差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用(應(yīng)用數(shù)學(xué)

1、本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì)) 論文題目： 差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 學(xué)生姓名： 雷晶 學(xué) 號(hào)： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 數(shù)學(xué)1002班 指導(dǎo)老師： 舒蕊艷 完成日期：2014年5月20日差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用內(nèi)容摘要本文敘述了研究差分方程的意義和背景、差分方程的定義、常見的解法以及差分方程相關(guān)模型,重點(diǎn)介紹差分方程經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用模型籌措教育經(jīng)費(fèi)模型,包括問題的提出、模型舉例和分析、提出假設(shè)、模型建立、模型求解、結(jié)果分析等等步驟對(duì)模型進(jìn)行了更深層次的分析,做了進(jìn)一步的推廣.本文所介紹的籌措教育經(jīng)費(fèi)模型主要研究的是子女的教育費(fèi)用,假定某家庭從孩子m歲起,每月拿出一部分錢存進(jìn)銀行,用于投資子女

2、的大學(xué)教育,并計(jì)劃n年后支出一些,直到孩子大學(xué)畢業(yè),全部用完賬戶中的資金.差分方程的理論研究近十年來發(fā)展十分迅速,尤其是在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,幫助人們解決了很多實(shí)際問題,籌措教育經(jīng)費(fèi)模型的建立為廣大中國(guó)家庭子女教育的費(fèi)用問題提供了明確的解決方法,是差分方程理論最貼近實(shí)際的模型之一.關(guān)鍵詞：差分方程 存款模型 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型 籌措教育經(jīng)費(fèi)模型The Application of Differential Equations in EconomicsAbstractThis paper is about the significance, background and definition of differ

3、ential equations. It also describes the common solutions and some related models of differential euqations. The paper focuses on the differential equations in economics model- raising educational funds model which includes proposing questions, the model for example and analysis, putting forword the

4、hypothesis, building and solving the model, analysing the result and so on. And this paper makes a deeper analysing of the model and does the futher promotion.The main aspect of the raising educational funds model in this paper is childrens education expenses. Here comes the hypothesis, assuming tha

5、t the family puts some money in the bank for investment in their childrens college education from their childrens m years old and plans to spend some after n years until the children graduated from college, run out of all the funds in the account.Researching on the theory of differential equations i

6、n past decade developes very quickly, especially in the economic field. It helps people a lot in solving many practical problems. The building of raising educational funds model which is one of the most close model to reality provides a clear solution to the cost of childrens education for the major

7、ity of Chinese family. Key word:Differential equations Deposit model Economic-gain model Raising educational funds model 目 錄一、緒論1（1） 研究差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用的目的意義1（2） 研究背景2二、研究的理論基礎(chǔ)2（1） 差分2（二）差分方程3 （三）差分方程的解4（四）特征根法4三、差分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用模型簡(jiǎn)介5（一）貸款模型5（二）存款模型6（三）乘數(shù)-加速數(shù)模型 7（四）哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型10（五）投入產(chǎn)出模型 11（六）籌措教育經(jīng)費(fèi)模型 124、 總結(jié)

8、14參考文獻(xiàn) 16序言數(shù)學(xué)這一學(xué)科從建立到現(xiàn)在,發(fā)展迅速,在人們的生活中也得到了越來越多的應(yīng)用,人們把數(shù)學(xué)理論與生活實(shí)際相結(jié)合,這樣的做法不僅解決了實(shí)際問題,也更加豐富了數(shù)學(xué)理論.差分方程是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用最廣泛的部分之一,它在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用效果最為顯著.本文先描述了差分方程的理論,然后對(duì)應(yīng)用廣泛的幾個(gè)差分方程經(jīng)濟(jì)模型做了簡(jiǎn)單介紹,最后重點(diǎn)介紹了籌措教育經(jīng)費(fèi)模型,這是差分方程在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域最貼近實(shí)際生活的一個(gè)模型之一,從問題的描述出發(fā),到模型建立、求解,最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析和推廣.研究差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,不僅能幫助解決生活中的經(jīng)濟(jì)問題,反過來更能進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)理論.所以,研究差分方程的應(yīng)用,在

