0 或余 1；反之不成立 .4 .約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立.5 .奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立.6 .奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù).7 .

33、兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù).平方差公式： x2-y2=（ x-y） （ x+y）完全平方和公式：（ x+y） 2=x2+2xy+y2完全平方差公式：（ x-y） 2=x2-2xy+y224比和比例比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比.比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項比值：比的前項除以后項的商，叫做比值 .比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外） ，比值不變.比例：表示兩個比相等的式子叫做比例 .a： b=c ： d 或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘） ， ad=bc.正比例：若a 擴大或縮小幾倍，b 也擴大或縮小幾倍（ab 的商不變時），則a

34、與 b 成正比.反比例：若a 擴大或縮小幾倍，b 也縮小或擴大幾倍（ab 的積不變時），則a 與 b 成反比.比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺.按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配.25綜合行程基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系 .基本公式：路程=速度刈寸間；路程 刑間=速度；路程 電度=時間關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向 .相遇問題：速度和 將目遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間=路程差 理度差（寫出其他公式）流水問題：順水行程=（船速+水速）刈頂水時間逆水彳t程=（船速-水速）x逆水時間順水速度=

35、船速 +水速逆水速度=船速 -水速靜水速度=（順水速度+逆水速度）+2水速=（順水速度-逆水速度）+2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式.過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式.主要方法：畫線段圖法、速度（速基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、時間（相遇時間、追及時間）度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量.26工程問題基本公式：工作總量=工作效率刈:作時間工作效率=工作總量t作時間工作時間=工作總量t作效率基本思路： 假設(shè)工作總量為 “ 1（和總工作量無關(guān)）” 假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)） ，利用上述三個基本關(guān)系

36、，可以簡單地表示出工作效率及工作時間 .關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系 .經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合 .27邏輯推理基本方法簡介： 條件分析 假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的.例如，假設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么 a 一定是奇數(shù). 條件分析 列表法：當題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表來輔助分析.列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判

37、斷. 條件分析 圖表法：當兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系， 有連線則表示 “是， 有”等肯定的狀態(tài)， 沒有連線則表示否定的狀態(tài).例如a 和 b兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識 . 邏輯計算： 在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外， 還要進行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的判斷篩選條件. 簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決.28幾何面積基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移

38、、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律 .常用方法：1 .連輔助線方法2 .利用等底等高的兩個三角形面積相等3 .大膽假設(shè) （有些點的設(shè)置題目中說的是任意點， 解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）4 .利用特殊規(guī)律 等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積. （斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積） 梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等. 圓的面積占外接正方形面積的 78.5%.29立體圖形長方體8 個頂點； 6 個面；相對的面相等； 12 條棱；相對的棱相等； s=2（ab+ah+bh）v=abh=sh正方體8 個頂

39、點； 6 個面；所有面相等； 12 條棱；所有棱相等； s=6a2v=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓；側(cè)面展開后是長方形；s=ski|+2sb s=chv=sh圓錐體下底是圓；只有一個頂點；1:母線，頂點到底圓周上任意一點的距離；s=s側(cè)+s底s 側(cè)=r1v=sh球體圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑.s=4r2v=r330時鐘問題 快慢表問題基本思路：1、按照行程問題中的思維方法解題；2、不同的表當成速度不同的運動物體；3、路程的單位是分格（表一周為60 分格） ；4、時間是標準表所經(jīng)過的時間；合理利用行程問題中的比例關(guān)系;知識點：2。14年春季第t巧填茸符在合適的地方填t 一 k 一

40、()便等式成立v8 8 8 8 8 8 s 3=1000喻合適的1防意s就是兩個數(shù)之f眄以不填算符，硒j三個8之間不埴算將可變成888 .菸個8之間不道算甑變成88 .能8十酶+ 8+8+8=1000 (警案不唯一)知識點：2014年暑酒t 加乘原理初步用數(shù)字 0、2. 4. 5、6、7、9(1)可以組翊少個三位數(shù)?y ：|可二運正冬匚/元至賓數(shù)字的日位苜m : (3)附加題：可以行成套少個無更復數(shù)字的四位i滕？解析】一有7件存(1)高位不能先0 ,三位數(shù)包含個位.十位、百位百位十位個位& w 7 x 7 =294(2 )無重復數(shù)字的四位三數(shù).題中要求無重復則用過的數(shù)字不能再用r要求奇數(shù)則今垃

41、是待煉位3.優(yōu)先考蕨千位百位十憤個拉4x3 =300t7個數(shù)字最 高位不戢為口 .且 個位上海用拽7酒5種送擇.前方特算要求- 個位千位各用* 個數(shù)字，百赴q 剩5種選擇.十位元特殊要求. 七位百位千位&里 植tt學，十位上原w櫛酒郵學弓號同1展宅理(3 )無重亙數(shù)字的四位偶數(shù).要求為偶數(shù).則個位持殲位詈，優(yōu)先考慮.法一：注：由于本題中所給數(shù)字包含0,0對于偎數(shù)要求以及高位要求 都有其特殊性，所以對于包含有0的組數(shù)問題，要分類老前i&jo千位百位十位個位是高位不能為o.0 ,無 其它特殊要求.干 位上有6種選擇。x 4 x 1 =120個位上源為0 .所以只有1百位無特殊要求， 個位千位各用擅

42、 一 內(nèi)掙，百口用 剝5種癖.十位無特殊要求， 個位百位干，立各用 掉t弟十位 上0耐4種灑個位不為0千位百位十位個位5 x 5 x 4 x 3 =300奧埃有:120300=420 (個)無重復數(shù)字的四位偶數(shù)。一、認識小數(shù)小就由釜我部分、，卜醫(yī)部分卻小笈點盥戒.m；*.玄而也時注臣含峙引的不孟基裁的裁. 古人就互照了小泉裊補交嬖效.小數(shù)是十麥卻分效的一珠嶷犯專雙.嚴面分衣郛可以泉手蕨小登，馬弄養(yǎng)師有小我 承也耳成分盤，和圓周卑內(nèi)，自照時就inn妁底默仰：刖=3.1415926535 3979323346 26433832r9 5028841971 69399315705s209749s = 2.7182s18284 59045235360 2874713526 6249775724 7093699959 57496696二、小數(shù)的計數(shù)單位和數(shù)位1 .計數(shù)單位小線的科數(shù)比色是十分之一，看分之一：千分之一-分祝胃作o.eo.