《等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計預(yù)案

1、等比數(shù)列教案設(shè)計預(yù)案在數(shù)學(xué)教案中，從概念的形成與深化，新知識的鞏固與應(yīng)用，學(xué)生思 維方法的訓(xùn)練與提高，以及學(xué)生應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力的增強，無不是圍繞 著“問題”展開。美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟。” 課堂問題的設(shè)計，應(yīng)竭力點燃學(xué)生思維的火花，激發(fā)他們的求知欲望， 并有意識地為他們解決問題提供橋梁和階梯，引導(dǎo)他們逐步掌握全新的知 識和能力。然而，并非所有的問題都能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，有些膚淺，平庸 的問題，再加上單調(diào)的問法，只能置學(xué)生于被動地位，抑制學(xué)生的思維活 動，與以開發(fā)學(xué)生智力為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育背道而弛。所以，課堂問題的優(yōu) 化設(shè)計，更重要是要優(yōu)化設(shè)計問題的標(biāo)準(zhǔn)和原則。（下面我的闡

2、述，均以高二第一學(xué)期第七章“等比數(shù)列”教案為背景）、問題要具有“開放性”。課堂問題的“開放性”，首先表現(xiàn)在問題來源的“開放”。問題應(yīng)具有一 定的現(xiàn)實意義，與現(xiàn)實社會、生活實際有著直接關(guān)系，這種對社會、生活 的“開放”，能夠使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的價值和開展“問題解決”的興趣。而 興趣乃是學(xué)生學(xué)習(xí)的強大的動力，是提高教案質(zhì)量的要素。因此教師要從 材料中選擇能引起學(xué)生興趣的熱點，富有新意，使學(xué)生喜聞樂答。比如本教材在“等比數(shù)列的前項和”這節(jié)課時，安排了這樣一個具有較強趣味性的問題引入?！耙合鄠饔《葒跷骼円剟顕H象棋發(fā)明者，問他有什么要求, 發(fā)明者說：“請在棋盤上的格中的第格放入粒麥粒，第格放入

3、粒麥粒，第格 放入粒麥粒，第格放入粒麥粒，依此類推，每一個格子放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的倍，直到放完個格子為止?！眹趿⒓创饝?yīng)了。問 國王將會給發(fā)明者多少粒麥粒？”每個孩子都喜歡故事，特別是歷史故事，即使高中生也不例外。這個 引例充分利用了學(xué)生的好奇心，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的主動性和積極性，從而有 利于知識的遷移，有利于他們明確知識的現(xiàn)實應(yīng)用。一開始，我先讓同學(xué)們利用前面所學(xué)知識計算了一下第個格子中的麥 粒數(shù)。而當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的前項和公式推導(dǎo)出來之后，回過頭來我又讓同學(xué)們 計算所有格子中的麥?？倲?shù)。同學(xué)們解決完這些問題后，發(fā)現(xiàn)這兩個問題 的答案遠(yuǎn)比他們想象中的要“可怕”的多。特別是當(dāng)我擺出這樣

4、一個事實“為=26-1。據(jù)查每千克小麥約萬粒，S64約1.84 1011噸。有資料記載，年 世界糧食總產(chǎn)量為2.25 109噸，因此S64相當(dāng)于那年世界糧食總產(chǎn)量的倍?！?這些事實對學(xué)生的沖擊力還是很強的，讓他們進(jìn)一步意識到數(shù)學(xué)可以幫助 他們更準(zhǔn)確的認(rèn)識客觀世界。同時，問題的“開放性”，還包括問題具有多種不同的解法，或者多種 可能的解答，打破“每一問題都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)解答”和“問題中所給的信 息都有用”的傳統(tǒng)觀念，這對于學(xué)生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極 為重要的意義。在“等比數(shù)列的前項和”這節(jié)課最后，我提出這樣問題：“已知等比數(shù)列的前項和為，前項和為，求這個數(shù)列的前項和?！焙芏嗤瑢W(xué)開始都走了

5、這樣一條路：由題得到!S5,即 一q000 =50! ai(1-q ) 50i-q進(jìn)一步解出ai和，最后利用ai和，求出Si5。“這種做法完全正確”，我對同學(xué)們的做法予以了充分肯定。但同時指出它的缺陷在于中間的計算相對較 為繁雜，得到的數(shù)據(jù)也沒有那么“齊整”，比較易錯。而后我讓同學(xué)思考還有沒有其他解法，同時做了一定的“引導(dǎo)”。我把“ Si5=a! a2 a6 a 盹 ”在黑板上一寫，請同學(xué)觀察a6 和an三者之間的關(guān)系，同學(xué)很快回答說“成等比”，于是我在黑板上寫上 色二也=q5。然后請同學(xué)繼續(xù)觀察a?、a7和牝，得到去二並詁5。以此類推,a-ia? a7同學(xué)得到a6 a7 a8 a9 a-。a

6、- a-? a-3 a-4 a-5aa?8384a 5比a7a$a?a-。S5S-5 -So _ S5顯然可以很方便的得到S5解決完這個問題后，我鼓勵同學(xué)們繼續(xù)努力，舉一反三，去探索解決 “ Sm,S2m忌- EmQm - Ssm,是否依然成等比？ ”這個問題。到此，同學(xué)深刻的體會到數(shù)學(xué)問題的解決，并沒有一成不變的方法， 解放自己的思想，開拓自己的思維，可以讓問題的解決過程“更精彩”、問題要有啟發(fā)性和可發(fā)展空間。課堂問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對于 這些問題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的 某種運用很快地得到解決。課堂問題的可發(fā)展空間是說問題并不