9、實(shí)際生活當(dāng)中具有重要的意義.一、 緒論 （一）研究差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用的目的和意義數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)性學(xué)科在不斷發(fā)展,在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中所起的作用也日益突出.數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ),經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也不例外,要發(fā)展經(jīng)濟(jì)就要研究經(jīng)濟(jì)理論,掌握經(jīng)濟(jì)規(guī)律,預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的趨勢(shì),這些都離不開數(shù)學(xué)這一工具.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的變量有三種類型,自變量和因變量、存量和流量、內(nèi)生變量和外生變量,經(jīng)濟(jì)模型是研究經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系的,在其中加入數(shù)學(xué)元素,使得問題的描述簡(jiǎn)潔清楚、語言嚴(yán)密精確.在研究過程中通過參考已有的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)定理有利于新結(jié)果的產(chǎn)生,可得到精準(zhǔn)的結(jié)論.經(jīng)濟(jì)模型1是研究分析經(jīng)濟(jì)變量關(guān)系的一個(gè)重要工具,連接了經(jīng)

10、濟(jì)理論和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí),也讓數(shù)學(xué)理論得到更加廣泛的應(yīng)用.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型具體來說,是在經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo)下,通過建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過程,把研究對(duì)象簡(jiǎn)單化,轉(zhuǎn)化為本質(zhì)同一的對(duì)象,使研究對(duì)象具有代表性,以一代全,實(shí)際操作起來更加方便,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的簡(jiǎn)化.故對(duì)于變量數(shù)量繁多,而且變量之間的關(guān)系復(fù)雜多變的經(jīng)濟(jì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析研究,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型不可或缺.在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型中,差分方程的應(yīng)用非常廣泛,人們建立了一系列以差分方程理論為核心的一系經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)模型,如市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型、養(yǎng)老保險(xiǎn)模型以及籌措教育經(jīng)費(fèi)模型等等,相應(yīng)模型的建立也就解決了相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的問題,如市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型的研究就是基于自由競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)

11、中的供需變化與價(jià)格變化的循環(huán)現(xiàn)象,籌措教育經(jīng)費(fèi)模型則是站在一個(gè)理性角度,定量研究某家庭投資子女教育所需的費(fèi)用.其實(shí),總結(jié)一下,不難發(fā)現(xiàn),以上的模型都是關(guān)于離散變量的規(guī)律、性質(zhì)問題,只要判斷出要研究的問題具有這類共同點(diǎn),就可以考慮用差分方程模型來分析求解問題.差分方程其實(shí)與微分方程有些許相似,差分方程是含有未知函數(shù)及其差分的函數(shù)方程,微分方程是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程,差分方程是微分方程的離散化.差分方程反映的是離散變量的取值規(guī)律.整個(gè)模型研究過程是通過建立離散變量取值所滿足的平衡關(guān)系,從而建立起差分方程.建立差分方程模型,不僅可以從定性角度為社會(huì)問題的解決提供思路,還從定量的角度解決了實(shí)際問題

12、.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,差分方程的應(yīng)用使得實(shí)證研究更加系統(tǒng)化、規(guī)范化,精確的數(shù)學(xué)方法讓廣大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性結(jié)論.在得到結(jié)論的同時(shí),也方便對(duì)未來的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)和發(fā)展情況作出較為精確預(yù)測(cè),這對(duì)于個(gè)人的理財(cái)和國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展無疑起到了非常重大的作用.舉個(gè)例子,市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型主要是研究在自由市場(chǎng)上的一種現(xiàn)象：商品的供給大于需求時(shí),銷售不暢會(huì)導(dǎo)致價(jià)格的大幅下跌,而價(jià)格的下降又會(huì)使得商品的供給量下降,因此價(jià)格又會(huì)上升,如果沒有干預(yù),會(huì)如此的往復(fù).人們利用差分方程的知識(shí)對(duì)此過程進(jìn)行研究,又發(fā)現(xiàn)在圖像中,商品產(chǎn)量和價(jià)格的圖形軌跡類似于蜘蛛網(wǎng)狀,于是便有了差分方程的蛛網(wǎng)模型的誕生.對(duì)于政府來說,

13、也會(huì)更加方便,便于及時(shí)地進(jìn)行經(jīng)濟(jì)干預(yù).中國(guó)的社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制強(qiáng)調(diào)的是以市場(chǎng)和計(jì)劃兩種手段來調(diào)配社會(huì)資源,市場(chǎng)為主,計(jì)劃為輔,蛛網(wǎng)模型的建立,把市場(chǎng)調(diào)配資源的整個(gè)過程體現(xiàn)了出來,同時(shí)也讓政府可以更有計(jì)劃性、更有目的性地來干預(yù)經(jīng)濟(jì),經(jīng)濟(jì)調(diào)控的效果也會(huì)更好.所以,研究差分方程,對(duì)于數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和實(shí)際生活都具有十分重大的意義. （二）研究背景 應(yīng)用差分方程的知識(shí),建立經(jīng)濟(jì)模型,解決經(jīng)濟(jì)學(xué)的問題是要針對(duì)目標(biāo)問題,確定離散變量,根據(jù)實(shí)際,建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系式,從而建立差分方程.通過求出方程的解和對(duì)解的分析,把握這個(gè)離散變量變化的規(guī)律,并進(jìn)一步結(jié)合其他的分析,得出原問題的解.差分方程的研究歷

