立體幾何空間角的求法

1、裝訂線空間角的求解（）班級： _ 姓名： _ 小 組：_ 評價(jià)：_【考綱解讀】通過平移平行直線中的一條或兩條，作出它們所成的角，通過解三角形確定角的大小。理解直線與平面所成角的定義，并能以幾何體為載體按找、作、證、求得邏輯順序求角。理解二面角及其平面角的定義，并能以幾何體為載體按找、作、證、求得邏輯順序求角【課堂六環(huán)節(jié)】一、導(dǎo)教師導(dǎo)入新課。（7分鐘）（一）異面直線所成的角：定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上。范圍：求異面直線所成的角的方法：法1：通過平移，在一條直線上

2、找一點(diǎn)，過該點(diǎn)做另一直線的平行線；法2;找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求法向量法： （二）直線和平面所成的角1線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角，范圍：0，.求線面角的一般步驟：（1）經(jīng)過斜線上一點(diǎn)作面的垂線，找出斜線在平面內(nèi)的射影，從而找出線面角（）向量法：設(shè)直線與平面所成角為，直線的方向向量與面的法向量分別是, 則的余角或其補(bǔ)角的余角即為與所成的角，（三）二面角1.二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角范圍是；二面角的平面角的特點(diǎn)：1）角的

3、頂點(diǎn)在棱上 2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi) 3）角的邊都要垂直于二面角的棱。利用法向量求解：設(shè)是平面的法向量，是平面的法向量兩個(gè)平面的二面角如圖1所示的示意圖，則與之間的夾角就是欲求的二面角；若兩個(gè)平面的二面角如圖2所示的示意圖，設(shè)與之間的夾角為則兩個(gè)平面的二面角為 （圖1） （圖2）用法向量求二面角時(shí)，首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。由余弦定理求出：。二、思自主學(xué)習(xí)。學(xué)生結(jié)合課本自主學(xué)習(xí)，完成下列相關(guān)內(nèi)容。（15分鐘）考點(diǎn)一異面直線所成的角例1在正三棱錐SABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為ABC的中心，SA=BC=2，則異面直線EF與AB所成的角是( )(A)30(B) 45(C) 60(D) 9

4、0分析：設(shè)M是SB的中點(diǎn)，連結(jié)EM，則EMABMEF是異面直線EF與AB所成的角連AF和MF，由于F是ABC的中心，故SF是正三棱錐SABC的高在RtSAF中，E是斜邊SA的中點(diǎn)，因此，同理FM=1，又，故EFM是等邊三角形，MEF=60例2、如圖，三棱錐PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小； 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 過點(diǎn)A作AF/BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF則為異面直

5、線PA與BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂線定理，得PFAF則AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，異面直線PA與BC所成的角為例3、 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn) （）證明：面面；（）求與所成的角；證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 （）證明：因由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因考點(diǎn)二 直線和平面所成角例4在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，CBAB，且AB=4，BC=3，ABB1=60求AC1與平面BCC1所成角的正弦解： 四邊形B

6、CC1B1是矩形，即BCB1B又BCAB，且B1BAB=B， BC平面A1ABB1， BC平面BCC1， 平面A1ABB1平面BCC1，B1B是交線作AHB1B，垂足是H，連結(jié)C1H AH平面BCC1，C1H是AC1在平面BCC1的射影，AC1H是直線AC1與平面BCC1所成的角在菱形ABB1A1中，AB=4，ABB1=60， AH=ABsin60=，BH=ABcos60=2，B1H=2在RtB1HC1中，在RtAHC1中，tg， 即所求角的正弦是典例例5(2013湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD A1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D

7、； (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值解法一：(1)證明：如圖1，因?yàn)锽B1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)因?yàn)锽1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為)如圖1，連接A1D.因?yàn)槔庵鵄BCD A1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1.從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面

8、ACD1.故ADB190.在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳CBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故.即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.（2） . 例6（2013年高考新課標(biāo)1（理）如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()證明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】()取AB中點(diǎn)E,連結(jié)CE,

9、 AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,兩兩相互垂直,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,|為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系, 有題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),則=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 設(shè)=是平面的法向量, 則,即,可取=(,1,-1), =, 直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 考點(diǎn)三 二面角問題例7、如圖,AB是圓的直徑,PA垂直圓所在的平面,C是圓上的點(diǎn).(I)求證:(II)三、議學(xué)生起立討論。根據(jù)以上學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行小組集體討論。（6分鐘）四、展學(xué)生激情展示