初二數(shù)學(xué)最短路徑問題知識歸納+練習(xí)[沐風(fēng)教育]

1、初二數(shù)學(xué)最短路徑問題【問題概述】最短路徑問題是圖論研究中的一個經(jīng)典算法問題， 旨在尋找圖（由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的）中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑算法具體的形式包括：確定起點(diǎn)的最短路徑問題 - 即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題確定終點(diǎn)的最短路徑問題 - 與確定起點(diǎn)的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問題確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問題 - 即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑【問題原型】“將軍飲馬”，“造橋選址”，“費(fèi)馬點(diǎn)”【涉及知識】“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對稱”，“平移”【出題背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯

2、形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等【解題思路】找對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題考查【十二個基本問題】【問題1】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小連AB，與l交點(diǎn)即為P兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB最小值為AB【問題2】“將軍飲馬”作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最小作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B連A B，與l交點(diǎn)即為P兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB最小值為A B【問題3】作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使PMN的周長最小分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對稱點(diǎn)P和P，連PP，與兩直線交點(diǎn)即為M，N兩點(diǎn)之間線段最短PM+MN+PN的最小值為線段PP的長【問題4】作法

3、圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長最小分別作點(diǎn)Q 、P關(guān)于直線、的對稱點(diǎn)Q和P連QP，與兩直線交點(diǎn)即為M，N兩點(diǎn)之間線段最短四邊形PQMN周長的最小值為線段PP的長【問題5】“造橋選址”作法圖形原理直線，在、，上分別求點(diǎn)M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小將點(diǎn)A向下平移MN的長度單位得A，連AB，交于點(diǎn)N，過N作NM于M兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+BN的最小值為AB+MN【問題6】作法圖形原理在直線上求兩點(diǎn)M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小將點(diǎn)A向右平移個長度單位得A，作A關(guān)于的對稱點(diǎn)A， 連AB，交直線于點(diǎn)N，將N點(diǎn)向左平移個單位得M兩點(diǎn)之間線段最

4、短AM+MN+BN的最小值為AB+MN【問題7】作法圖形原理在上求點(diǎn)A，在上求點(diǎn)B，使PA+AB值最小作點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)P，作PB于B，交于A點(diǎn)到直線，垂線段最短PA+AB的最小值為線段PB的長【問題8】作法圖形原理A為上一定點(diǎn)，B為上一定點(diǎn)，在上求點(diǎn)M，在上求點(diǎn)N，使AM+MN+NB的值最小作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)A，作點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)B，連AB交于M，交于N兩點(diǎn)之間線段最短AM+MN+NB的最小值為線段AB的長【問題9】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最小連AB，作AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)即為P垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等0【問題10】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大作

5、直線AB，與直線l的交點(diǎn)即為P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB的最大值A(chǔ)B【問題11】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B作直線A B，與l交點(diǎn)即為P三角形任意兩邊之差小于第三邊AB最大值A(chǔ)B【問題12】“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理ABC中每一內(nèi)角都小于120，在ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC值最小所求點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，即滿足APBBPCAPC120以AB、AC為邊向外作等邊ABD、ACE，連CD、BE相交于P，點(diǎn)P即為所求兩點(diǎn)之間線段最短PA+PB+PC最小值CD【精品練習(xí)】ADEPBC1如圖所示，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)

6、，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（ ） A B C3 D2如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60，若將ACD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC、AD分別與BC、CD交于點(diǎn)E、F，則CEF的周長的最小值為（ ）A2BCD43四邊形ABCD中，BD90，C70，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN的周長最小時，AMN+ANM的度數(shù)為（ ）A120 B130 C110 D1404如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是 5如圖，RtABC中，C90，B30，AB6，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)D在BC邊

7、上（不與點(diǎn)B、C重合），且EDAE，則線段AE的取值范圍是 6如圖，AOB30，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM1，ON3，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MPPQQN的最小值是_（注“勾股定理”：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即RtABC中，C90，則有）7如圖，三角形ABC中，OABAOB15，點(diǎn)B在x軸的正半軸，坐標(biāo)為B(，0)OC平分AOB，點(diǎn)M在OC的延長線上，點(diǎn)N為邊OA上的點(diǎn)，則MAMN的最小值是_8已知A（2，4）、B（4，2）C在軸上，D在軸上，則四邊形ABCD的周長最小值為 ，此時 C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 9已知A（1，1）、B（4，2）（1）P為軸上一動點(diǎn)，求PA+PB的最小值和此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）P為軸上一動點(diǎn)，求的值最大時P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）CD為軸上一條動線段，D在C點(diǎn)右邊且CD1，求當(dāng)AC+CD+DB的最小值和此時C點(diǎn)的坐標(biāo)；10點(diǎn)C為AOB內(nèi)一點(diǎn)（1）在OA求作點(diǎn)D，OB上求作點(diǎn)E，使CDE的周長最小，請畫出圖形； （2）在（1）的條件下，若AOB30，OC10，求CDE周長的最小值和此時DCE的度數(shù)11（1）如圖，ABD和ACE均為等邊三角形，BE、CE交于F，連AF，求證：AF+BF+CFCD；（2）在ABC中，ABC30，AB6，BC8，A，C均小于1