14、史比較短暫,真正開始于上個(gè)世紀(jì)90年代,發(fā)展迅速,且成果顯著,在國(guó)內(nèi)外一直都是數(shù)學(xué)學(xué)者們的研究熱點(diǎn).在國(guó)內(nèi),很多學(xué)者也在這一領(lǐng)域辛勤工作著,懷化學(xué)院的數(shù)學(xué)系主任魏耿平就是代表人物之一,他的論文發(fā)表在國(guó)內(nèi)外許多著名的期刊雜志上,如美國(guó)的SCI源刊、國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)等.在國(guó)外,隨著差分方程理論的快速發(fā)展,國(guó)際上出現(xiàn)了一種專業(yè)性的差分方程的期刊,它的名稱叫做journal of difference equations and applications,能在這樣一個(gè)國(guó)際性的期刊上發(fā)表學(xué)術(shù)成果,對(duì)個(gè)人的研究成果是一種很大的肯定,同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是具有非常大的意義的.這一專業(yè)期刊雜志的出現(xiàn)更加推動(dòng)了差

15、分方程理論在競(jìng)爭(zhēng)中的不斷發(fā)展,以及差分方程在實(shí)際中應(yīng)用的進(jìn)程,差分方程眾多優(yōu)秀的研究成果也有了展示的平臺(tái).如今,隨著人們對(duì)知識(shí)產(chǎn)權(quán)的重視程度的提高,中國(guó)國(guó)內(nèi)的學(xué)術(shù)氛圍更加濃厚,個(gè)人對(duì)于這方面的保護(hù)意識(shí)也越來越強(qiáng).這樣越來越好的氛圍有利于國(guó)內(nèi)各領(lǐng)域內(nèi)的學(xué)者們的研究工作的進(jìn)行,也會(huì)推進(jìn)數(shù)學(xué)理論的進(jìn)程.在這樣一個(gè)良好的氣氛之下,相信差分方程理論的發(fā)展會(huì)越快越好,同時(shí)它對(duì)中國(guó)經(jīng)濟(jì)的繁榮發(fā)展也會(huì)起到更加強(qiáng)大的推動(dòng)作用和理論指導(dǎo)作用.二、 研究的理論基礎(chǔ) （一）差分2設(shè)定義在整數(shù)集上的函數(shù)： 則函數(shù)的一階差分定義為： .函數(shù)的二階差分定義為一階差分的差分,即： .由差分四則運(yùn)算法則之中的：,可得： .以此

16、類推，階差分就可以定義為階差分的差分,即：其中,.例1、設(shè),求和.解： , . （二）差分方程2 定義1：含有未知函數(shù)及其差分的函數(shù)方程成為差分方程.形式：. 定義2：含有未知函數(shù)兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)值的等式,稱為常差分方程. 形式：. 在差分方程出現(xiàn)的未知函數(shù)下標(biāo)的最大差稱為該差分方程的階.根據(jù)定義,階差分方程的一般形式為： ,其中，是自變量,是未知函數(shù).例如,方程是二階差分方程.注意,方程是一階差分方程. （三）差分方程的解5如果將函數(shù)代入差分方程后,使其稱為恒等式,則稱此函數(shù)該差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常數(shù),且所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該差分

17、方程的通解,由于通解中含有任意常數(shù),所以在應(yīng)用時(shí),還需要確定這些常數(shù)的條件.這種條件稱為定解條件.由定解條件確定了通解中的所有任意常數(shù)后所得到的解稱為特解.對(duì)階差分方程，常見的定解條件是初始條件： 其中,都是已知常數(shù).例2、驗(yàn)證是差分方程的通解.解：將代入差分方程中,得：左邊=右邊等式成立,故是所給差分方程的解.又因?yàn)槠渲泻幸粋€(gè)任意常數(shù),且給定的差分方程是一階方程,所以,此解為通解.（四）特征根法5一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式如下： （2-1）這類方程的解法通常有兩種,迭代法和特征根法,在這里介紹的是在差分方程模型中經(jīng)常用到的特征根法.原一階常系數(shù)齊次線性差分方程,等價(jià)于,可以看出的

