六年級(jí)奧數(shù)分?jǐn)?shù)巧算學(xué)生版

1、分?jǐn)?shù)的速算與巧算1、裂項(xiàng)：是計(jì)算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握 裂項(xiàng)技巧及尋找通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力2、換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡(jiǎn)單算式。3、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的問題.4、通項(xiàng)歸納法通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡(jiǎn)，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計(jì)算， 使計(jì)算過程更加簡(jiǎn)便，而通項(xiàng)歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡(jiǎn)為常見的一般形式. 知識(shí)點(diǎn)撥、裂項(xiàng)綜合(一)、“裂差”型運(yùn)算(1)對(duì)于分母

2、可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即,形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即 a b,那a b/人 1111a 有()a b baa b(2)對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即:1n (n 1) (n2)形式的，我們有:n (n 1) (n 2) (n 3)1n (n 1) (n 2)1112 n (n 1) (n 1)(n2)111 n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2)(n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征:(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是 x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是

3、1的運(yùn)算。(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。(二)、“裂和”型運(yùn)算:常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式:(1)里_b_a_b_11a ba ba bba2.2a ba bb2a b裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比:4裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”,裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的,同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。三、整數(shù)裂項(xiàng)1 1 2 2 3 3 4 (n 1) n -(n 1) n (n 1)31(2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 . (n 2) (n 1) n (n

4、 2)(n 1)n(n 1)4二、換元解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn).三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)0.abab990.0abab 199 10ab；990c , abc a0.abc ,9901、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論:純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差分母n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0,組成分母，其中9在0的左側(cè)2、單位分?jǐn)?shù)的拆分：11111111111 例：= = = = = 一10 20 2

5、0分析：分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是:從分母n的約數(shù)中任意找出兩個(gè) m和n,有:11(m n) mn _ 11n n(m n) n(m n) n(m n) a b本題10的約數(shù)有:1,10,2,5.。例如：選1和2,有：11(1 2)121110 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15本題具體的解有：11111111110 11 110 12 60 14 35 15 30例題精講模塊一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)例 11_1 1 1 1 11234 2345 34566789 789 10312 3 4計(jì)算:317 18 19 20198 9 10【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是

6、一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目.但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2.相比較于2, 4, 6,這一公差為 2的等差數(shù)歹u（該數(shù)列的第n個(gè)數(shù)恰好為n的2倍），原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3,所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算.也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為 2n 3 , 所以2n 3232, 再將每一項(xiàng)的nn1n 2 n 1n 2n n1n2n 1 n 23.一3分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng).后面的過程與前面的方法相同.n n 1 n 2571719【鞏固】計(jì)算：1155 （ 一- l 17一 一-）2 3 4 3

7、4 58 9 10 9 10 111210 11 13 14【鞏固】【例3】例4 【解析】計(jì)算:312 4 592 3 4l 1011 2 l 100本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡(jiǎn)單 的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的小、占 112112代入有,1(1 1) 11212(1 2) 22 322例5 【解析】例6 1111231517191這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng):121 12(1 2) (1 3)1122111 13122a b (a b) (a b),119991 .(1 2) (1 3

8、) l (16【例7】【解析】找通項(xiàng)an(1 n) n2(1 n) n 12n (n 1)n (n 1) 2121231234l123l5022 32 3 42 3 l 508【例8】222112)221232122223421222262,3,3-3112,3-3123313-3-323431323263-2-212a2 nn(n1) (2n1)【解析】622n12(11 )an3-311100 5000 2200 5000 233 n2 n(n 1)23n (n1)3()n n 14例9 22計(jì)算：j，3 l2131992992 1（項(xiàng)公式：an2992999900 5000本題的通項(xiàng)公式

9、為2n-2n 100n 5000沒辦法進(jìn)行裂項(xiàng)之類的處理.注意到分母2 n 100n 5000 5000 n 100 n5000 100 n 100100 n ,可以看出如果把n換成100 n的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來，最后單獨(dú)剩下一個(gè)502_2 505000 5000.將項(xiàng)數(shù)和為100的兩項(xiàng)相加，得2n-2n 100n 5000222100 nn 100 n22100 n 100 100 n 5000 n 100n 50002n2 200n 100002n 100n 5000所以原式 2 49 1 99.（或者，可得原式中 99項(xiàng)的平士勻數(shù)為1,所以原式1 99

10、99)【例10】24120 211122z212122212lt21222102_ 一一 ,1【解析】雖然很容易看出2 311 一一, 一1 -可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果,45因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng).我們?cè)賮砜春竺娴氖阶樱恳豁?xiàng)的分母容易讓我們想到公式一.，1于是我們又有-2一2一2122232號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有模塊二、換元與公式應(yīng)用【例11】計(jì)算:1333537393【例12】計(jì)算:一n (n 1) (2n 1).減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減10項(xiàng),是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)”呢?133134135136【例13】2,22計(jì)算：(246_1 2 3113133153166

11、3則 3s 3 11321331111不了，3s s 3落整理可得364s 1 一 72922100 ) (19 10 9 83252992)15【例14】計(jì)算:22200020012000 2001【例15】20078.58.5 1.51.5101600.3【例16】計(jì)算:（1 111-）（二11二）（11111二）（二-）三、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化【例17】 計(jì)算：0.&+0.125+0.3+0.16&,結(jié)果保留三位小數(shù).則正確結(jié)果該【例18】 某學(xué)生將1.2&乘以一個(gè)數(shù)a時(shí)，把1.2&誤看成1.23,使乘積比正確結(jié)果減少0.3.是多少？【例19】有8個(gè)數(shù)，0.&, 2,5, 0.5&,a,1

12、3是其中6個(gè)，如果按從小到大的順序排列時(shí)，第 4個(gè)數(shù)是3 947 250.5&,那么按從大到小排列時(shí)，第4個(gè)數(shù)是哪一個(gè)數(shù)？【例20真分?jǐn)?shù)a化為小數(shù)后，如果從小數(shù)點(diǎn)后第一位的數(shù)字開始連續(xù)若干個(gè)數(shù)字之和是1992,那么a7是多少？【例21】 陋和，化成循環(huán)小數(shù)后第 100位上的數(shù)字之和是 2009287【解析】如果將 02和工轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)后再去計(jì)算第100位上的數(shù)字和比較麻煩，通過觀察計(jì)算我200928720021們發(fā)現(xiàn)出2 1,而1 0.9,則第100位上的數(shù)字和為 9.2009 28711111111111例22 45注：這里要先選 10的三個(gè)約數(shù)，比如 5、2和1,表示成連減式 5-2-1和連加式5+2+1.【例23】所有分母小于30并且分母是質(zhì)數(shù)的真分?jǐn)?shù)相加，和是【例2例0 11右2004 ab都是四位數(shù)，且 ab,那么滿足上述條件的所有數(shù)對(duì)（ a,b）是課后練習(xí):練習(xí)1.1212 12 3312 3 4練習(xí)2.(2i）(389(8 9) (9 6)練習(xí)3.計(jì)算:133353l 993練習(xí)4.計(jì)算:12007120081200812007練習(xí) 5.0.15 0.218cc 110.3 ；2.2& 0.& 11 （結(jié)果表示成循環(huán)小數(shù)）320062006【備選4】計(jì)算:621 739 458126 358 947739 458 378358 947 20