7、一定在找 到解答時就會結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對原問題的各部分作種種變 化，由此可以引出新的問題和進(jìn)一步的結(jié)論。問題的發(fā)展性可以把問題延 伸、拓廣、擴充到一般情形或其他特殊情形，它將給學(xué)生一個充分自由思 考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。正如美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞所說“我們 這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見比如推導(dǎo)等比數(shù)列前項和公式時，介紹完教科書上的“錯位相減法”后，我鼓勵同學(xué)去探求其他的推導(dǎo)方法。為此我設(shè)計了一系列問題：“同學(xué)們，實際上，等比數(shù)列的前項和公式的推導(dǎo)還有其他方法，你 們可以在思考一下?！保ńo出明確的信息“還有其他方法”，強化他們繼續(xù)探 索的信心。

8、）“同學(xué)們再仔細(xì)觀察Sn = ai aiq yq? | ad這個式子，如果我將這個 式子做這樣的一個變化”。（同時原式后補“二ai q（ai ag 叩？ | aR） ”， 再在“ ai+ag+邛2+j|+qq2 ”下用紅筆畫條線。）“你們看這紅線部分其實是什么？”（馬上有同學(xué)回答說就是SnJ，于是我在前面的式子繼續(xù)接著寫上“ ai qSnj ”。）“那我們現(xiàn)在求什么？” （同學(xué)回答說是“ Sn ”）“那Sn怎么辦？”（接著徹底放手讓學(xué)生自己去解決后面的問題。）（于是我們的同學(xué)很快找到了這種推導(dǎo)方法的后續(xù)步驟：）“ ai qSnx ai - q（San）即，（i-q）Sn =ai -qan當(dāng) q

9、時，。i-q當(dāng) q 時，ai=a2=|l（=an，則 & =nai?！薄俺藙僮窊簟保夜膭钔瑢W(xué)們繼續(xù)探求其它的推導(dǎo)方法。同時給出一定的提示：“充分利用等比數(shù)列的定義 電二邑 乩二q，再結(jié)合比例的性質(zhì) ai a2an 斗和上一種解法”同學(xué)們興致變得異常高漲，很快在大家的熱烈討論和積極思考下，得由等比數(shù)列的定義，得到了等比數(shù)列前項和公式的另一種推導(dǎo)方法:更=空 亞勺，運用比例的性質(zhì)，得 ai a2an_ja? +玄 + 川+% =q，即 &=q4 * a2 * | I ( * anSn - an當(dāng) q時，Sn- n ；1-q當(dāng) q =1 時，ai = a2 = 11 ( = a*，則 Sn 二 n

10、a 。至此，同學(xué)的聰明才智得到充分的調(diào)動。、問題要有目的性。課堂問題要能直觀的體現(xiàn)教案想要達(dá)到的目的，設(shè)計的內(nèi)容要有針對 性結(jié)合教案內(nèi)容，針對教案的重點、難點，有助于學(xué)生對知識的理解和掌 握。同時所設(shè)計的問題必須準(zhǔn)確、清楚，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，適應(yīng)學(xué)生 已有的認(rèn)知水平，切忌含糊不清、模棱兩可。教案如果不掌握重點，就不 會有真正的教案質(zhì)量。因此，課堂問題的設(shè)計尤為重要。在“等比數(shù)列的前項和”這節(jié)課中，在引導(dǎo)同學(xué)推導(dǎo)出等比數(shù)列前項 和公式后，我馬上讓同學(xué)完成教科書上的例，迅速鞏固對這個公式的基本 運用。（附例：求下列等比數(shù)列的各項的和：（）1丄；（）2 4 8 1 627 - 9,31,丄。）24

11、3但很明顯這個公式在實際應(yīng)用的時候有一個最大的易錯點一那就是同學(xué)容易忽略在運用公式前必須先判別該數(shù)列公比是否為。而這在前面的例 a - a3 - a5 a2nl?！敝胁]有體現(xiàn)出來。所以我就安排了這樣一道例題:已知a 0，求拿到這道題很多同學(xué)是這么做的：“解：由題知a a3 a5 甘心二吐叮?！? -a顯然此解法，忽視了應(yīng)對此題中的a進(jìn)行分類討論，分a=1和a = 1兩種 情況來解決。雖然只是一次失敗的經(jīng)歷，但同學(xué)得到應(yīng)有的“教訓(xùn)” ，迅速 強化掌握了運用等比數(shù)列前項和公式時的這個注意點。在“等比中項”這個內(nèi)容的教案時，為了強化同學(xué)對等比數(shù)列的“奇 數(shù)項同號、偶數(shù)項同號”這個特點的認(rèn)識，我安排了這樣一個問題：“在等比數(shù)列中：an:中，已知ai = 1， a5 = 9，求a3?！币驗閯倓傊v過等比中項的概念，所以很多同學(xué)馬上看出a3是a1和a5的等 比中項，于是得到了 “： a32 1 a5 =9,. a_3”。正好掉入“預(yù)先挖好的陷阱”。 大家都說“吃