18、形式一定是某個(gè)指數(shù)函數(shù).于是,假設(shè),代入方程,可得： , （2-2）稱方程（2-2）為齊次方程（2-1）的特征方程,解之得： ,是特征方程的根（簡(jiǎn)稱特征根）.于是是齊次方程（2-1）的一個(gè)解,從而有：（為任意常數(shù)）.是齊次方程的通解.例3、求方程的通解.解：原方程的特征方程為：,解之得：, 于是,原方程的通解為：. 三、差分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用模型簡(jiǎn)介差分方程模型在解決實(shí)際問題是,一般步驟如下：第一步,先要檢驗(yàn)變量是否符合差分方程的理論條件,并進(jìn)一步分析實(shí)際問題,設(shè)定好實(shí)際問題中的未知函數(shù),建立差分方程,提出初始條件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根據(jù)之前設(shè)定的初始條件求出特解;第三步,用所得

19、出的解給實(shí)際問題一個(gè)答復(fù),并結(jié)合實(shí)際進(jìn)行分析.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的差分方程模型很多,下面簡(jiǎn)單介紹幾個(gè)差分方程應(yīng)用較廣泛的經(jīng)濟(jì)模型.有與個(gè)人日常生活中理財(cái)相關(guān)的,也有與國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)相關(guān)的.（一）貸款模型 貸款這是老百姓生活中常見的一種現(xiàn)象,現(xiàn)在,不管是買房、買車,甚至是大學(xué)教育都已經(jīng)開始流行貸款.買房、買車是一個(gè)人的一生中的重頭消費(fèi)項(xiàng),在存款不足的情況下,可以幫助實(shí)現(xiàn)自己的房子、車子夢(mèng).一般是先支付部分款項(xiàng),再通過銀行貸款付清余額.首先以買房為例介紹貸款模型,假設(shè)某房屋總價(jià)為元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通過銀行貸款來付清,年利率為,需要年付清,利用差分方程的知識(shí)就可以計(jì)算出平均每月需要付多少錢

20、,以及總共需要付的利息.具體求解的過程如下：實(shí)際在買房時(shí),所需的首付款是房款全額的40%-60%不等,假設(shè)首付款為房款全額的40%,貸款總額為元.假設(shè)每月應(yīng)付元,總共需要支付的利息為元,月利率為,即得到： 第一個(gè)月的應(yīng)付利息為：,第二個(gè)月的應(yīng)付利息為：,由此類推,可以得到：,上式是一個(gè)一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對(duì)應(yīng)的齊次方程：,的通解,再求原方程的一個(gè)特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以計(jì)算出每月需要支付的錢,即： , （2-3）總共需要支付的利息為： . （2-4）如下表,表2-1,是中國(guó)人民銀行最新調(diào)整后的金融機(jī)構(gòu)人民幣貸款基準(zhǔn)利率表：金融機(jī)構(gòu)人民幣貸款基準(zhǔn)利率2010

21、.07.06六個(gè)月以內(nèi)（含六個(gè)月）5.60六個(gè)月至一年（含一年）6.00一年至三年（含三年）6.15三年至五年（含五年）6.40五年以上6.55一般房貸或車貸都會(huì)在五年以上,所以采用6.55%的貸款利率,假設(shè)現(xiàn)在某人要買一棟全款為一百萬元,貸款60萬,在10年內(nèi)還清,由（2-3）和（2-4）式,每月應(yīng)支付的金額為：,總共所需支付的利息為：. 現(xiàn)實(shí)生活中,個(gè)人買房的實(shí)際情況不同,房子的具體地段、戶型、大小面積、樓層等等有差異,所需支付的首付款數(shù)額也必然不同,在了解了這個(gè)模型后,只需帶入相應(yīng)字母所代表的數(shù)據(jù),并相應(yīng)地代入首付款金額,就可以很方便地計(jì)算出貸款的利息等數(shù)據(jù),個(gè)人在還款的同時(shí),心里也會(huì)有

22、個(gè)底.（二）存款模型存款,同樣也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的數(shù)學(xué)知識(shí)的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存錢的時(shí)機(jī),也可以更好地樹立理財(cái)?shù)挠^念.存款是中國(guó)人比較傳統(tǒng)的一種理財(cái)方式,因?yàn)殂y行存款利率的變化,如果想要獲得更好的收益,就要掌握一定的數(shù)學(xué)知識(shí),這樣才能更準(zhǔn)確地判斷存款時(shí)機(jī),獲得更好地收益.先用字母代替具體數(shù)字,假設(shè)為最初存入銀行的資金總額,為時(shí)期的存款總額,為存款利率,按年復(fù)利計(jì)息,就可以得到與之間的關(guān)系,得到一個(gè)一階常系數(shù)齊次線性方程：求解方程,原方程的特征方程為：,解之得：,所以,原差分方程的通解如下： , 即：時(shí)期取款所獲取的收益為：.如果要存款來獲取收

23、益,可以通過（2-5）式來得出最后的收益情況;如果在生活中需要貸款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）兩個(gè)式子大致計(jì)算出每月所需支付的資金,以及所需支付的全部利息,不會(huì)發(fā)生在銀行貸款時(shí)理不清楚的現(xiàn)象,也有利于自己管理自己的財(cái)產(chǎn).根據(jù)中國(guó)人民銀行最新發(fā)布的金融機(jī)構(gòu)人民幣存款基準(zhǔn)利率調(diào)整表,表2-2：金融機(jī)構(gòu)人民幣存款基準(zhǔn)利率2012.07.06活期存款0.35三個(gè)月2.60半年2.80一年3.00二年3.75三年4.25五年4.75 活期存款利率為0.35%,若最初存進(jìn)銀行的金額是元,第3年的收益為：.按照最長(zhǎng)的5年的定期存款利率4.75%來計(jì)算，假設(shè)最初的存款，第5年的收益為：.存款作為中國(guó)

24、老百姓傳統(tǒng)的理財(cái)方式,雖然已經(jīng)不多見了,但平時(shí)生活中留有存款,也可以應(yīng)對(duì)老人生病等突發(fā)的狀況.平時(shí)留有一定數(shù)額的存款還是有不少作用的,對(duì)存款利率的了解是很重要的.（三）乘數(shù)-加速數(shù)模型4差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用除了與實(shí)際生活聯(lián)系密切的模型之外,也有關(guān)于宏觀經(jīng)濟(jì)方面的模型,比如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型等.對(duì)于一個(gè)國(guó)家來說,經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)十分重要,持續(xù)穩(wěn)定增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)會(huì)給人民帶來更多的福祉.所以,第三個(gè)模型介紹的是由薩繆爾森提出的乘數(shù)-加速數(shù)模型,它是屬于典型的凱恩斯主義.在介紹乘數(shù)-加速數(shù)模型之前,首先應(yīng)明確本模型中所涉及的兩個(gè)經(jīng)濟(jì)原理,乘數(shù)原理和加速原理.乘數(shù)原理說明了投資變動(dòng)對(duì)國(guó)民收入變動(dòng)的影響,而加速原理說

25、明了國(guó)民收入的變動(dòng)對(duì)投資變動(dòng)的影響.乘數(shù)-加速數(shù)模型就是二者結(jié)合起來對(duì)經(jīng)濟(jì)周期的影響.假設(shè)為資本存量,為產(chǎn)量水平,代表資本-產(chǎn)量比率,有：,一般情況下,資本-產(chǎn)量比.時(shí)期的和的關(guān)系可表示為：,從時(shí)期到時(shí)期,資本存量的增加量是.資本的增加需要投資的增加,記是時(shí)期的投資凈額,則有：,由,可以推導(dǎo)出： . （2-6）上式表明,在資本-產(chǎn)量的比率保持不變的情況下,時(shí)期的凈投資額決定于到時(shí)期的產(chǎn)量的變動(dòng)量,被稱為加速數(shù).由于生產(chǎn)過程中難以避免機(jī)器的磨損等,就會(huì)導(dǎo)致重置投資,將其視為折舊,與凈投資額組成了總投資,則（2-6）式就變成了：時(shí)期的投資總額時(shí)期的折舊,所以，可以得到產(chǎn)量水平與投資支出之間的關(guān)系.

26、加速數(shù)為大于1，資本存量的增加必須要超過產(chǎn)量的增加.前提是資本存量充分利用. 薩繆爾森的乘數(shù)-加速數(shù)模型基本方程如下： , （2-7） （2-8） , （2-9）其中,是國(guó)民收入,是消費(fèi)額,是政府的購(gòu)買.假定政府購(gòu)買是常數(shù),.求解方程：將（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：,化簡(jiǎn)后,有：,得出特征方程：,求解特征方程,是一個(gè)一元二次方程，由：,因?yàn)橹涤锌赡艽笥?等于0,或小于0,故對(duì)應(yīng)的不同取值,解有三種情況. 故,化簡(jiǎn)之后的方程：,通解為： , , ,其中,由此得到國(guó)民收入的計(jì)算公式,代入原方程就可以計(jì)算出本期消費(fèi),本期私人投資.假設(shè)邊際消費(fèi)傾向,加速數(shù),政府每期開支相同,從上期國(guó)

27、民收入中來的本期消費(fèi)為零,那么,投資當(dāng)然也是零,故,代入數(shù)據(jù)后,總結(jié)如下表2-3：時(shí)期 政府購(gòu)買本期消費(fèi)本期私人投資 國(guó)民收入總 額變動(dòng)趨勢(shì)11.000.000.001.00-21.000.500.502.00復(fù)蘇31.001.000.502.50繁榮41.001.250.252.50繁榮51.001.250.002.25衰退61.001.125-0.1252.00衰退71.001.00-0.1251.875蕭條81.000.9375-0.06251.875蕭條91.000.93750.001.9375復(fù)蘇101.000.968750.031252.00復(fù)蘇111.001.000.031252

28、.03125繁榮121.001.0.2.03125繁榮131.001.0.002.衰退141.001.-0.2.00衰退此模型模型集合了兩種經(jīng)濟(jì)原理,對(duì)經(jīng)濟(jì)周期的分析更注重外部的因素,投資影響收入和消費(fèi),消費(fèi)和收入反過來也會(huì)影響投資,從而形成經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張或收縮的局面,這是西方學(xué)者的對(duì)經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的一種解釋.政府對(duì)經(jīng)濟(jì)進(jìn)行干預(yù),就可以改變或緩和經(jīng)濟(jì)波動(dòng).采取適當(dāng)政策刺激投資,鼓勵(lì)提高勞動(dòng)生產(chǎn)效率,就可以提高加速數(shù),就可緩和經(jīng)濟(jì)蕭條.（四）哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型6 宏觀經(jīng)濟(jì)中的差分方程模型除了上述的薩繆爾森的乘數(shù)-加速數(shù)模型,還有另外一種經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型,就是由哈羅德和多馬共同提出的哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型

29、,同樣也是凱恩斯理論的典型.這個(gè)模型與乘數(shù)-加速數(shù)模型的結(jié)論不同,它認(rèn)為,經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)是不穩(wěn)定的.具體的模型描述如下：假設(shè),為時(shí)期的儲(chǔ)蓄額,為時(shí)期的國(guó)民收入,則是時(shí)期的投資額,邊際儲(chǔ)蓄傾向用表示,與乘數(shù)-加速數(shù)模型一樣,假定加速數(shù)保持不變.都是常數(shù).哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的方程如下：, , ,化簡(jiǎn)方程,得到：,可得到特征方程：,解之得：,故原方程的通解：.其中,是常數(shù),指的就是要保證所有儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)化為投資的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率,經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為保證增長(zhǎng)率.保證增長(zhǎng)率中,是加速數(shù),一般是假定不變的,是邊際儲(chǔ)蓄傾向,表示的是國(guó)民收入每增加一個(gè)單位,儲(chǔ)蓄會(huì)增加的程度.依據(jù)哈羅德-多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型,如果可以保證時(shí)期的儲(chǔ)

30、蓄額和投資保持平衡,儲(chǔ)蓄額可以得到充分的利用,那么國(guó)民收入就會(huì)按照保證增長(zhǎng)率增長(zhǎng).但在實(shí)際中,儲(chǔ)蓄與投資之間的完全轉(zhuǎn)化是難以實(shí)現(xiàn)的,因此會(huì)造成經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng)不穩(wěn)定的狀況,就會(huì)得到相應(yīng)的結(jié)論.（五）投入產(chǎn)出模型8如果說上述的兩個(gè)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型是對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)速度的深刻闡述,那么最后要介紹的投入產(chǎn)出模型,則是更進(jìn)一步的對(duì)結(jié)果的探究.投入產(chǎn)出模型,是一種定量分析并衡量經(jīng)濟(jì)效益的模型,可以為國(guó)家經(jīng)濟(jì)政策的制定提供依據(jù).從事某一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之前會(huì)有成本的投入,如人力、財(cái)力等,經(jīng)濟(jì)活動(dòng)結(jié)束后會(huì)有一定的收益,投入產(chǎn)出模型的提出,就是將投入與產(chǎn)出量化,用數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行宏觀經(jīng)濟(jì)的核算,并經(jīng)過合理的分析后,采取一定的措施,調(diào)

31、控成本,提高國(guó)家經(jīng)濟(jì)效益.此模型誕生在美國(guó),由著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂捷夫提出,是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的重要組成之一.我們?cè)谶@里介紹的是靜態(tài)投入產(chǎn)出模型,是對(duì)一個(gè)時(shí)期的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的計(jì)劃投入、計(jì)劃收入以及對(duì)應(yīng)的實(shí)際收入進(jìn)行計(jì)算.具體如下：假設(shè),時(shí)期初,國(guó)家計(jì)劃投資額,對(duì)應(yīng)的實(shí)際投資,計(jì)劃消費(fèi),對(duì)應(yīng)實(shí)際的消費(fèi)是,計(jì)劃的收入,對(duì)應(yīng)實(shí)際的收入是,假定計(jì)劃消費(fèi)可以實(shí)現(xiàn),且計(jì)劃投資與實(shí)際投資相等,則有：,也有： , （2-10）實(shí)際的收入是這樣計(jì)算的,假定為實(shí)際的儲(chǔ)蓄額,則有： , （2-11）由（2-10）和（2-11）兩式可得：,即,實(shí)際的投資額與實(shí)際儲(chǔ)蓄額相等,但計(jì)劃儲(chǔ)蓄與實(shí)際儲(chǔ)蓄是不等的,所以,計(jì)劃投資額與計(jì)劃儲(chǔ)蓄

32、不等.一般本期計(jì)劃消費(fèi)是根據(jù)上一期的收入和消費(fèi)額指定的,上期的收入與本期的計(jì)劃消費(fèi)是有函數(shù)關(guān)系的,假定計(jì)劃消費(fèi)是上期收入的一次線性函數(shù),故有： , 其中,是邊際消費(fèi)傾向,一般情況下,是常數(shù),代表基本生活消費(fèi).將上式代入（2-10）中,可以得到如下的一階常系數(shù)線性差分方程：,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程為：,解之得：,故,原差分方程的通解為：.若已知基本的消費(fèi)和計(jì)劃投資（前提假定計(jì)劃投資與實(shí)際投資相等）,就可以計(jì)算出實(shí)際的收入.差分方程的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止上述的這些日常生活中的理財(cái)行為,以及宏觀經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用,它的應(yīng)用也遠(yuǎn)不止經(jīng)濟(jì)學(xué)這一個(gè)領(lǐng)域,它對(duì)我們生活的影響可大可小,可以幫助我們更好地規(guī)劃

33、生活,這也體現(xiàn)了以差分方程為代表的數(shù)學(xué)理論知識(shí),在實(shí)踐中的巨大作用.（六）籌措教育經(jīng)費(fèi)模型 1、問題描述中國(guó)整體的國(guó)民收入水平在改革開放之后大大提高,但由于傳統(tǒng)觀念的影響,老百姓的理財(cái)意識(shí)并不強(qiáng),一般家庭的消費(fèi)支出并不高,人們總是習(xí)慣于把錢存入銀行或信用社,但有一個(gè)共同的大的消費(fèi)支出是不可避免的,就是子女的教育經(jīng)費(fèi)支出.在一個(gè)小孩上大學(xué)之前,從小學(xué)到高中是義務(wù)教育階段,國(guó)家會(huì)承擔(dān)多數(shù)的教育費(fèi)用,這時(shí)候家庭負(fù)擔(dān)較輕,不會(huì)造成經(jīng)濟(jì)壓力.但到了大學(xué)階段,學(xué)費(fèi)數(shù)額一下子上升,一般的中國(guó)家庭經(jīng)濟(jì)壓力就會(huì)加大.為了解決老百姓的這個(gè)問題,國(guó)家也有了很多的優(yōu)惠政策,如生源地助學(xué)貸款、學(xué)校方面所提供的助學(xué)貸款、

34、貧困助學(xué)金等.對(duì)此,還是有很多父母不愿孩子在進(jìn)入社會(huì)之初就背負(fù)經(jīng)濟(jì)上的壓力,想要讓孩子輕裝上陣,于是就想有計(jì)劃地存款,為孩子以后的高等教育做準(zhǔn)備.那么,假如某家庭從孩子出生時(shí)就開始準(zhǔn)備存款,每個(gè)月從工資中拿出一部分資金,存入銀行賬戶,用于投資子女以后的高等教育,并計(jì)劃在20年后開始從該賬戶中每月支取固定的數(shù)額元,直到子女完成學(xué)業(yè),并且在5年內(nèi)要用完全部資金,要實(shí)現(xiàn)這個(gè)投資目標(biāo),20年后共要籌措多少資金?每月要向銀行存入多少錢? 2、問題分析 此問題可以分成兩個(gè)階段,第一階段是在前面20年,每月向銀行存入一筆數(shù)額固定的資金,第二階段,是在20年后將所有資金用于子女的教育,每月支取元,因?yàn)榇髮W(xué)的學(xué)

35、制一般是4年,少數(shù)專業(yè)如機(jī)械類,學(xué)制為五年,所以假定要在5年內(nèi)用完該賬戶上的資金. 3、建立模型首先,假設(shè)從一開始到20年內(nèi)總共要籌措元資金,第個(gè)月向銀行存款賬戶存入了元,每月存入資金元,同時(shí),設(shè)20年后第個(gè)月銀行賬戶里有元.（假設(shè)月利率為）所以,采用逆向思維,從該賬戶設(shè)立20年后開始,每月從該賬戶支取固定數(shù)額元,且5年內(nèi)用完,賬戶里的錢開始逐年遞減,則關(guān)于的差分方程為：,因?yàn)槭?年內(nèi)取完前20年存入的元,共有120個(gè)月的時(shí)間,故，.在已知月利率和每月支取金額的前提下,就可以計(jì)算出前20年總共存款的數(shù)額.現(xiàn)暫時(shí)繼續(xù)用表示,以向前推算每月應(yīng)該存款的金額.從開始存錢到20年內(nèi),滿足的差分方程為：,

36、因?yàn)樵阢y行存錢的時(shí)間長(zhǎng)度為20年,共240個(gè)月的時(shí)間,故,.若在具體的月利率下,已知每月支取具體的存款金額,則可計(jì)算出最初每月應(yīng)該在銀行賬戶中存款的金額.4、模型求解若某家庭是在月利率為的情況下開始存款的,并且假設(shè)20年內(nèi)利率保持不變,20年后每月支取的金額為1000元,可得差分方程：,用特征根法來求解,原方程的特征方程為：,解之得：, 故,方程的通解為：,由,可列出： 解之得：. ,同樣用特征根法可以得出方程的通解：,由,可以列出： 解之得：. 故,綜上所述,在月利率保持在時(shí),要達(dá)到投資子女高等教育的目標(biāo),20年內(nèi)總共要籌措資金51725.54元,每月要存入78.13元. 5、結(jié)果分析在月利

37、率為0.5%,并且長(zhǎng)時(shí)間保持不變的情況下,一般家庭要投資子女的教育,從孩子出生后就要開始存款,為孩子的高等教育做準(zhǔn)備.理論上每月只需存78.13元,即可滿足孩子20年后所需的高等教育費(fèi)用,但實(shí)際上,因?yàn)闀r(shí)間的問題,利率是個(gè)不確定的變量,而且通貨膨脹等因素也會(huì)影響貨幣的升值或貶值,一般家庭所需存儲(chǔ)的金額應(yīng)該比78.13元再多增加一些.其實(shí),國(guó)外的學(xué)者們對(duì)于籌措教育經(jīng)費(fèi)的研究比我國(guó)早,西方學(xué)者的研究集中在教育理念上.Helen F.Ladd等學(xué)者提出過一種理念,認(rèn)為教育經(jīng)費(fèi)的投入應(yīng)遵循公平、充分的原則.另外還有一種理論,是比較適合中國(guó)的國(guó)情的,叫做成本分擔(dān)理論,認(rèn)為教育經(jīng)費(fèi)的來源應(yīng)當(dāng)多元化,而籌措教育經(jīng)費(fèi)模型顯然更適合中國(guó)國(guó)情,利用差分方程的知識(shí),通過精準(zhǔn)地?cái)?shù)學(xué)計(jì)算,為多數(shù)中國(guó)家庭投資子女的教育提供了定量可循的方法.在國(guó)內(nèi)眾多傳統(tǒng)的家庭里,子女的教育費(fèi)用問題依然是家庭的幾大重要支出之一,隨著家庭經(jīng)濟(jì)水平的提高,作為重大支出的子女教育費(fèi)用更需謹(jǐn)慎決策.參考眾多的理論成果對(duì)中國(guó)的家庭來說很有意義.所以,在以差分方程理論為指導(dǎo)的前提下,也應(yīng)結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的知識(shí),更加理性地計(jì)劃,要盡量考慮全面,充分準(zhǔn)備.四、 總結(jié)差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)問題的模型研究和計(jì)算上,有很多便捷之處.如文中所列舉出的與生活息息相關(guān)的存貸款模型、